2021-2022学年浙江省宁波市北仑区九年级（上）第一次月考数学试卷（附答案详解）.pdf

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1、2021-2022学年浙江省宁波市北仑区东海实验中学九年级（）第一次月考数学试卷1.若P是RtAABC斜边BC上异于B,C的一点，过点P作直线截力B C,截得的三角形与原 ABC相似，满足这样条件的直线有条.（）A.1 B.2 C.3 D.42.如图，力BC内接于0O,BC=6,AC=2,乙4一/8=90。，则。的面积为（）A.9.6兀B.IOT TC.10.8 兀D.12T T3.已知AB是半径为1的圆。的一条弦，且4B=a l,以AB为一边在圆。内作正4BC,点。为圆。上不同于点A的一点，且DB=AB=a,QC的延长线交圆。于点E,则4E的长为（）A V 5A.一2aB.1c.-2D.a4

2、.如图，A8是O。的弦（非直径），点C是弦A8上的动点（不与点A、B重合），过点。作垂直于。的弦DE,设。的半径为r,弦AB的长为a,=m,则弦DE的长（）A.与r,a,m的值均有关B.只与r,a的值有关C.只 与 心?的值有关D.只与a.5.如图，在RtAABC中，Z-A C B =9 0,分别以 44,B C,CA为直径作半圆围成两月牙形，过点C作分别交三个半圆于点。，E,凡若黑=|，A C +B C =1 5,则阴影部分的面积为（）m的值有关A.16B.20C.25D.306.如图，AB是半圆。的直径，A B=5cm,4C=4cm.D是弧BC上的一个动点（含端点、B,不含端点C）,连接A

3、 D,过 点 C 作CE _ L 4 0 于 E,连接B E,在点。移动的过程中，8 E 的取值范围是（）-_ q _ _A.V13-2 B E B.V13-2 B E 3C.B E 3 D.V 1 3-|BF 37.在O。中，若弦BC垂直平分半径O A,则弦BC所 对 的 圆 周 角 等 于.8.如图，是半径为4 的。0 的直径，P 是圆上异于A,B 的任意一点，N4P8的平分线交O。于点C,连接AC和 BC,A B C的中位线所在的直线与。相交于点E.F,则 E F的长是.9.如图，在RtABC中，NB4c=90。，A B =A C =1 6 cm,4。为 BC边上的高.动点P 从点A 出

4、发，沿4 TD方向以&cm/s的速度向点。运动.设AABP的面积为Si，矩 形 POFE的面积为5 2,运动时间为r秒（0 t 8）,贝亚=秒时，Si=2s2.10.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅弦图，后人称其为赵爽弦图（如图1）.图 2 为小明同学根据弦图思路设计的，在正方形A8C。中，以点B 为圆心，4 8 为半径作诧，再 以 C。为直径作半圆交灰于点E,若边长4B=1 0,则ACDE的面积为.第2页，共19页1 1.如图，正方形4 8 C D中，E为A 8上一点，AF 1 DE于点F,已知DF=5EF=5,过C、D、尸的。与边A O交于点G,则DG=.12.如图，在平面直

5、角坐标系中，4(一2,0),8(0,1),C(0,3),以。为圆心，O C为半径画圆，P为。上一动点，则|P4+PB的 最 小 值 为.13.如图，ABC中，ACB=90,AC=5,BC=12,C。1 4B于点 O,。是线段0 3上一点，DE=2,ED/ACADE JCF2+AF2=J4H +16k2=2园.AC BC=15,:.2V5/c 4-4V5fc=15,k n.一三，2 4C =5,BC=10,第 8 页，共 19页S 版=直径为AC的半圆的面积+直径为8c的半圆的面积+S-BC 直径为4 8的半圆的面积1 A J 1 8 J 1 1 A B 7=-7 T（）2+-7 T（）2 4-

6、i 4C X B C-7 T（）22 2 2 2 2 2 21 ,9 1 9 1 9 1=7 T（?1 C）4 -7 T（C）7 T（i 4B）+X B C8 8 8 21 1=-n（A C2+B C2-A B2）+-A C X B C8 21=-A C x B C21=-x 5 x 1 02=2 5.故选：C.阴影部分面积可以看成是以A C、B C 为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形A B C的面积减去一个以A 8为直径的半圆的面积.此题主要考查了扇形面积的计算公式，阴影部分的面积可以看作是几个规则图形的面积的和或差.6.【答案】B【解析】解：如图,由题意知，“E C =9 0 ,E

7、在以AC为直径的O M 的介上（不含点C、可含点N）,BE 最短时，即 为 连 接 与。M 的交点（图中E 点），是半圆。的直径，4 A C B=9 0 ,:.A B=5,A C=4,B C=3,C M =2,则 B M =IC M2+B C2=V22+32=V1 3,BE 长度的最小值B E =B M -M E =圆 一 2,当 B E 最长时，即 E与 C重合，B C =3,且点E与点C不重合，:.B E 3,综上，V 1 3-2 3,故选：B.由乙4E C =90。知 E在以AC为直径的0 M 的介上（不含点C、可含点N）,从而得B E 最短时，即为连接8M 与OM 的交点（图中E 点）

8、，在R t A B C M 中利用勾股定理求得B M =V 1 3,从而得B E 长度的最小值B E =BM-M E=VH-2；由B E 最长时即E与 C重合，根据B C =3 且点E与点C不重合，得B E ,根据垂径定理可知：OC必垂直平分E F.由M N是 A B C 的中位线，根据三角形中位线定理可得：。=C D =|O C =2.在/?O E O 中求出EC的长，即可得出E F 的值.【解答】解：如图所示，第10页，共19页PC是乙4PB的角平分线，乙APC=Z-CPB,:.AC=BC,AC=BC；AB是直径，乙ACB=90.即 ABC是等腰直角三角形.连接O C,交EF于 点D,则。

9、CL AB；v MN是ABC的中位线，:.MN/AB；二 OC1EF,OD=-O C =2.2连接O E,根据勾股定理，得：DE=V42-22=2V3,EF=2ED=4V3.故答案是：4V3.9.【答案】6【解析】解：,RtAABC中，ABAC=90,AB=AC=16cm,4。为 BC边上的高，A AD=BD=CD=8/2cm,又,:AP=V2t,则Si=AP BD=3 X 8V2 X V2t=8t,PO=8或一 V2t,v Z.BAC=90,A。为 8 c 边上的高，AB=ACZ.PAE=Z.PEA=45,1 PE=AP=V2t,S2=PD PE=(8V2-V2t)-V2t，v S=2S2，

10、8t=2(8V2-V2t)-V2t,解得：t=6,t2=0(舍).故答案是：6.利用三角形的面积公式以及长方形的面积公式，表示出S和S 2,然后根据Si=2Sz，即可列方程求解.本题考查了等腰直角三角形的性质，正确表示出Si和S2是关键.10.【答案】20【解析】解：如图，取 C。的中点尸，连接3 R BE、DE、EF,BF是 EC的垂直平分线，工乙 FBC+乙 BCE=90,乙BCD=90,.Z.DCE+Z.BCE=90,Z.FBC=Z-DCE,又 乙 BCF=Z-CED=90,B C F sCED,BC CF BF:.=,CE DE CDV BC=CD=AB=10,CF=5,(BCF=90

11、,BF=y/BC2+CF2=V102+52=5遍，.1 0 _ 5 _ 5/5:.=-=-,CE DE 10解得：CE=4V5,ED=2A/5,1 SACDE=I x CE x DE=1 x 4/5 x 2/5=20,故答案为：20.根据题意，作出合适的辅助线，然后根据相似三角形的判定与性质，可以得到OE和CE的值，从而可以求得ACDE的面积.本题考查圆的有关计算、勾股定理、正方形的性质、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.11.答案】A/30 V6【解析】解：连接C尸、G F,如图:在正方形 A8CQ 中，Z.EAD=ADC=90,

12、AF 1 DE,EAD,AD _ DF,*=,ED AD第12页，共19页又：DF=5EF=5,AD=7ED-DF=75 x(5+1)=V30=CD,在Rt AFD中，AF=JAD2-DF2=V302-25=V5,乙CDF+AADF=90,/.DAF+ADF=90,:.Z.DAF=乙CDF,四边形G F C D O。的内接四边形，乙FCD+乙DGF=180,v Z.FGA+Z-DGF=180,:.Z-FGA=乙FCD,AF G A DFC,AG AF：.=,CD DFAG _y5夜=W AG=V6,DG=AD-AG=V30-遍，故答案为：V 3 0-V 6.连接CF、G F,由 A F D s

13、E A D可得正方形边长，再由 4尸G s OFC即可得到答案.本题考查圆的性质及应用，涉及正方形的性质、相似三角形的性质及判定等知识，解题的关键是证明 AFGS A DFC.12.【答案】詈【解析】解：如图,延长0 A至D,使0D=p在RtZkBOD中，由勾股定理得，BD=IOB2+OD2=J 12+(|)2=誓OA _ OP _ 2,*=,OP OD 3Z-AOP=乙 POD,A O P s POD,PA _ OP _ 2PD OD 3f3：PD=-P Af2 -PB+P DBD=当 Q、P、B 共线时，PB+PD最小值=BD=詈，即(PA+PB最小值=当，故答案是写.延长。4 至 ,使0

14、。=(可得黑=需，进而得出A O P s p。，从而得出P D=|P 4本题是借助构造相似三角形解决的“阿氏圆”问题，解决问题的关键是根据数据构造三角形相似.13.【答案】解：(1)如 图 1 中,Z-AOC 乙ACB=90,v Z,A=4 8 c s ACO,aAB _ AC AC-AOf AB=y/AC2+BC2=V52+122=13,AC2OA=AB2513(2)如图2 中，取 中 点 F,CO中点Q,连接PF、QF,则PF/E。，FQ/BC,PF 1 FQ,S.PF=ED=1,FQ=BC=6,在Rt PFQ 中，PQ=y/PF2+FQ2=V l2+62=V37.第14页，共19页(3)

15、如图3 中，取 AQ中点G,连接GQ,v G Q/A C,E D/A C,PF/E D,.PF/G Q,P M F s QMG,.PM _ PF _=一2,QM QG 5v PM+QM=V37，：-PM=丁 M Q=PM-Q M =.【解析】本题考查三角形相似综合题、平行线的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形以及相似三角形解决问题，属于中考压轴题.(1)由 A B M 4 c o,得 黎=去 由此即可求出0 4(2)如图2 中，取 BZ)中点F,CQ中点Q,连接PF、Q F,在R tP F Q 中，求出P凡Q F即可解决问题.(3)如图3 中

16、，取AO中点G,连接GQ,由PFGQ,推出 P M Fs&QMG,推 出 瞿=芸=3QM QG 5由PM+QM=扃，可以求出PM,Q M,即可解决问题.14.【答案】解：(1)2/B C 是等边三角形,:.乙 CAB=60,乙D PB =乙C A B =60,v PB =PD,.P B D是等边三角形,:.Z-PB D=60；(2).1 4 8 C 是等边三角形，A B =B C,/,A B C =乙PB D=60,:.Z-ABP=乙CBD,PBD是等边三角形,BP=BD,428支 CDB(SAS),PA=CD,v PB=PD,A PA+PB=PD+CD=PC,PA+PB PC 1,PA+PB

17、+PC-2PC-2 热是定值，理由如下：连接OO,A O,过点A 作4P交 P。于点H,四边形45CO是正方形，tAD=ABf Z.DAB=90,Z-AOD=90,.APD=-Z-AOD=45,2v AH A.AP,:.乙PAH=90,乙AHP=Z.APH=45,4H=4P,v 乙PAH=4BAD=90,:.Z-PAB=乙HAD,P4BgA/MD(S4S),PB=DH,PD=DH+PH=PB+&P 4同理可证，PC=PA+6 BP,.PC+PD=(1+&)(P 4+PB),.PA+PB _ _ PA+PB_ _ _ 2-隹*PA+PB+PC+PD-P4+PB+(1+(PA+PB)-2+V2-2

18、【解析】(1)由同弧所对的圆周角相等，可得40PB=NC4B=60。，再由PB=P O,可得APBD是等边三角形，由此可求解；(2)证明 APBWA CDB(SAS),可得P4+PB=PD+CD=PC,再求一 i -=-=PA+PB+PC 2PC 2(3)连接。0,A O,过点A 作AH 14P 交尸。于点77,证明 PAB丝 HAD(SAS),可得PD=DH+PH=PB+V2P A,同理可证，PC=PA+近B P,则PC+PO=(1+V2XPA+P B),可求PA+PBPA+PB+PC+PD_ 2-E-2.本题考查圆的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，圆的性质，等边三角形的性质，正方

19、形的性质是解题的关键.第16页，共19页1 5.【答案】解：(1)由题意得：/.A =而乙4+NC=180,=6 0 ；(2)如下图，连接。并延长交圆于E点，连接BE,则 Z _ E Z.A 6 0 )B D =E D-sinE=5 V 3；1 0；(3)由(2)知当点O在A C上时，B C +C D=直径=4 C,BC2+A B2=A C2,即：y/A B2+B C2=B C +C D.【解析】解：(1)见答案；(2)见答案；如下图：连接BO、DO、OC,当。在A C上，AC+BC最大，A C +B C =B O+OD =1 0,故答案为：1 0;(3)见答案.【分析】(1)由题意得：z/1

20、 =|z C,而乙4 +4 C=1 8 0即可求解；(2)如下图，连接。并延长交圆于E点，连接BE,B D =E D-sinE=5 V 3；如下图：连接B。、D O,O C,当。在A C上，4 C+BC最大即可求解；(3)由(2)知当点O在A C上时，B C +C D=直径=A C,1 B C2+A B2=A C2,即可求解.此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的性质和勾股定理等知识，。在 AC上,4C+BC最大，是本题的关键.1 6.【答案】(1)5%,3x(2)4P=4Q=3x,PC=4,CQ=6x+4,0M I AB,O 0 是4 ABQ的夕卜接圆，Z.BAQ=90。，二点。是 8。

21、的中点，3.QM=AM=-x9,.0D=MC=-%+4,2 0E=3BQ=|%，ED=2%+4,S矩形DEGF=DF-DE=3x-(2x+4)=90,解 得:%1=-5(舍去)，x2=3,AP=3x=9；v GM=x,BM x,乙GBM=45,:.BM/AQ,A AI=AB=4%,第18页，共19页A IQ=X,N Q e=2,:.x=2&,A P=62.【解析】解：(1)在R M 4B Q 中,v A Q：A B=3：4,A Q=3%,A B =4 x,:.B Q=5%,v OD 1 m,m i l,:.0 D/1,OB =OQ,设 0。与 AB交于点H,A H =B H =-A B =2

22、x,2 C D=2%,3F D =-C D =3 x,2故答案为：5x 3 x；(2)见答案；(3)见答案.(1)由AQ：A B =3：4,A Q=3 x,易得AB=4 x,由勾股定理得B Q,再由中位线的性质得=求得 CD,F D-.(2)利用(1)的结论，易得CQ的长，作。M 1 AQ于点M,则0MA B,由垂径定理得QM=4M=|x,由矩形性质得00=M C,利用矩形面积，求得x,得出结论；(3)连接NQ,由点0 到BN的弦心距为1,得NQ=2,过点B作BM _ L EG于点M,GM=x,B M =x,易得NGBM=45。，B M/A Q,易得4/=4 B,求得/Q,由 NQ 得AP.本题主要考查了勾股定理，垂径定理，正方形的性质，中位线的性质等，结合图形，分类讨论是解答此题的关键.