热传导方程与扩散方程 精.ppt

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1、热传导方程与扩散方程 第1页，本讲稿共18页Fourier实验定律实验定律注：负号是因为热量总是从温度高的一侧流向低的一侧，第2页，本讲稿共18页第3页，本讲稿共18页由热量守恒定律，物体内部无热源时，由热量守恒定律，物体内部无热源时，第4页，本讲稿共18页交换积分次序交换积分次序第5页，本讲稿共18页若物体内部有热源，若物体内部有热源，第6页，本讲稿共18页数学模型二维的情形：一维的情形：其中：a2=k/C，f(x,y,z,t)=f0/C，如果物体是均匀的，且各向同性的，则有如果物体是均匀的，且各向同性的，则有第7页，本讲稿共18页v定解条件边界条件给定温度函数 u(x,y,z,t)在物体表

2、面的限制。一般来有三种类型：第一类边界条件：初始条件给出物体在初始时刻 t=0 的温度第二类边界条件：第三类边界条件：第8页，本讲稿共18页v定解问题由方程与定解条件可以描述一个特定的物理现象，它构成一个定解问题混合问题：初始问题：第9页，本讲稿共18页v扩散方程考虑三维空间中一均匀的、各向同性的物体，假定它的内部有扩散源，来研究物体内部分子的浓度在时刻 t 的分布规律。物理模型数学模型其中：u(x,y,z,t)表示于时刻 t 在(x,y,z)处的分子浓度f(x,y,z,t)表示单位时间内单位体积中产生的粒子数D 为扩散系数第10页，本讲稿共18页第二节初边值问题的分离变量法第二节初边值问题的

3、分离变量法第11页，本讲稿共18页n 定解问题l 未知函数分离l 泛定方程分离l 边界条件分离l 分离结果第12页，本讲稿共18页l 空间方程解出l 非零解条件l 非零解l 时间方程解出l 分离结果的求解第13页，本讲稿共18页典型问题的求解l 初始条件要求l 分离结果的合成l 再合成半通解l 系数的确定l 过程小结l分离变量分别求解合成半通解由初始条件确定系数第14页，本讲稿共18页分离变量流程图第15页，本讲稿共18页典型问题的求解n 例题1l 代入初始条件l 分离变量l 分别求解l 合成半通解第16页，本讲稿共18页第二类边界条件n 定解问题l 初始条件要求l 未知函数分离l 泛定方程分离l 边界条件分离l 本征运动l 半通解第17页，本讲稿共18页典型问题的求解n 例题2l 代入初始条件l 分离变量l 分别求解l 合成半通解第18页，本讲稿共18页