2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲第3讲三角形一边的平行线（解析版）.pdf

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1、第3讲三角形一边的平行线P三角形一边的平行线性质定理及推论-（有形一边的平行线判定定理及推论）知识梳理一-重心:I,平行线分线段成比例定理 利用平行线性质求比例（比值）、长度、面积等（利用平行线判定证明线段平行）题型探究-利用平行线分线段成比例求线段长-构 造 A 与 8 举课后作业知识梳理1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.如图，直线DEBC,皿 A D A E _ A D AE D B EC那么=或=或=D B E C AB A C AB A C2、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三

2、角形的三边与原三角形的三边对应成比例.如图，点 、E 分别在AABC的边A 3、AC上,DE/BC,那 么 三=四BC ABAEACB3、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心.性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍.如图，G 是&4 8 c的重心=2GF GE GD思考：如何证明？（联结0 E,则：-=-）BC GC BG 24、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.任=任 或 任=江 或 空=生=小 8cAB AC DB EC AB AC5、三角形一边的平行线

3、判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.生=生 或 也=任 或 吧=n B CDEAD AE DB CE AD AE6、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.如图，直线/4/3，直线机与直线被直线乙、所截，那 么 老=言7、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等.平行线分线段成比例常见模型:图形结论逆命题A C _ B D A C _ B DC E -DF*宝一 茄 C E D F不成立AAA

4、D _ A E A D _ AE访 一 W方 一 就 B D _ C E成立/e 二 ”,4 D D E（但 若 已 知 一=AB B Ct A E D E h/、或=不成乂）A C B CAB CE O F O E O F OOCOB 正 而 P C OB正 二 百成立（但 若 已 知 空=空 或O C B C9=名 不 成 立）O B B C题型探究题型一、利用平行线性质求比例（比值）、长度、面积等【例 1】如图，在 A48C 中，DE/BC,AB=8,A C =12,B D =6,求 CE.【解析】=上 2，代入可得：CE=4.AB A C【例2】如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在

5、边BC上，射线AE交DC的延长线于点F,AB=2.BE=3EC,那么DF的长为 1Q【答案】3CF CE 1 2 _【解析.,四边形 ABCD 为平行四边形，；.DC=AB=2,又：CFAB,，BE 3,；.C F=3，则 DF=2+CF=83An【例 3】如图，在 AABC中，CD平分ZAC8,DEI IBC,AC=5厘米，=3:5,AB求 E的长.A-EB C【答案】2cm.【解析】D E/B C,.任=丝=3.AC AB 5由 AC=5C2,代入可求得：AE=3cm,CE=2cm.X v DEI IBC.ZEDC=ZDCB.又 CD 平分 ZACB，ZECD=ZJDCB.ZECD=/ED

6、 C，:.DE=CE=2cm.【例4】如图，在A B C中，点G是AABC的重心，过点G作DEA C分别交AB、BC于点D、E,过点D作DFBC交A C于点F,如果D F=4,那么BE=.【答案】8.【解析】点G是AABC的重心，DEAC,.罢=黑=2,由题意可得，四边形CEDF为平行四边形,贝ij DF=CE=4,；.BE=2CE=8.M t【例 5】如图，已知在入43 c中，DE/BC,EF/AB,AE=2CE t AB=6,BC=9,求四边形皮班尸的周长.A【答案】1 6.A E _2 CE 1【解析】-.-AEC E,A C =3，A C =3.又 DEi IBC,EFUAB,AD A

7、E 2 EF CE,益 一就一 5 罚一就一 3,四边形双死下为平行四边形.代入可求得：DE=6 EF=2,G a 边 形B W=2（Z）+F）=1 6 ,【例 6】如图，在A A B C 中，ABAC,ADLBC于点D,点厂是BC中点，过点尸作BC的垂线交他于点、E,BD:DC=3:2,BE:EA=.【答案】5:1.【解析】由Q:DC=3:2,BF=FC,即得:BF+FD 3 阳 BF 5-=-,可得：=-BF-FD 2 FD 1又 A Z)_ L B C,EF 工 BC,:.EFHADE、印 的长.AR n/7 15【解 析】根据平行线分线段成比例定理和比例的合比性，可 得 丝=43,代

8、入 求 得。石=2,则AC DF 4EF=D F-D E =.44L【例1 2】如图，直线、4、4 分 别 交 直 线 于 点 A、B、C,交直线，5于点。、E、F,且/1 4/3.已知 A5=3,AC=5,D F=9,求 D E、防 的长.【答案】DE=,EF=.5 5【解析】根据平行线分线段成比例定理和比例的合比性,可 得 空=2 与，代入求得。E=ZZAC DF 51 Q则=3尸一。二、.5 题 型四、构造“A”与“8”字型Kt【例 13 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC,AD=3,BC=9,AB=6,CD=4.若 EFB C,且 E F=7,求 A E和 D F的长.（用两种方法解

9、决）【解析】方 法 1：如图，过点A 作 AGC D,交 EF于点H,交 B C于点G,易得FH=CG=AD=3,AG=CD=4,A E E H 4 D F A E 8，EH=EF-FH=4,BG=BC-CG=6,：EFB C,；.=一，=.AAEM,D F=-.AB A G 6 C D AB 3方法 2：延长 BA、CD 4交T于l点 Q,可-r/得R ADEFBC,A Q =Q D =A D=1 ,.AQ=1 A-B=3,Q D=1-八)CQB Q C B C 3 2 2=2,A D 3 Q A Q D 14 8V A D/7E F,；.=一=三,；.QE=7,QF=，；.AE=7-3=4

10、,DF=QF-QD=.E F 7 Q E Q F 3 3【例 14 如图，。是线段8 c 上一点，且 28=3C,C E交 AB于点尸，A E:E D =:3,求 A尸：8尸的值.【答案】2:15.解析过点A 作 A /8 c 交C F的延长线于点M，根据三角形-边平行线的性质定理，m e A M AE 1则有=-.D C E D 3又 2BD=3DC,即 2（8C-O C）=3OC.可汨得 D C=-2,则m u A M=2.BC 5 BC 15由 A W/5C 可得：A F:BF=A M:B C=2：5.举 一反三1.AA8C中，直线。E 交 他 于 点）,交 AC于点E,以下能推出/宏B

11、C的条件是（）AB 2 EC _ 1AD-3 AE-2AO _ 2 D E 2AB-3 BC 3A D 2 CE 2 A D 4 AE 4DB 3 AE 3 AB 3 EC 3【答案】AAB A E 0_=_=2【解析】根据比例的性质，可知只有A 选项中满 足 即 E C，根据三角形一边平行线的判定定理可知A 选项正确，其它都不满足.-.AADEAABC.A B G F A B A C,A D G M A D A E ,且四边形 MECF 是平行四边形.2.（2021 醴陵市模拟）如图，直线/,/3那么。E 的长是（）4A.2 B.-3【答案】B【解析】解：直线/4/小，旦三，BC EFA B

12、 =2,BC=3,EF =2,2=三，3 2:.DE=-,3故选：B.3.（2021松北区模拟）如图，AABC中，.4D p vA,丝=，B.四=空B G BF AB A C【答案】C【解析】辘：YDEUBC,G F II AC,，直线4 c 和。尸被（，4,4 所截，如 果 钻=2,B C =3,E F =2,3C.1 D.-4DEI IBC.G F II A C,下列式子错误的是（）G M A E 门 FC A GM F EC D M D GAG CF AD AE ME AG”厂 厂/.-=-，-=-，-=-，MH=rC.BG BF AB AC DM DGFC _ AGDMDG所以ABO

13、IE确，C错误.4.（2021温岭市模拟）如图，AB/CD/EF,AF与庞:相交于点G,且AG=2,GD=,DF=5,则BC:CE=（一VE 尸A.3:5 B.1:3 C.5:3【答案】A【解析】解：.A B/8/EF,.,.BC=AD-2+1 3.CE DF 5 5故选：A.5.在AABC中，点。、石分别在边A3和5 c上，4)=2,DB【答案】6.【解析】根据三角形边平行线的判定定理，要得到OE AC,即 旦3 二B迫E，即可求得BE=6.2+3 10sp An6.如图，A4BC 中，D E/B C,=，求证：EFUCD.DF DB【答案】略.【解析】证明：DE BC,.A把n=生AF.D

14、B EC AF AD AF AEDF DB DF ECEFUCD.D.2:3=3,BC=1 0,要使 OV/AC,则 鸵=.则必有筹=费AB C7.如图，已知AD/BEHCF,它们依次交直线(4于点A、B、C和点。、E、F.(1)如 果 他=6,BC=10,EF=8,求DE的长;(2)如果 DE:斯=3:5,A C=2 4,求 AB、3C 的长.【答案】（1）；（2）AB=9,B C =15.5【解析】（1）根据平行线等分线段成比例定理，则有D E AB E F C代入可求得OE=*5（2）根据平行线等分线段成比例定理，则有空=丝=3,BC EF 5根据比例的合比性，则 有 丝=三，代入可得/

15、$=9,B C =A C-A B 5A C 88.如图，在平行四边形/WC。中，点E在边。C上，若 D E:E C =1:2,则【答案】3:5.【解析】DE:E C =1:2,可 知 名=笠=2,C D AB 3RF AR 7由 CE/AB,可知一=-,故 3F:8E=3:5.EF CE 29.如图，AABC中，在BC上取一点P,CA上取一点Q,使得BP:PC=2:5,CQ:QA=3:4,A P 与 B Q 交于点 R,则 A R:R P=.【答案】14:3.【解析】过点P作PO/8Q交AC于。，根据三角形一边平行线性质定理，则 有 理=丝，PR Q D丝=0 =2,又 CQ:QA=3:4,令

16、 AQ=4a,PC D C 5则 CQ=3a,Q D =-C Q a,由此即可得：AR:RP=A Q:Q D =4a:a=14:3.A10.如图，在梯形ABC。中，AD/IBC,AD=3,BC=5,E、/是两腰上的点，EFI IM）,A E:E B:2,求所的长.3【答案】【解析】过点A作A H/A D C交BC于，交 所 于G,则有 CH=FG=4)=3,BH=2,又 EG 11BH,可T 4得H：一EG=AE=一1 ，解ATJ得/H:BH AB 3EG=-3E F =EG+GF=3J课后作业1.（2020年黄浦区一模）如图1,点Q、E分别在AABC的两边区4、C 4的延长线上，下列条件能判

17、定EQ的是（）.(A)AD DEABBCz xAD AE(B)=AC AB(C)AD.AB=DE B C；(D)AD AC=AB A E.图1【答案】DAD A E A D AE DB EC-=-双-=-豉-=-【解析】根据三角形一边的平行线判定定理以及推论，如果E L AB AC AB AC,那么直线D E/B C,逐一验证可得A、B、C 均不正确，故选：D.2.如图，点 F 是团ABCD的边C D 上一点,直线BF交 A D 的延长线于点E,则下列结论错误的是（)EA ABED EFB.-BC FBBC BFC.-ED BEBF BCD.-BE AE【答案】C【解析】【解答】解：四边形AB

18、CD是平行四边形,EDDFA CD#AB,ADBC,CD=AB,AD=BC,=-,故 A 符合题意;EAAB.0-D-E-=EF,*-E-D-=-E-F-,故.Q 3.B 苻合感意；ADFBBC FBBCBF-=故 C 不符合题意；EDEFBFAD-,BF BC.小人*-=*-=-,故 D 符合题忌.BEAEBE AE故答案为：C.3.（2020年浦东新区一模）如图，已知直线4,2 4 分别交直线乙于点A,B,C,交直线&于点D,E,F,且424,若 AB=4,AC=,D F=9,则 DE 的 长 为（）A.5B.6C.7D.8【答案】B空=匹 即 二 匹【解析】V A B=4,AC=,DF=

19、9,AC DF%9 DE=6.故选 B.4.(2020 年徐汇区一 模)如图，A B/C D/E F,A C =2,A =5,B D=1.5,那么下列结论正确的(B)E F =；4(D)B F=4【答案】D【解析】；A C=2,A =5,B D=L 5_A_C_ _ _B_D_ p a Jn _2 _1_.5_ _1_5所以 AE BF 5 B E,；.B F=4.故选D.5.（2021洪泽区二模）如图，/,/2/3,AC 交八 4、4 分别于 A、B、C,且 AC=6,BC=4,DF 交DF4、分别于。、E、F,则 丝 二 一.EF【解析】解：,/AC=6,BC=4.-.AB=A C-B C

20、 =2,=B-cA8)7=O1-2故答案为：2AC _ 16.（2020 年吉林中考）如图，AB/CD/EF.若 CE 2,8 0=5,则。尸=【答案】10AC BD 1【解析】,：AB/CD/EF,：.CE DF 2,：.DF=2 BD=2 x5=0.故答案为10.7.（2020年虹口区一模）如图4,在梯形A E/B 中，AB/EF,AB=6,EF=1 0,点 C、。分别在边4E、BF上且CDA B,如果AC=3CE,那么CO长为.【答案】9【解析】如图所示，过点B 作 BNA E交 EF于点N,交 CD 于点M,；ABEFCD,BNA E,；.四边形 AENB 为平行四边形，.EN=CM=

21、AB=6,FN=IO-6=4,又.DMFN,AC MD 3：.A E FN 4,所以 MD=3,则 CD=3+6=9.8.（2020年静安区一模）在ZVIBC中，边BC、AC上的中线4 0、2 E 相交于点G,AD=6,那么AG=.【答案】4【解析】:边BC、AC上的中线AD、BE相交于点G,.,.点G 为AABC的重心，AG：AB=2:3,：AD=6,，AG=4.9.如图，在4ABC 中，若 BD:DC=CE:EA=2:1,AD 与 BE 交于 F,则 AF:FD=.【答案】3：4【解析】过点D 作。，交 AC于点儿EH BD 2=2,；.EH=CE,VBD：DC=CE:EA=2：1,HC

22、DC 31 3.,.A E=-C E=-EH,2 4.AF _AE _310.（2019年长宁区月考）如图，平行四边形ABCD中，点 E 在 C D 上，点 F 在 C D 的延长线上，A F交BD 于点 O,交 BC 于点 G,且 DF:CD=DE:EC,求:OEBC【答案】见解析.【解 析】：四 边 形 A B C D 为平行四边形，A AB=CD,AB/CD,二变=变，即 至=变，乂；AB OB CD OBDE ODDF:CD=DE:EC,=，/.OE/BC.EC OB11.（2020秋浦东新区期中）如图，已知A D/8 E/B,它们依次交直线4、4 于点A、B、C 和点）、E、F(1)

23、如果 A B =6,8 c =8,DF=2 1,求。E 的长；(2)如果 尸=2:5,AD=9,C 产=1 4,求 B E 的长.【答案】(1)DE=9；(2)BE=.【解析】解：(1).A/)/8 E C F,DE AB*.-,DF AC-AB=6,BC=8,D F =2 1,DE _ 6一 五 一 iTT.DE=9.(2)过点。作。G/A C,交BE 丁点、H,交 CF于点G,则 CG=BH=AD=9,.6 =1 4 9 =5,.HENGF,.HE DEG F -D F ,:DE.DF=2:5、GF=5,HE _2 t5 5:.HE=2,/.B E =9 +2 =1 1.1 2.（2 0

24、1 9 秋黄浦区期中）如图，已知在A A B C 中，EF/CD,A 尸=3,AD=5,A ：=4.(1)求CE的长；(2)当AB=上 时，求证：DEI IBC.Q【答案】（1）CE:一；（2）证明过程见解析.3【解析】解：（1）-.EF/CD,.AF _ AEADAC .AF=3,AD=5,AE=4f3 4/.=-，5 AC70解得：AC=,3 AE=4,20 Q.CE=AC-AE=-4 =；3 325 20（2）-AB=,AD=5,AE=4,AC=,3 3AD AE 3.-fAB AC 5/ZA=ZA,/.AADEAABC,;.ZADE=ZB,DE I IBC.13.（2019年上海课时练

25、习）梯形45CD中，点石在AB上，点尸在CD上，且AE=a,BC=h.（1）如 图（a）,如果点 分别为4 3、CD的中点，求证：跖/8。且/=土 也；2（2）如 图（b）,如 果 丝=，判断 F和3 c是否平行，并证明你的结论，并用。、b、m、”的EB FC n代数式表示EF.DADA【答案】（1）见解析；（2）平行，EF=：m+n【解析】（1）证明：过点尸作M N/4?交4）延 长 线 于 点 交6 c于点N,则 四 边 形 为 平 行 四 边 形，=AM=BN.尸为CD中点，由平行可得尸为M N中点，&VFN=-M N,DM=CN.2为 A5 中点，:.BE=-AB=-MN=NF.2 2由MV/MZ?，.四边形E8NF为平行四边形，,./且EF=AM=8N.即 EF=g（AM+8N）=；（a+O M+b-C N）=g（a+b）.（2）证明：过点尸作M N/AB交4）延长线于点M,交BC于 点、N,则四边形43M 0为平行四边形，.A3=MM AM=BN.DM MF DFi!i DM/CN,-=AE DF*.*-=-EB FC由 M V/AB,CN FNAE MFEfi fNAB MN =,:.EB=FN.EB FN：.EF/AB&EF=AM=BN.,DM DF in AM-ai l l-=,可得-CN FC n b-BNBCB