2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲第3讲三角形一边的平行线(含详解).pdf

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1、第3讲三角形一边的平行线H三角形一边的平行线性质定理及推论-1 三角形一边的平行线判定定理及推论知识梳理重心匚平行线分线段成比例定理r利用平行线性质求比例（比值）、长度、面积等一利用平行线判定证明线段平行题型探究-利用平行线分线段成比例求线段长匚 构 造 A 与 8 举课后作业知识梳理1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.如图，直线DEBC,皿 A D A E _ A D AE D B EC那么=或=或=D B E C AB A C AB A C2、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的

2、三边与原三角形的三边对应成比例.如图，点 、E 分别在AABC的边A 3、AC上,DE/BC,那 么 三=四BC ABAEACB3、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心.性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍.如图，G 是&4 8 c的重心=2GF GE GD思考：如何证明？（联结0 E,则：-=-）BC GC BG 24、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.任=任 或 任=江 或 空=生=小 8cAB AC DB EC AB AC5、三角形一边的平行线判定定

3、理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.生=生 或 也=任 或 吧=n B CDEAD AE DB CE AD AE6、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.如图，直线/4/3，直线机与直线被直线乙、所截，那 么 老=言7、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等.平行线分线段成比例常见模型:图形结论逆命题A C _ B D A C _ B DC E -DF*宝一 茄 C E D F不成立AAA D _

4、 A E A D _ AE访 一 W方 一 就 B D _ C E成立/e 二 ”,4 D D E（但 若 已 知 一=AB B Ct A E D E h/、或=不成乂）A C B CAB CE O F O E O F OOCOB 正 而 P C OB正 二 百成立（但 若 已 知 空=空 或O C B C9=名 不 成 立）O B B C题型探究题型一、利用平行线性质求比例（比值）、长度、面积等【例 1】如图，在 A48C 中，DE/BC,AB=8,A C =12,B D =6,求 CE.例2】如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，射线AE交DC的延长线于点F,AB=2,BE=3

5、EC,那么D F的长为:An【例3】如图，在A4BC中，8 平分NAC8,DE/BC,AC=5厘米，=3:5,AB求D E的长.【例4】如图，在AABC中，点G是ZkABC的重心，过点G作DEA C分别交AB、BC于点D、E,过点D作DFBC交A C于点F,如果D F=4,那么BE=BC【例 5】如图，已知在 AABC 中，DE/BC,E F U A B,A E =2 C E,AB=6,B C =9,求四边形8D EF的周长.【例 6】如图，在AABC中，A B A C,A D,3 c 于点。，点 尸是3 c 中点，过点尸作8 c 的垂线交AB于点 E,B D:D C 3.2,贝 ij8:E

6、4=【例 7】如图，在等腰A4BC中，AB=AC,AD、BE分别是边BC、A C上的中线，AD 与 BE交于点E若 BE=6,FD=3,则 的面积DB题型二、利用平行线判定证明线段平行【例 8】如图，A A B C 中，E 点在边A B 上，尸点在边A C 上，下列命题中不正确的是（）(A)(B)(C)(D)AE AF若 E F B C,则 商 一 元AE AF若 百 一 而，则 EF BCAE _ EF若 E F ”B C,贝|4 8 一 8cAE EF若 罚 一 正，贝 IJE/3 c【例 9】如图，点。、尸在M B C 的边Afi上,求证：EF/DC _【例 10点D、E 分别在A A

7、B C 的边4?、A C ,且 D E B C ,以 上 为 一边作平行四边形。EAG,延长3 G、C尸交于点，连接求证：AH/EF.惠题型三、利用平行线分线段成比例求线段长【例 11如图，/,/,/,45=3,AC=8,DF=U),求 QE、EF 的长.&L【例 12】如图，直线4、4 分别交直线4 于点A、B、C,交直线4 于点。、E、F,K /,/12/,.已知 43=3,AC=5,D F=9,求 DE、所 的长.题型四、构造“A”与“8”字型【例 13如图，在梯形 ABCD 中，ADBC,AD=3,BC=9,AB=6,CD=4.若 EFB C,且 EF=7,求 AE和 DF的长.（用两

8、种方法解决）BEF【例 14】如图，是线段BC上一点，且 2B）=3Z）C,C E交 4 3 于点F，AE:EE=1:3,求 A F:8尸的值.举一反三1.AABC中，直线Q E交 4 3 于点O,交 AC于点E,以下能推出小 BC的条件是（）A.AB 2 EC 1 AD 2 DE 2AD 3 AE 2 AB 3 BC 3C.AD 2 CE 2 AD 4 AE 4DB 3 AE 3 AB 3 EC 32.（2021醴陵市模拟）如图，直线/，直线AC和）被4,乙，4 所截，如果A B=2,2 c=3,EF=2,那么DE 的长是（）C.1D 13.（2021松北区模拟）如图，AA8C中，D E/B

9、C,G F/A C,下列式子错误的是（)AG CF 卜 AD AE-=-B.-=-BG BF AB ACGM AEMFEC-FC AGu.-=-DM DG4.(2021温岭市模拟)如图，AB/CD/EF,AF与庞:相交于点G,且AG=2,GD=1 ,DF=5,则BC:CE=()C.5:3D.2:35.在AABC中，点。、分别在边AB和5 c 上，AD=2,DB=3,BC=1O,要 使。石 A C,则 座=Ap An6.如图，A4BC 中，DEIIBC,=，求证：EFHCD.DF DB7.如图，己知ADHBE/CF,它们依次交直线4、4 于点入、B、C 和点。、E、F.(1)如果 AB=6,BC

10、=1O,EF=8,求。石的长；(2)如果E:EF=3:5,AC=2 4,求AB、BC的长.BADE8.如图，在平行四边形ABC。中，点 E 在边。C 上，若 DE:E C =1:2,则 8尸:3E=9.如图，A4BC中，在 BC上取一点P,CA上取一点。，使得8P:PC =2:5,CQ:QA=3:4,A P与 B。交于点R,则 AR:RP三10.如图，在梯形ABCD中，AD/BC,4）=3,B C =5,E、尸是两腰上的点，EF/AD,AE:EB=:2,求 叮 的长.1.（2020年黄浦区一模）如 图 1,点。、E 分别在 A8C的两边34、CA的延长线上，下列条件能判定8 c 的 是（）.(

11、A)A D D EAB-BC(B)A D A EAB(C)A D A B =D E B C；(D)A D A C =A B AE.E D2.如图，点 F 是回ABCD的边C D 上一点,直线BF交 A D 的延长线于点E,则下列结论错误的是（)E D D FA.-=-E A A BE D E FB.-=-B C F BE D B EB F B CD.-B E A E3.（2020年浦东新区一模）如图，已 知 直 线 分 别 交 直 线 乙于点A,B,C,交直线&于点D,E,F,若 AB=4,AC=,D F=9,则 DE 的 长 为()A.5 B.6 C.7 D.84.（2020年徐汇区一模）如

12、图，A B H C D H E F,A C =2,A E =5,B D=1.5,那么下列结论正确的(B)EF=；4(D)=45.（2021洪泽区二模）如图，/4/g，A C 交1、12、。分别于 A、B、C,且 AC=6,B C =4,D F 交DF、4、4 分别于。、E、F,则 丝=.EFA C 16.（2020 年吉林中考）如图，AB/CD/EF.若 C E 2,BD=5,则。F=7.（2020年虹口区一模）如图4,在梯形AEFB中，AB/EF,A8=6,E F=10,点 C、。分别在边AE、BF上且CQ4 8,如果AC=3CE,那么CO长为图 48.（2020年静安区一模）在“BC中，边

13、 B C、AC上的中线A。、BE相交于点G,A D=6,那么4G=9.如图，在 AABC 中，若 BD:DC=CE：EA=2：1,AD 与 BE 交于 F,贝 ij AF:FD=.B-DC10.（2019年长宁区月考）如图，平行四边形ABCD中，点 E 在 CD上，点 F 在 C D 的延长线上，A F 交BD 于点 O,交 BC 于点 G,且 DF:CD=DE:EC,求:OEBC11.（2020秋浦东新区期中）如图，已知A）/B EC户，它们依次交直线（、于点A、B、C 和点。、E、F.(1)如果 AB=6,BC=8,DF=2 1,求 E 的长；(2)如果 E:Z)F=2:5,AD=9,CF

14、=1 4,求 BE 的长.12.（2019秋黄浦区期中）如图，已知在AA8C中，EFHCD,A尸=3,AD=5,AE=4.（1）求 CE的长;O S(2)当A3=e时，求证:3DE!IBC.BC1 3.（2 0 1 9年上海课时练习）梯形中，点E在4 5上，点尸在C D上，且=BC=b.（1）如 图（a）,如果点E、尸分别为A 5、C 的中点，求证：EF 3 C且 所=；2（2）如 图（b）,如 果 空=空=且，判 断 所 和B C是否平行，并证明你的结论，并用。、6、机、的EB FC n代数式表示E F.第4讲三角形一边的平行线 三角形一边的平行线性质定理及推论卜仁扇形一边的平行线判定定理及

15、推论）知识梳理一卜 重 心 II平行线分线段成比例定理K利用平行线性质求比例（比值）、长度、面积等利用平行线判定证明线段平行）题型探究婚-利用平行线分线段成比例求线段长I构 造 A 与 8 字型课后作业知识梳理1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.4ng 击加、c l/，-n rz /AD AE AD AE t DB EC如图，直 线DE5 C,那么=或=或一=.DB EC AB AC AB AC2、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.如图，点、D、石分

16、别在AABC的边4 5、AC上,DE/BC,砧/DE AD那么二BC ABAEAC3、三角形的重心B定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心.性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍.如图，G 是A48C的重心=且 =2 =2GF GE GD思考：如何证明？（联结0 E,则：-=-）BC GC BG 24、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.更=生 或 皎=空 或 也=q n DEBCAB AC DR EC AB AC5、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边

17、的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.处=处 或 生=生 或 吗=n B CDEAD AE DB CE AD AE6、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.如图，直线/1/2 4，直线机与直线被直线4/,、4 所截，那 么 空=竺FB GC7、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等.平行线分线段成比例常见模型:图形结论逆命题二AC _BD AC _BD无 一 而 益 一 而 CE DFAEBF不成立4BCAD _AE AD _AE

18、茄-w茄 一 就 BD _CE方 一 就成立（但若已知四=匹AB BC_|x AE DE 丁打十、或=17不成立）AC BC_7FAB CEO FO EO FOOC=OB9 C=F B PC OB正 二 百成立（但若已知半=竺 或OC BCFO EF THOB BC题型探究题型一、利用平行线性质求比例（比值）、长度、面积等【例 1】如图，在 AABC 中，D E/BC,AB=18,AC=12,BD=6,求 CE.【解析】叱=匕，代入可得：CE=4.AB AC*【例2】如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，射线AE交DC的延长线于点F,AB=2,BE=3EC,那么D F的长为 tQ【

19、答案】3CF CE 2【解析厂.四边形 ABCD 为平行四边形，；.DC=AB=2,又C FaA B,.他 BE 3,.C F=3，则 DF=2+CF=83h【例 3】如凰在AABC中，8平分ZACS,DE I IBC,AC=5 厘米，=3:5,AB【答案】2cm.【解析】D E!IB C,:AE AD 3AC AB 5由 AC=5cm，代入可求得：AE-3cm,CE=2cm.又DE!IBC,：.NEDC=NDCB.又 CD平分 NACB,ZECD=ZDCB.r.Z.ECD=Z.EDC.DE=CE=2cm.【例4】如图，在AABC中，点G是AABC的重心，过点G作DEAC分别交AB、BC于 点

20、D、E,过点D作DFBC交AC于点F,如果DF=4,那么BE=【答案】8.【解析】点G是4ABC的重心，DEA C,左=方=2,由题意可得，四边形CEDF为平行四边形,贝ij DF=CE=4,，BE=2CE=8.M b【例 5】如图，已知在446。中，DE/BCt EFAB,AE=2CE,AB=6,BC=9,求四边形比应尸的周长.【答案】16.,AE _ 2 CE 1【解析】,AE=2CE,AC 3 AC 3.又 DEI IBC,EF/ABiAD AE _2 EF CE-A C-3 ；AB-A C-3,四边形由阳尸为平行四边形.代入可求得：DE=6,EF=2,二 Gq 边 形 MEF=2(DE

21、+EF)=164L【例6】如图，在AABC中，ABAC,A。，3 c于点。，点F是3 c中点，过点F作3 c的垂线交AB于点 E,BD:DC=3:2,则 8:E4=.【答案】5:1.【解析】由 8:C=3:2,BF=FC,即得:BF+FDBF-FD3 BF一，可得：一2 FD57又 A D J.8C，EF 工 BC，:.EFH AD,:.BE:EA=BF-.FD=5:.【例7】如图，在等腰AABC中，AB=AC,AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点F,若BE=6,FD=3,则人4 5。的面积【答案】9 s.【解析】,点 F 是AABC 的重心，.芯=M=2,.AF=2FD=6

22、,AD=9,BF=4,FD EF又：AB=AC,AD是边BC上的中线，AD垂直于BC,.由勾股定理得，B D=C D=币,SAABC=g x B C x A D =；x2币 x9=96.声 题 型二、利用平行线判定证明线段平行M b【例 8】如图，4 W C 中，E 点在边钻 上，尸点在边AC上，下列命题中不正确的是（）A E AF(A)若 E F B C,则说 一 斤AE AF(B)若 E8,则 EF/BCA E EF(C)若 E F B C,则布 一 正AE EF(D)若 花 一 茄，则 所 3 c【答案】D【解析】A、B、C 选项都可由三角形一边平行线性质定理及其判定定理可判定正确，D

23、选 项不符合定理判定内容.故选:B.AF A D应【例 9】如图，点。、尸在的边上，点 E 在边AC上，旦 D E/B C,而一 茄.求证：EF H D C.【答案】见解析.,A D AE A D AE【解析】证明：.,D E/8C,DBEC,则 益 一 元.AF A D AF AE又.耘 一 瓦，ADAC,EF/DC t【例10】点。、E分别在AABC的边AB、AC上，旦DE/BC,以QE为一边作平行四边形AEAG,延长8G、CF交于点，连接求证：AH/EF.【答案】略.DF AF【解析】证明：.QE 3C,BC AC又四边形OEFG为平行四边形，s.DEHFG,DE=FG.,FG HF.A

24、E HF AE HF ACHC 1 ECFC A H/E F.题型三、利用平行线分线段成比例求线段长【例 11如图，1/12/1 AB=3,AC=8,DF=10,求。E、F的长.【解 析】根据平行线分线段成比例定理和比例的合比性,可 得=匹，代 入 求 得E=，则AC DF 4EF=D F-D E =.4【例12如图，直线4、&、4分别交直线。于点A、B、C,交直线 g 于点。、E、F,S./,/,/,.已知 4?=3,AC=5,DF=9,求 D E、EF 的长.【答案】DE3,EF=55【解析】根据平行线分线段成比例定理和比例的合比性,可得 2 =匕，代 入 求 得=AC DF1 Q则 EF

25、=DF DE=5、题 型四、构造“A”与“8”字型【例 13如图，在梯形 ABCD 中，ADBC,AD=3,BC=9,AB=6,CD=4.若 EFB C,且 E F=7,求 A E和 D F的长.（用两种方法解决）8【答案】AE=4,D F=-；3【解析】方 法 1：如图，过点A 作 AGC D,交 EF于点H,交 BC于点G,易得FH=CG=AD=3,AG=CD=4,AE EH 4 DF AE 8AEH=EF-FH=4,BG=BC-CG=6,：EFBC,=一，Z.=,/.AE=4,D F=-.AB AG 6 CD AB 3方法 2：延长 BA、CD 交于点 Q,n j ADEFBC,1 A

26、Q=-AB=3,QD=-Z)CQB QC BC 3 2 2=2,AD 3 QA QD 14 8V A D/E F,:.=-=,AQE=7,QF=,AAE=7-3=4,DF=QF-QD二 一.EF 7 QE QF【例 14如图，。是线段BC上一点，且 2BD=3DC,CE交AB于点、F,隹:0=1:3,求 AT:B F 的【答案】2:1 5.【解析】过点A作 A /3 c 交 b 的延长线于点M,根据三角形一边平行线的性质定理，则有国 =丝=1.D C E D 3乂 2BD=3DC,即 2（B C-C）=3 O C .r 阳 D C 2 A M 2可得一=-,则=.BC 5 BC 1 5由 AM

27、 8 c 可得：A F:BF=A M :BC=2:15.举 一反三1 .A 4 B C 中，直线Q E交 43于点O,交 AC于点E,以下能推出小 的条件是（）A AB_ 2EC _ A D2D E2A.=，B.-一,A D3AE-2AB3BC3 A D2CE 2D.A D4AE4C.=，-，=一,，=DB3AE 3AB3EC3【答案】AABAE=2f【解析】根据比例的性质，可知只有A选项中满足BD EC根据三角形一边平行线的判定定理可知A选项正确，其它都不满足.2 .（2 0 2 1 醴陵市模拟）如图，直线乙/%/,，直线AC和。尸被乙，4 ,&所截，如果4?=2 ,BC=3,EF=2,那

28、么 小 的 长 是（）-/1草*1h4A.2 B.-3【答案】B【解析】解：直线Z,/%/4，.AB DECEF .AB=2,BC=3,EF=2,._2_D-E-,3 2:.DE=-,3故选：B.3.（2021松北区模拟）如图，AABC中,3C.1 D.-4DEI IBC,GF II A C,下列式子错误的是（）【答案】CGM AE r FC AG-=u.=-MF EC-DM DG 解析解：DEUBC，GF/AC,.AAZ）石SM B。，ABGFABAC,DGMNDAE,且四边形MEC尸是平行四边形.AG CF AD AE ME AG 厂 厂BG BF AB AC DM DG.FC 4GDMD

29、G所以4?。正确，。错误.4.（2021温岭市模拟）如图，ABUCDUEF,AF与 的 相 交 于 点G,且AG=2,GD=,DF=5,则BC:CE=（）A.3:5B.1:3C.5:3D.2:3【答案】A【解析】解：.,A B/8/E F，.BC A D=-2-+-1 =3.CE D F 5 5故选：A.5.在 AABC 中，点。、石分别在边 A3 和 上，4）=2,D B =3,5 c=1（）,要使 O 7/A C,则【答案】6.【解析】根据三角形一边平行线的判定定理，要得到DEA C,则必有翅=把AB BC3 RFg|j_2_=,即可求得 B E=6.2+3 106.如图，A4BC 中，D

30、E/BC,=，求证：EF/CD.D F DB【答案】略.【解析】证明：.DEBC,=.DB ECD AF A D AF AED F D B D F ECEF/CD.7.如图，3 知 A D H B E H C F ,它们依次交直线（、4 于点A、B、C 和点。、E、F.(1)如果 AB=6,BC=10,EF=8,求 的 长;(2)如果 OE:比 =3:5,A C=2 4,求 9、8 c 的长.【答案】（1）；（2）AB=9,B C =15.5【解析】（1）根据平行线等分线段成比例定理，则有D E ABEFBC代入可求得DE=丝5（2）根据平行线等分线段成比例定理，则有空=匹=3,BC EF 5

31、AR Q根据比例的合比性，则 有 丝=三，代入可得/W=9，BC=ACAB=15A C 88.如图，在 平 行 四 边 形 中，点 E 在边。C 上，若 D E:E C =1:2,则 3尸:3E=EFB C【答案】3:5.【解析】DE:EC=1:2,可知JCF =CF=7-,CD AB 3RF AR 3由 C E/A B,可知 二 =二，故 BF:BE=3:5.EF CE 29.如图，AABC中，在 上 取 一 点 P,CA上取一点Q,使得于点上则AR:RP=_.【答案】14:3.【解析】过点P 作尸)/8。交AC T D,根据三角形一边平行线性质定理，则有 =丝，PR QD”=2,又 CQ:

32、QA=3:4,令 AQ=4a,PC DC 5。A贝 i CQ=3a,QD=-CQ=-a,7 7由此即可得：AR:RP=AQ:QD=4a:-a=l4:3.A10.如图，在梯形 ABC。中，AD!IBC,AD=3,BC=5,E、AE:EB=:2,求耳 的长.:尸。=2:5,CQ:QA=3:4f A尸与 8。交AAp月是两腰上的点，EF/AD,EB C【答案】3【解析】过点A作A H U D C B C F H,交EF T G,则有 C 7/=A G =A D =3,BH=2,又 EG 11BH,w课后作业1.（2 0 2 0年黄浦区一模）如图1,点。、E分别在小区。的两边B A、CA的延长线上，下

33、列条件能判定E O 8 C的是（）.(A)AD DEABBC(B)AD AEAC-A B(C)AD AB=DE BC；(D)AD AC=AB AE.E D【答案】DAD A E A D AE DB EC-=-双-=-豉-=-【解析】根据二.角形一边的平行线判定定理以及推论，如果E L AB AC AB AC,那么直线D E/B C,逐一验证可得A、B、C 均不正确，故选：D.【答案】CE A A BB C F B直线BF交 A D 的延长线于点E,则下列结论错误的是（）/=吧E D B EB F B CD.-=-B E A E【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形,E D D F CD

34、AB,ADBC,CD=AB,AD=BC,=，故 A 符合题意;E A A BD E E FA D F B,故 B 符合题意;B C F B故 C 不符合题意；E D E F.B F A D .B F B C 必 斤A 人 谷 土.-=-，-=-，故 D 符合题忌.B E A E B E A E故答案为：C.3.（2020年浦东新区一模）如图，已知直线4,2 3分别交直线乙于点A,B,C,交直线4 于点D,E,F,且 44,若 AB=4,AC=,D F=9,则 DE 的 长 为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】BA B D E 刖 4 D E_ =_ R J _ 【解析】,A B=4,A

35、C=,DF=9,D F 6 9,；.口=6.故选8.4.（2020年徐汇区一模）如图，AB/CD/EF,A C =2,A E =5,6。=1.5,那么下列结论正确的是（）(A)DF=；4(C)C =；4(B)E F =；4(D)BF=4【答案】D【解析】：尸，AC=2,AE=5,BD=1.5-A-C=B D即n一2二 1.5,所以AE BF 5 BFD.5.（2021洪泽区二模）如图，/,/2/3,AC 交八 4、A 分别于 A、B、C,且 AC=6,3 c =4,.故选DF交nF4、。、分别于。、E、F,则=EF【解析】解：.AC=6,BC=4,.AB=AC-BC=2f,/&/3，.DE A

36、B故答案为：2A C 16.(2020 年吉林中考)如图，AB/CD/EF.若 CE 2,BD=5,则。F=【答案】10A C B D I【解析】；ABC）EF,A C E D F 2,，Q F=2 B Q=2 x 5=1 0.故答案为 10.7.（2020年虹口区一模）如图4,在梯形AEFB中，AB/EF,AB=6,F=1 0,点 C、。分别在边AE、BF上且CZ）A B,如果AC=3CE,那么CO长为.【答案】9【解析】如图所示，过点B 作 BNA E交 EF于点N,交 CD 于点M,：ABEFCD,BNA E,，四边形 AENB 为平行四边形，.EN=CM=AB=6,FN=10-6=4,

37、又 .,DMFN,A C M D _ 3：.A E F N 4,所以 MD=3,则 CD=3+6=9.8.（2020年静安区一模）在AABC中，边 B C、4 c 上的中线4。、BE 相交于点G,A D=6,那么4G=.【答案】4【解析】.边BC、AC上的中线AD、8 E 相交于点G,.点G 为AABC的重心，.A G：AB=2:3,V AD=6.AG=4.9.如图，在 ABC 中，若 BD:DC=CE:EA=2：1,AD 与 BE 交于 F,贝 U AF:FD=.EA【答案】3：4【解析】过点D 作 DHBE交 AC于点H,EH BD 八 2 1 3:.=2,，EH=-C E,VBD：DC=

38、CE:EA=2：1,AE=-CE=-EHHC DC 3 2 4.AF _AE _3DFEH410.(2019年长宁区月考)如图，平行四边形ABCD中，点 E 在 C D 上，点 F 在 C D 的延长线上，A F 交BD 于点 O,交 BC 于点 G,且 DF:CD=DE:EC,求:OEBC【答案】见解析.【解 析】；四 边 形 AB C D 为 平行四边形，AB=CD,AB CD,A =,BR=VAB OB CD OBDE ODDF:CD=DE:EC,，=，OE/BC.EC OBII.(2020秋浦东新区期中)如图，m知A D U B E U C F,它们依次交直线、/2于点A、B、C 和点

39、。、E、F.(1)如果 4?=6,BC=8,DF=2 1,求 的长；(2)如果):平=2:5,AD=9,CF=14,求 BE 的长.【答案】（1）DE=9；（2）BE=.【解析】解：（1）AD/BE/CF,DE AB.-=-,DF AC AB=6,BC=8,DF=21,DE _ 6五 一:.DE=9.（2）过点。作 D G/A C,交BE于点、H,交CF于点G,则 CG=6 =AD=9,6=14 9=5,.HE/GF,.HE DE,G F-:DE:DF=2:5,GF=5,.HE 2,y -5 :.HE=2,.BE=9+2=11.12.(2019秋黄浦区期中)如图，已知在 AA3c 中，EF/C

40、D.A尸=3,AD=5f AE=4.(1)求 CE的长；75(2)当 AB=一 时，求证：DEHBC.3AQ【答案】(1)CE=-；(2)证明过程见解析.3【解析】解：(1)-EFHCD,.AF _ AE，访 一 耘 AF=3,AD=5,AE=4,3_ 4 S一 就 解得：AC=,3vAE=4,20 Q:.CE=AC-AE=4=2；3 325 20(2)AB=,AD=5,AE=4,AC=,3 3AD AE 3.=-tAB AC 5.NA=NA，:0 D E s g B C、:.ZADE=ZB,:.D E/BC.13.(2019年上海课时练习)梯形ABC。中，点石在AB上，点尸在CD上，且=BC

41、=h.(1)如 图(a),如果点E、P分别为4 3、CD的中点，求证：防 8 c且 所=3 3；2(2)如 图(b),如 果 空=空=，判断E尸和BC是否平行，并证明你的结论，并用a、b、加、的EB FC n代数式表示EF.DADA【答案】（1）见解析；（2）平行，EF=：m+n【解析】（1）证明：过点尸作M N/4?交4）延 长 线 于 点 交6 c于点N,则 四 边 形 为 平 行 四 边 形，=AM=BN.尸为CD中点，由平行可得尸为M N中点，&VFN=-M N,DM=CN.2为 A5 中点，:.BE=-AB=-MN=NF.2 2由MV/MZ?，.四边形E8NF为平行四边形，,./且EF=AM=8N.即 EF=g（AM+8N）=；（a+O M+b-C N）=g（a+b）.（2）证明：过点尸作M N/AB交4）延长线于点M,交BC于 点、N,则四边形43M 0为平行四边形，.A3=MM AM=BN.DM MF DFi!i DM/CN,-=AE DF*.*-=-EB FC由 M V/AB,CN FNAE MFEfi fNAB MN =,:.EB=FN.EB FN：.EF/AB&EF=AM=BN.,DM DF in AM-ai l l-=,可得-CN FC n b-BNBCB