高考数学二轮复习考点解析：三角函数图象与性质考点透析.pdf

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1、高考数学二轮复习考点解析：三角函数图象与性质考点透析【考点聚焦】考 点1：函 数y=A si n（a +e）（A 0,。0）的 图 象 与 函 数y=si nx图象的关系以及根据图象写出函数的解析式考 点2：三角函数的定义域和值域、最大值和最小值;考 点3：三 角函数的单调区间、最小正周期和三角函数图象的对称轴问题;【考题形式】1。由参定形，由形定参。2。对 称 性、周期性、奇偶性、单调性【考点小测】1.（安 徽 卷）将 函 数y =si nt y x 3 0）的 图 象 按 向 量a=-看,0平 移，平 移 后 的 图 象 如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是.71A.y-si n(

2、x +)B.y=sin(x-)71C.y =si n(2 x +y)71D.y=si n(2 x-y)解：将 函 数 丁 =$巾。式（刃 0）的图象按向量。=一看,0）平移,平移后的图象所对应的解析 式 为y =si n y（x +工），由图象知，cy（+-）=,所 以=2,因 此 选C。6 1 2 6 22.（四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是(A)y =si nl x +I(B)y =si nl 2 x-(C)y=co s I-y I )y c osI 7T 7T 71解 析：从图象看出，一T=一 十 =,所以函数的最小正周期为TI,函 数 应 为y=si n2 x向4 1 2

3、 6 4T T T T T T T T T T 7 T左平移了 一 个 单 位,即 y=si n 2(x +)=si n(2 x +)=co s(-+2 x+)=co s(2 x ),选 D.6 6 3 2 3 63.2007年广东 5.函数f(x)=si n2(x +工)一si n?(x-三)是()4 4A.周期为乃的奇函数；B.周 期 为4的 偶 函 数C.周 期 为2 1的 奇 函 数D.周 期 为2乃的偶函数4 .（湖 南 卷）设 点P是 函 数 x）=si nm的 图 象C的一个对称中心，若 点P到 图 象C的对称轴上的距离的最小值工，则/(x)的最小正周期是 A.2 7r B.7

4、T4C.-D.-2 4解析：设点P是函数x)=si n&r的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值工，最小正周期为n,选B.45 .(天津卷)函数y =A si n(o x +(p)(o 0,|(p|,x e R)的部分图象如图所示，则函数表达式为(A )IT T C 7 1 7 r(A)y =-4 si n(x +)(B)y =4 si n(x )8 4 8 4(C)y =-4 si n(x-)(D)y =4 si n(x +)8 4 8 46(天津 卷)要得到函数)，=J i co sx的图象，只需将函数y =&si n(2 x +工)的图象上所4有的点的(C)1T(

5、A)横坐标缩短到原来的人倍(纵坐标不变)，再向左平行移动七个单位长度2 81JI(B)横坐标缩短到原来的一倍(纵坐标不变)，再向右平行移动。个单位长度2 4T T(Q横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动一个单位长度41 T(D)横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动上个单位长度87.(全 国 卷I)设函数/(x)=co s(氐 +j)(0 j p),若/(x)+r(x)是奇函数，则/=。解析：/(%)=-6 s i n(6%+e),则 x)+r(x)=co s(J x +/)6si n(J J尤+8)=2 5抽(工一也不一夕)为奇函数，、Z E .6 68 .(湖

6、 南 卷)若x)=si n(x +马+3 si n(x-2)是偶函数，则。=4 4解 析：j(x)=a si n(x +)+3 si n(x )=a si n x+co s x)+3(si n x-co s x)是4 4 2 2 2 2偶函数，取。=-3,可得/*)=-3后cosx为偶函数。小测题号12345678答 案CDABACT C3【典型考例】例1至(2006福 建 卷)已知函数/冈=$访2;(+#$加8$*+285、,X1t(I)求函数/(X)的最小正周期和单调增区间；(I I)函数/(X)的图象可以由函数片sin2x(x6R)的图象经过怎样的变换得到？本小题主要考查三角函数的基本公

7、式、三角恒等变换、三角函数的图象利性质等基本知识，以及推理和运算能力。满 分12分。解(I)/(%)=-；2*+sin2x+(1+cos 2x)V3._ 1 .3.乃、3=sin 2x H cos 2x H =sin(2x H )4.2 2 2 6 227rf(x)的最小正周期T=子=7.y?J i 7/Jri Jr!由题意得 2k兀-2xd 2kjr+,k e Z,即 k兀-xkjr-,k GZ.2 6 2 3 67 F T T/(x)的单调增区间为 k 7 l-yk7T+-,k e Z.3 6T T(II)方法一：先 把y=sin2x图 象 上 所 有 点 向 左 平 移 三 个 单 位

8、长 度，得到JI 3y=sin(2x+2)的图象，再把所得图象上所有的点向上平移1个单位长度，就得到JT 3y=sin(2x+)十二的图象。6 2方 法 二：把y=sin 2 x图 象 上 所 有 的 点 按 向 量a一 =(-二71:3)平 移，就得到12 2JT 3y=sin(2x+)+的图象。6 2例 2*(2007 全国)设函数/(x)=sin(21+o)(-)0 0),y=/(x)图像的一条对T T称轴是直线X=J(，求 夕 共)求函数y=/(x)的单调增区间；(III)画出函数y=/(x)8在区间 0,幻上的图像。本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满

9、分12分.解：(I),=一是函数y=/(x)的图像的对称轴，.sin(2x +0)=L8 8n，兀 1 r ,37r-F 71 K 7T H-,k W Z.*.*71 0 0,30,0。o,)=2,0=.2 2a 4A Ay=/(x)的最大值为 2,A Q.:.+2,A 2.f(x)c os(X+2 9)1 -c os(X+2 9).)=/(x)过(1,2)点，COS(5 +29)=1.冗 冗 兀.y +2 e =2攵4 +匹攵 GZ,?.2(p=2 k7u+,k e Z、：,(p=kjc+-,k eZ,7T 冗又0 *彳，.，.9=I.(I I)解法一：(p=,y =1 -x+y)=+snx

10、-/(I)+/(2 +力(3)+F(4 =2+l +0 +l =4.又y =/(x)的周期为 4,2 0 0 8 =4 x 5 0 2,.-./(1)+f(2)+/(2 0 0 8)=4 x 5 0 2 =2 0 0 8.r r jr 3 JT解法二：/(x)=2 s in?(x +夕)/./(l)+/(3)=2 s in2(+?)4-2 s in2(+0)=2,4 4 4/(2)+/(4)=2 s in2(y +2 s in?(乃 +。)=2,/(l)+/(2)+/+/(4)=4.又 y =/(x)的周期为 4,2 0 0 8 =4 x 5 0 2 ,/(I)+/(2)+/(2 0 0 8)

11、-4 x 5 0 2 =2 0 0 8.例 4 (2 0 0 6 湖 北)设 函 数/(x)=a (B +c),其中向量 a =(s inx,-c os x),h=(s in x,-3 c o s),c-(-c os x,s in x),xeR。(I )、求函数/(x)的最大值和最小正周期；(I I)、将函数/(X)的图像按向量2平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小的7。【课后训练】一选择题.1 .(全国卷I)函数/(x)=t a噜+真 的 单调增区间为A.欧,p-g k p+合k Z B.(kp,(k+l)p),k ZC.河 心+余Z D.软0_&夕+豺z2 .(全国

12、I I)若f(s inx)=3 c os 2 x,则/(c os x)=(A)3c os 2 x (8)3s in2 x(C)3+c os 2 x(D)3+s in2 x3.（浙江卷）函数y=sinx+sin 2 x,xe R的值域是2小 1 3 1 小、3 1 1-V2 1 V2 1 1(A)L-,(B)(Q 丁+大-+彳2 2 2 2 2 2 2 2V2 1 V2 1 12 2 2 2Q JI4.（天津卷）已知函数/（x）=tzsin x-bcosx（a、b 为常数，a 1 0,x R）在处取得最小值，则函数y=/（-幻 是（）43 7 1A.偶函数且它的图象关于点（凡0）对称 B.偶函数

13、且它的图象关于点（Q-,0）对称C.奇函数且它的图象关于点（,0）对称 D.奇函数且它的图象关于点（凡0）对称允cos X5(2004年广东9)当0 x sina+sinp(8)sin(a+p)cosa+cosp(C)cos(a+P)sina+sinP(D)cos(a+P)cosa+cosPjr TT7.(全国卷n)已知函数)/1 1 c o x在,)内是减函数，则(A)0 co W 1(B)-1 W C t)0(C)(D)W-l8.(湖 北 卷)若S in a+cos6z=ta n a(0 a ()A.(0,g)69.（山东卷）函数/（x）/s i n g 一 x 0,若/+/=2,则a的所

14、有可能值为（）产/2 0V2 V2 V2(A)1(B)1,-(C)-(D)1,2 2 210.（上海卷）函数/（x）=sin x+2 1 sin x,x e 0,2%的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是。11.（湖北卷）函数y=1 sinxIcosx-1的 最 小 正 周 期 与 最 大 值 的 和 为.12.（重庆卷）已知。、/?均为锐角，且cos（a +/?）=sin（a -4）,则tan a =.解答题题号123456789101112答案CCCDDBACBlk321、.TT1.(广 东 卷)已知函数/(x)=s inx +s in(x +Q),x w R .(I)

15、求/(工)的最小正周期;3川)求/。)的的最大值和最小值；(111)/()=-,求s in 2a的值.4解：/(x)=s in x +s in(x +)=s inx +c os x =V2s in(x +)2 4r(I )/(x)的最小正周期为7=1=2%；(I D/(x)的 最 大 值 为 血 和 最 小 值-痣；3 3 7(I I I )因 为/()=,即 s ina +c os a=-n2s ina c os a =-,即4 4 16.c 7s in 2 a-162.已知函数/(x)=4s in2;t +2s in2x-2 x e R.(1)求/(x)的最小正周期、/(x)的最大值及此时

16、x的集合；(2)证明：函数/*)的图像关于直线=-对称。8解：/(x)=4s in2 x +2s in 2x-2=2s inx-2(1-2s in2 x)=2 s in 2x -2 c os 2 x=2 拒 s in(2x -()所以/(x)的最小正周期T m ，因为九ER,所以，当2 x4为2A +-,即x次女+/时，/(元)最大值为2及；7T(2)证明：欲证明函数/(x)的图像关于直线=-上 对 称，只要证明对任意xeR,有8TTTT/(一石x)=/(-石+X)成立，O O因为/(-x)=2V2 s in 2(-X)一一 =2V2 s in(-2 x)=-272 c os 2 x,8 8

17、4 2=2&s in 2(-g +x)-R =2V2s in(-+2x)=-272 c os 2 x,所以f(-x)=/(一一+x)成立，从而函数f(x)的图像关于直线x=-对称。3.(上 海 春)已知函数/(x)=2sin x+看 2cosx,x e 71、冗24(1)若 sinx=1，求函数/(x)的值;(2)求函数/(x)的值域.4解：(1),sinx=,X G兀Q71 _3cos X=5f M =1S1HX+COSX2-2cosx=V 3sinx-cosx=y +-|(2)/(x)=2sinf x-X7C：.2T C ,4，5万 x-，36 6 sin|x2 I710,a G R),且

18、/(X)的图象在y 轴右侧的第一个高点的横坐标为土x6.(I)求 3 的值；(H)如果/(x)在 区 间 巳,9工 上的最小值3 6为求。的值.角 吊：(I)f (x)=cos 2CDX sin cox+V32 2 2+&=sin 2的 +工+I 3 J县+a2依题意得解热者+2=代6 3 21C O =.2(I I)由(I)矢 口，f (x)=s in(x+.)+c又 当 阵 一弁兀X-G30卫 6 1jr 牧 一5 sin(x +)4 1,从而在在比1-F2因止匕，由 题 设 知 故/坐+c =G a =V3-a2V3+15.已知函数/(x)=sincoS1+百 cos?鼻(I)将 69写

19、成A sin(以+0)的形式，并求其图象对称中心的横坐标;(I I)如果AABC的三边a、b、c 满足b J a c,且边b 所对的角为x,试 求 x 的范围及此时函数/、的值域.解：/(x)=l s in +(1+c os )=-s in +c os +=s in(+-)+2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 271 曰 3k 1(I)由 sin(+)=0 即 +-J=K7r(K G z)得x=-T C Z z3 3 33 -1即对称中心的横坐标为-冗,k e z2(II)由已知b2=aca2+c2-b2cos x=-lac cosx L2_ a2+c2 2ac0 x -,3ac 2a

20、c-ac 1 N-，lac 27t 2x 兀/5兀 +3 3 3 9.71 71.54 71.S呜 Sin(T +L 百 1-I ,3 2 9 2即/(x)的值域为(6,1+手 .TT综上所述，xe(0,1/(工)值域为(6,1+三.说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。6.已知函数 y 二 一c os S(+-s inx ,c os x+1(x E R),2 2(1)当函数y 取得最大值时，求自变量x的集合；(2)该函数的图像可由y 二 s inx(x R)的图像经过怎样的平移和

21、伸缩变换得到？解(1)y=1 c os-2 x+-y-/3-sinx c osx+l=1 (2 c os-2x 1)+1 +-y-/-3(2 sinx,c osx)+12 2 4 4 4=c os2 x+-sin2 x+一二一(c os2 x sin +sin2 x c os )+4 4 4 2 6 6 4=1 si.n(小2 x+)、+一52 6 4Jr j r jr所以 y 取最大值时，只需 2 x+=+2 k n,(ke Z),B|J x=+k n,(ke Z)o6 2 6TT所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为x|x=+kn,ke Z 6(2)将函数y=sinx依次进行如下变换：TT 7T(i)把函数厂sinx的图像向左平移一，得到函数产sin(x+)的图像；6 6(i i)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的,倍(纵 坐 标 不 变)，得到函数27Ty=sin(2 x+)的图像；6(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的工倍(横坐标不变)，得到函数21 兀y=sin(2 x+生)的图像;2 6(iv)把得到的图像向上平移*个单位长度，得到函数尸，sin(2 x+C)+*的图像。4 2 6 4综上得到 y=c os2x+-sinxc osx+1 的图像。2 2