高中数学学案：3.5二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.5.2简单线性规划课堂探究学案.pdf

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1、1 3.5.23.5.2简单线性规划简单线性规划 课堂探究课堂探究 一、图解法求最值的实质一、图解法求最值的实质 剖析剖析：设目标函数为zAxByC(AB0)，由zAxByC得yABxzCB 这样，二元一次函数就可以视为斜率为AB，在y轴上截距为zCB，且随z变化的一组平行线于是，把求z的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y轴上的截距的最大值和最小值的问题 当B 0 时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大；当B 0，x，y满足约束条件Error!Error!若z2xy的最小值为 1，则a()A14 B12 C1 D2 解析：解析：由题意作出Error!Error!所

2、表示的区域如图阴影部分所示，作直线 2xy1，因为直线 2xy1 与直线x1 的交点坐标为(1，1)，结合题意知直线ya(x3)过点(1，1)，代入得a12，所以a12 答案：答案：B 反思反思 解决线性目标函数的最值问题一般用图解法，但应注意作图要规范，且要弄清函数值与截距的内在联系；对于第(2)小题属逆向问题，在解决时也要正向解答 题型二题型二 非线性目标函数的最值问题非线性目标函数的最值问题【例 2】已知Error!Error!求：(1)zx2y210y25 的最小值；(2)z2y1x1的取值范围 分析分析：(1)中zx2y210y25(x0)2(y5)2的几何意义为平面区域内的点(x，

3、3 y)到(0，5)的距离的平方；(2)z2y1x12y(12)x(1)的几何意义为平面区域内的点(x，y)与(1，12)连线斜率的 2 倍 关键是将目标函数进行变形找到几何意义，再利用数形结合知识求解 解：解：作出可行域，如图阴影部分所示 可求得A(1，3)，B(3，1)，C(7，9)(1)zx2(y5)2表示可行域内任一点(x，y)到点M(0，5)的距离的平方，过M作MNAC于N，则|MN|052|1(1)232322 所以|MN|292，所以zx2y210y25 的最小值为92(2)z2y(12)x(1)表示可行域内点(x，y)与定点Q(1，12)连线斜率的 2 倍 kQA74，kQB3

4、8，故z的取值范围是34，72 反思反思 (1)对形如z(xa)2(yb)2型的目标函数均可化为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)间的距离的平方的最值问题(2)对形如zaybcxd(ac0)型的目标函数，可先变形为zacy(ba)x(dc)的形式，将问题转化为求可行域内的点(x，y)与(dc，ba)连线斜率的ac倍的范围、最值等，注意斜率不存在的情况(3)z|AxByC|可转化为点(x，y)到直线AxByC0 的距离的A2B2倍 题型三题型三 简单的线性规划问题简单的线性规划问题【例 3】某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每 100 g 含蛋白质 6 个单位，含淀粉4 4 个单位，售价

5、05 元，米饭每 100 g 含蛋白质 3 个单位，含淀粉 7 个单位，售价 04 元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有 8 个单位的蛋白质和 10 个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？分析分析：根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，再用图解法解之先作可行域，再作出初始直线l0，通过向上或向下平移直线l0至可行域的边界点，便得最优解，再进一步求最值 解：解：设每盒盒饭需要面食x(百克)，米饭y(百克)，所需费用为z05x04y，且x，y满足Error!Error!作出可行域，如下图阴影部分所示 令z0，作直线l0：05x04y0，即直线 5x4y0 由图形可知

6、，把直线l0平移至过点A时，z取最小值 由Error!Error!得A(1315，1415)答：每盒盒饭为面食1315百克，米饭1415百克时既科学又费用最少 反思反思 (1)在线性规划应用问题中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要；(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；(3)结合实际问题，分析未知数x，y等是否有限制，如x，y为正整数、非负数等；(4)分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式；(5)图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上都是在图上完成的，所以作图应尽可能的准确，图上操作尽可能规范但作图中必然会有误差，假如图上

7、的最优点不容易看出时，需将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，以确定最优解 题型四题型四 最优整数解的问题最优整数解的问题【例 4】(2013湖北高考，文 9)某旅行社租用 A，B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行，A，B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆，则租金最少为()A31 200 元 B36 000 元 C36 800 元 D38 400 元 解析解析：设需 A，B 型车分别为x，y辆(x，yN N)，则x，y需满足Error!E

8、rror!设租金为z，则5 z1 600 x2 400y，画出可行域如图，根据线性规划中截距问题，可求得最优解为x5，y12，此时z最小等于 36 800，故选 C 答案：答案：C 反思反思 如果遇到问题是求最优整数解，可先求出线性规划的最优解，若它是整数解，则问题解决；若不是，要在该非整数解周围可行域内寻求与之最近的整数解，可通过精确作图，打好网格的办法求得 题型五题型五 易错辨析易错辨析【例 5】已知二次函数f(x)ax2bx(a0)满足 1f(1)2，2f(1)4，则f(2)的范围是()A3，12 B(3，12)C(5，10)D5，10 错解错解：由于f(2)4a2b，要求f(2)的范围

9、，可先求a与b的范围由f(1)ab，f(1)ab，得Error!Error!两式相加得32a3 又2ba1，式与式相加得 0b32 64a12，32b0 34a2b12 即 3f(2)12 故选 A 错因分析：错因分析：这种解法看似正确，实则使f(2)的范围扩大了事实上，这里f(2)最小值不可能取到 3，最大值也不可能是 12 由上述解题过程可知，当a32且b32时才能使 4a2b3，而此时ab0，不满足式同理可验证 4a2b也不能等于 12出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来作变形，是非同解变形以上解法为了求a，b的范围，多次应用了这一性质，使所求范围扩大了 6 正解：正解：解法一：Error!Error!Error!Error!f(2)4a2b2f(1)f(1)f(1)f(1)3f(1)f(1)1f(1)2，2f(1)4，5f(2)10，故选 D 解法二：数形结合法在坐标平面aOb上，作出直线ab2，ab4，ab1，ab2，则Error!Error!表示平面上的阴影部分(包括边界)，如下图阴影部分所示 令m4a2b，则b2am2 显然m为直线系 4a2bm在b轴上截距 2 倍的相反数 当直线b2am2过阴影部分中点A(32，12)时，m取最小值 5；过点C(3，1)时，m取最大值 10 f(2)5，10，故选 D