热传导方程与扩散方程.pptx

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1、会计学1热传导方程与扩散方程热传导方程与扩散方程Fourier实验定律实验定律注：负号是因为热量总是从温度高的一侧流向低的一侧，第1页/共18页第2页/共18页由热量守恒定律，物体内部无热源时，由热量守恒定律，物体内部无热源时，第3页/共18页交换积分次序交换积分次序第4页/共18页若物体内部有热源，若物体内部有热源，第5页/共18页数学模型二维的情形：一维的情形：其中：a2=k/C，f(x,y,z,t)=f0/C，如果物体是均匀的，且各向同性的，则有如果物体是均匀的，且各向同性的，则有第6页/共18页n n定解条件边界条件给定温度函数 u(x,y,z,t)在物体表面的限制。一般来有三种类型：

2、第一类边界条件：初始条件给出物体在初始时刻 t=0 的温度第二类边界条件：第三类边界条件：第7页/共18页n n定解问题由方程与定解条件可以描述一个特定的物理现象，它构成一个定解问题混合问题：初始问题：第8页/共18页n n扩散方程考虑三维空间中一均匀的、各向同性的物体，假定它的内部有扩散源，来研究物体内部分子的浓度在时刻 t 的分布规律。物理模型数学模型其中：u(x,y,z,t)表示于时刻 t 在(x,y,z)处的分子浓度f(x,y,z,t)表示单位时间内单位体积中产生的粒子数D 为扩散系数第9页/共18页第二节初边值问题的分离变量法第二节初边值问题的分离变量法第二节初边值问题的分离变量法第

3、二节初边值问题的分离变量法第10页/共18页n n 定解问题定解问题l 未知函数分离l 泛定方程分离l 边界条件分离l 分离结果第11页/共18页l 空间方程解出l 非零解条件l 非零解l 时间方程解出l 分离结果的求解第12页/共18页典型问题的求解典型问题的求解l 初始条件要求l 分离结果的合成l 再合成半通解l 系数的确定l 过程小结l分离变量分别求解合成半通解由初始条件确定系数第13页/共18页分分离离变变量量流流程程图图第14页/共18页典型问题的求解典型问题的求解n n 例题例题1 1l 代入初始条件l 分离变量l 分别求解l 合成半通解第15页/共18页第二类边界条件第二类边界条件n n 定解问题定解问题l 初始条件要求l 未知函数分离l 泛定方程分离l 边界条件分离l 本征运动l 半通解第16页/共18页典型问题的求解典型问题的求解n n 例题例题2 2l 代入初始条件l 分离变量l 分别求解l 合成半通解第17页/共18页