常微分方程讲稿.ppt

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1、关于常微分方程1第一页，讲稿共四十三页哦2第二页，讲稿共四十三页哦3()(),A tf tatb 这里和在上连续一阶线性微分方程组一阶线性微分方程组:称式称式(2)为一阶为一阶齐次线性微分方程组齐次线性微分方程组.非齐次线性微分方程组非齐次线性微分方程组()()dxA t xf tdt(1)()0,f t 则式（则式（1 1）变为）变为()d xAtxd t(2)称式（称式（1 1）为）为第三页，讲稿共四十三页哦4定理定理1证明证明:则有则有()()(),1,2,iidx tA t x timdt所以所以1()miiidc x tdt1()miiidx tcdt()()iA t x t1()(

2、)miiiA tc x t1miic如果如果12(),(),()mx tx txt是方程（是方程（2 2）的）的m个解个解,则它们的线性组合则它们的线性组合1 122()()()mmc x tc x tc xt也是方程也是方程(2)(2)的解，这里的解，这里 12,mc cc是任意常数。是任意常数。由于由于()(1,2,)ix t im是方程（是方程（2）的）的m个解个解第四页，讲稿共四十三页哦52 2 定义定义 设设12(),(),()mx tx txt是一组定义在区间是一组定义在区间a,b上上的函数列向量，如果存在一组不的函数列向量，如果存在一组不全为零的常数全为零的常数12,mc cc使

3、得对所有使得对所有atb ，有恒等式，有恒等式1 122()()()0mmc x tc x tc xt则称则称12(),(),()mx tx txt在区间在区间a,b上上线性相关线性相关；否则就称这组向量函数在区间否则就称这组向量函数在区间a,b上上线性无关线性无关。第五页，讲稿共四十三页哦6证明证明:121,1,cc 取则1 122()()c x tc x tt12(),()tx t故x在任何区间线性相关例例1证明证明:函数向量组函数向量组21cos()1,tx tt在任何区间都是线性相关的在任何区间都是线性相关的.221 sin()1,tx tt22cos(1 sin)1 1tttt00,

4、0 第六页，讲稿共四十三页哦7例例2证明证明:函数向量组函数向量组2331230()0,(),()10ttttteex tx tex tee在(-,+)上线性无关.证明证明:要使要使1 12233()()()c x tc x tc x t2331230010ttttteeccecee0第七页，讲稿共四十三页哦82133230000,100ttttteeceectec 则需则需因为因为2330010ttttteeeee42te 0,所以所以1230,ccc123(),(),()x tx tx t故故线性无关线性无关.t第八页，讲稿共四十三页哦9设有n个定义在atb上的向量函数1112121222

5、1212()()()()()()(),(),()()()()nnnnnnnxtxtxtxtxtxtx tx tx txtxtxt由这由这n个向量函数所构成的行列式个向量函数所构成的行列式11121212221212()()()()()()(),(),()(),()()()nnnnnnnxtxtxtxtxtxtW x tx tx tW txtxtxt称为这称为这n个向量函数所构成的个向量函数所构成的Wronsky行列式行列式第九页，讲稿共四十三页哦10(2)定理定理212(),(),(),()0,.nx tx tx tatbW tatb 如果向量函数在上线性相关 则它们Wronsky的行列式证明

6、证明:12(),(),(),nx tx tx tatb 因在上线性相关12,nc cc从而存在不全为零的常数,使1 122()()()0,nnc x tc x tc x tatb 0,ta b故对任一确定的有10200(),(),()nx tx tx t即常向量组线性相关,0()0,W t故0t由 的任意性()0,.W tatb 有1 102200()()()0,nnc x tc x tc x t第十页，讲稿共四十三页哦11(3)定理定理3证明证明:00,()0,ta bW t若有使得“反证法反证法”则则10200(),(),()nx tx tx t常向量组线性相关,12,nc cc 从而存在

7、不全为零的常数,使得1 102200()()()0,(3)nnc x tc x tc x t现在考虑函数向量现在考虑函数向量1 122()()()()nnx tc x tc x tc x t由定理由定理1知知,()(2),x t是的解如果（如果（2 2）的解）的解12(),(),()nx tx tx t线性无关，线性无关，则它们的则它们的Wronsky行列式行列式()0,W tatb 。第十一页，讲稿共四十三页哦12由由(3)知知,()x t该解满足初始条件0()0 x t因此因此,由解的存在唯一性定理知由解的存在唯一性定理知,()0 x t 即有即有1 122()()()0,nnc x tc

8、 x tc x tatb 12(),(),()nx tx tx tatb 故解组在上线性相关,矛盾矛盾注注1:12(),(),()nx tx tx t方程组(2)的n个解线性相关()0,.W tatb 注注2:12(),(),()nx tx tx t方程组(2)的n个解，线性无关()0,.W tatb 12(),(),()nx tx tx t即方程组(2)的n个解所构成的Wronsky行列式,或者恒等于零,或者恒不等于零。第十二页，讲稿共四十三页哦13(4)定理定理4一阶微分方程组一阶微分方程组(2)一定存在一定存在n个线性无关的解个线性无关的解.证明证明:0,ta b任取由解的存在唯一性定理

9、知由解的存在唯一性定理知,(2)一定存在满足初始条件一定存在满足初始条件10200100010(),(),()001nx tx tx t 12(),(),(),nx tx tx t ta b的解且且010200()(),(),()10nW tW x tx tx t 12(),(),()nx tx tx tatb 故在上线性无关.第十三页，讲稿共四十三页哦14定理定理512(),(),()nx tx tx t如果是方程组(2)的n个线性无关的解,则1()niiic x t12nx(t)=是(2)的通解,其中c,c,c 是任意常数。12(2)()(),(),()nx tx tx tx t的任一解均

10、可表为，的线性组合。证明证明:由已知条件由已知条件,1()niiic x tx(t)=是(2)的解,它含n个任意常数第十四页，讲稿共四十三页哦15又因为又因为1212(,)(,)nnx xxc cc111212122212()()()()()()()()()nnnnnnxtxtxtxtxtxtxtxtxt()W t0,12n故c,c,c 彼此独立1()niiic x t于是x(t)=是(2)的通解.()(2)x t设是的任一解,00(),x tx且12(),(),()nx tx tx t因是(2)的n个线性无关的解,10200(),(),()nx tx tx t从而可知常向量组线性无关第十五页

11、，讲稿共四十三页哦16即它们构成即它们构成n维线性空间的基维线性空间的基,00(),x tx故对向量,12n一定存在唯一确定常数c,c,c 满足01 102200()()()(),(4)nnx tc x tc x tc x t现在考虑函数向量现在考虑函数向量1 122()()()()nnx tc x tc x tc x t由定理由定理1知知,()(2),x t是的解由由(4)知知,()x t该解满足初始条件000()()x tx tx因此因此,由解的存在唯一性定理由解的存在唯一性定理,应有应有()()x tx t即即1 122()()()()nnx tc x tc x tc x t第十六页，讲

12、稿共四十三页哦17推论推论1(2)的线性无关解的最大个数等于的线性无关解的最大个数等于n。基本解组基本解组:12(),(),()(2)nx tx tx t(2)的n个线性无关解为的一个基本解组。一个基本解组。注注1:齐次微分方程组齐次微分方程组(2)的基本解组不唯一。的基本解组不唯一。注注2:齐次微分方程组齐次微分方程组(2)的所有解的集合构成一个的所有解的集合构成一个n维线性空间。维线性空间。注注3:由由n阶线性微分方程的初值问题与线性微分方程阶线性微分方程的初值问题与线性微分方程组的初值问题的等价性描述组的初值问题的等价性描述,本节所有定理都可平行本节所有定理都可平行推论到推论到n阶线性微

13、分方程去。阶线性微分方程去。第十七页，讲稿共四十三页哦18推论推论212(),(),()nx tx tx tn如果是 阶微分方程111()()0(5)nnnnnd xdxa ta t xdtdti的n个线性无关解，其中a(t)(i=1,2,n)是atb上的连续函数,()x t则(5)的任一解可表为1 122()()()()nnx tc x tc x tc x t12,nc cc这里是相应确定的常数。第十八页，讲稿共四十三页哦19(1)定义定义(2),nn如果一个矩阵的每一列都是的解则称这个矩阵为齐次微分方程组则称这个矩阵为齐次微分方程组(2)的的解矩阵解矩阵。(2),如果该矩阵的列在a,b是的

14、线性无关解组则称该解矩阵为则称该解矩阵为(2)的的基解矩阵基解矩阵。基解矩阵基解矩阵以基本解组为列构成的矩阵。以基本解组为列构成的矩阵。12(),(),()nttt以(2)基本解组为列构成的矩阵,用(t)表示,即12()(),(),()ntttt第十九页，讲稿共四十三页哦20*(2)定理1(2)一定存在一个基解矩阵(t),如果(t)是(2)的任一解,那么(t)=(t)C,(6)*(3)定理2(2)的解矩阵(t)是基解矩阵充要条件是:0det,det()0,deta bt0(t)0(atb),而且,如果对某一t则(t)0,atb.注注:nn矩阵(t)是(2)的基解矩阵充要条件是:()()(),;

15、tA tt atb 00,det()0ta bt 且使。这里这里C是确定的是确定的N维向量空间维向量空间第二十页，讲稿共四十三页哦21例例3验证验证()0tttetete是方程组是方程组1211,01xxxxx其中基解矩阵基解矩阵.解解:由于由于(1)()0tttee tte11010tttetee1101()t故(t)是解矩阵,又由于又由于det()0tttetete20te所以(t)是基解矩阵。第二十一页，讲稿共四十三页哦22*推论1如果(t)是(2)在atb基解矩阵,C是非奇异n n常数矩阵,那么(t)C也是在区间atb上的基解矩阵。由于(2)的基解矩阵(t)满足证明证明:()()(),

16、;tA tt atb()(),;tt C atb 令则()()tt C()()A tt C()()A tt故(t)为(2)的解矩阵,又由C的非奇异性det()det()det0,ttCatb 因此,(t)即(t)C是(2)的基解矩阵。第二十二页，讲稿共四十三页哦23*推论2()(2)t如果(t),是在atb上两个基解矩阵,那么,存在一个非奇异nn常数矩阵C,使得在区间atb上,有(t)=(t)C。证明证明:由于(t)是基解矩阵,1故其逆矩阵(t)存在,1令(t)(t)=X(t),即(t)=(t)X(t),则X(t)是n n可微矩阵,且detX(t)0,atb;于是有于是有()()()A ttt

17、()()()()t X tt X t()()()()()A tt X tt X t()()()(),;A ttt X tatb 由此可得由此可得()()0,t X t第二十三页，讲稿共四十三页哦24()0,;X tatb 即故x(t)为nn常数矩阵且非奇异,记作C即有即有(t)=(t)C。例例4验证验证33()tttteetee是方程组是方程组2112xx的基解矩阵的基解矩阵,并求其通解。并求其通解。解解:(),()()ttt12分别用表示矩阵的第一、二列,即33(),()tttteettee12第二十四页，讲稿共四十三页哦251()ttete2112ttee2112()t13233()3tt

18、ete211233ttee2112()t2(),(),tt12因此是方程组的解()t即为解矩阵。又由于又由于33det()tttteetee42te0故(t)是基解矩阵,其通解为其通解为()xt C 3132ttttceecee312312ttttc ec ec ec e第二十五页，讲稿共四十三页哦26()(),(1)dxA t xf tdt(),()A tatbnnf tatbn 这里是上已知的连续矩阵是上已知 维连续列向量.性质性质1()(1),()(1)(2),(1)tt如果是的解 而是对应的齐线性方程组的解 则(t)+(t)是的解。性质性质2(),()(1),(2)tt如果是的两个解

19、则(t)-(t)是的解。第二十六页，讲稿共四十三页哦27性质性质3121()()()();()mjtf tf tfttjmjj设f且x(t)是方程组x=A(t)x+f(t)的解,则x=x是方程组(1)的解。定理定理6()(1),(1)()tt设(t)是(2)的基解矩阵,而是的某一解 则的任一解可表为()()tt(t)C+这里这里C是确定的常数列向量。是确定的常数列向量。证明证明:由性质由性质2知知,()()(2)tt是的解:*再由定理1 得()()(),ttt C 即即()(),tt(t)C+这里这里C是确定的常数列向量。是确定的常数列向量。第二十七页，讲稿共四十三页哦28设(t)是(2)的基

20、解矩阵,则则(2)的通解为的通解为x(t)=(t)C,其中其中C是任意的常数列向量是任意的常数列向量,下面寻求下面寻求(1)形如形如(t)=(t)C(t)(7)的解的解,把把(7)代入代入(1),得得(t)C(t)+(t)C(t)=A(t)(t)C(t)+f(t)(t)=A(t)(t),由于(t)是(2)的基解矩阵,故(1)一阶线性微分方程组的常数变易公式一阶线性微分方程组的常数变易公式第二十八页，讲稿共四十三页哦29从而从而1C(t)=(t)f(t)00对上面方程从t 到t积分,并取C(t)=0得010,ttdst ta bC(t)=(s)f(s)反之反之,可验证可验证(8)是方程组是方程组

21、(1)满足初始条件满足初始条件0(t)=0的特解。的特解。(t)C(t)=f(t)因此C(t)满足下面方程因此因此,(7)变为变为010(),(8)tttdst ta b(t)=(s)f(s)第二十九页，讲稿共四十三页哦30定理定理7如果(t)是(2)的基解矩阵,则 向量函数向量函数01(),tttds(t)=(s)f(s)是是(1)的解的解,且满足初始条件且满足初始条件0(t)=0 方程组方程组(1)的通解为的通解为01()tttdsx(t)=(t)C+(s)f(s)注注1:(1)0满足初始条件(t)=的解为,01(),(9)tttds-10(t)=(t)(t)+(s)f(s)100()()

22、()(2)()tttt这里是满足初始条件的解注注2:公式公式(8)或或(9)称为称为(1)的的常数变易公式常数变易公式。第三十页，讲稿共四十三页哦31例例5求方程组求方程组221120texx的通解的通解.33()tttteetee解解:由例由例4知知是对应齐次方程的基解矩阵是对应齐次方程的基解矩阵,()t求的逆矩阵得1()s412se3312sssseeee33sssseeee由由(8)得方程的特解为得方程的特解为()t3312tttteeee23300ssstsseeedsee第三十一页，讲稿共四十三页哦32332122ttttteeeee3312tttteeee0stsedse所以所以,

23、原方程的通解为原方程的通解为3321()()22ttttteex tt Ceee 3312332121()21(2)2tttttttttc ec eeec ec eeee 第三十二页，讲稿共四十三页哦33例例6试求初值问题试求初值问题121 11,(0)0 110txexxxxx 的解。解解:由例由例3知知()0tttetete是对应齐次方程的基解矩阵是对应齐次方程的基解矩阵,()t求的逆矩阵得1()s21se0sssesee101sse第三十三页，讲稿共四十三页哦34故方程满足初始条件故方程满足初始条件1(0)1的解是的解是01()tttds-10(t)=(t)(t)+(s)f(s)1010

24、110tttetee010100ttststseteeedse(1)tttee2000ttstteteedse(1)tttee1()20ttee1()2ttttteeee第三十四页，讲稿共四十三页哦35(2)n阶线性微分方程的常数变易公式阶线性微分方程的常数变易公式()(1)1()()(),(10)nnnxa t xa t xf t12(),(),()nx tx tx t设是(10)的基本解组,则线性微分方组的初值问题的基本解组为则线性微分方组的初值问题的基本解组为(1)()(),(),()nTjjjjXtx tx txt,j=1,2,n;从而其基解矩阵为从而其基解矩阵为12()(),(),(

25、);ntX tXtXt0故线性微分方程组的初值问题满足(t)=0的解为01()tttds(t)=(s)F(s)第三十五页，讲稿共四十三页哦360110()()()10()()()tntnW sx tx tdsW sW sf s=01()()1()()ntkkktx t W sf sdsW s=(10)0故满足(t)=0的解为0()()()()tkktx t W sf s dsW snk=1(t)=第三十六页，讲稿共四十三页哦37推论推论312()(1,2,),(),(),(),()nt inf tatbx tx tx tatb i如果a是区间上的连续函数是上齐次线性方程()(1)1()()0,

26、(11)nnnxa t xa t x的基本解组的基本解组,那么非齐线性方程那么非齐线性方程()(1)1()()(),(12)nnnxa t xa t xf t的满足初始条件的满足初始条件(1),na b0000(t)=0,(t)=0,(t)=0,t解为解为011(),()()(),(13)(),()tknktnW x sx sx tf s dsW x sx snk=1(t)=第三十七页，讲稿共四十三页哦3811(),()(),(),nnW x sx sx sx sWronsky这里是的11(),()(),()(0,0,1)knnTW x sx sW x sx sk是在中的第 列代以后得的行列式

27、,且(12)的任一解u(t)都具有形式1 122()()()()(),(14)nnu tc x tc x tc x tt12,;.nc cc这里是适当选取的常数公式公式(13)称为称为(12)的的常数变易公式常数变易公式.方程方程(12)的通解的通解可表为可表为1 122()()()()(),nnx tc x tc x tc x tt12,nc cc这里是任意常数,且包含了方程(12)的所有解。第三十八页，讲稿共四十三页哦39当n=2时,公式(13)就是0112112(),()()()(),()ttW x s x sx tf s dsW x s x s(t)=0212212(),()()()(

28、),()ttW x s x sx tf s dsW x s x s112(),()W x s x s2()x s 但是但是220()1()x sx s212(),()W x s x s11()0()1x sx s1()x s第三十九页，讲稿共四十三页哦400211212()()()()()(),(15)(),()ttx t x sx t x stf s dsW x s x s=因此n=2时,常数变易公式为而通解是而通解是1 122()()()(),(16)x tc x tc x tt12,c c这里是任意常数。第四十页，讲稿共四十三页哦41例例7 试求方程试求方程tanxxt的一个解。的一个解

29、。解解:易知对应齐线性方程的基本解组为易知对应齐线性方程的基本解组为12()cos,x tt x(t)=sint;由由(15)求方程的一个解求方程的一个解,这时这时12(),W x tx(t)costsint=-sintcost1故故0()(sin coscos sin)tantttstssds0sinsinttsds0cossin tanttssds第四十一页，讲稿共四十三页哦42sin(1 cos)ttcos(sinln sectan)ttttsincos ln sectantttt,sint注意到是对应齐线性方程的解,所以所以()cos ln sectantttt 也是原方程的一个解。也是原方程的一个解。第四十二页，讲稿共四十三页哦9/6/2022感谢大家观看第四十三页，讲稿共四十三页哦