九年级下册第一章直角三角形的边角关系教案.pdf

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1、1.1.11.1.1 锐角三角函数锐角三角函数一、教材依据一、教材依据本节为九年级（下）第一章直角三角形的边角关系的第一节从梯子的倾斜程度谈起第一课时。直角三角形的边角关系是现实世界中应用最广泛的关系之一，锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的应用。通过本节的学习，学生将进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法。也将为学生学习正弦、余弦等三角函数知识及进一步学习其他数学知识奠定了基础。二、设计思路二、设计思路从新课标中让我们知道：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教学应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过

2、程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。”基于课标，我运用导学稿，采用自主探究、合作交流等形式完成了本节课的教学。三、教学准备三、教学准备（一）学生知识状况分析（一）学生知识状况分析本节课从生活实例出发，让学生观察多种梯子倾斜的情况，对于梯子的倾斜问题学生在生活中也有一定的生活经验，可以很容易通过观察分析出简单的梯子倾斜情况，但对于倾斜角度非常接近的情况，就需要通过本节课的学习利用直角三角形三边的关系来判断。（二）教学任务分析（二）教学任务分析教学目标教学目标知识与技能 1.经历探索直角三角形

3、中边角关系的过程。理解正切的意义和与现实生活的联系。2.能够用 tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算。过程与方法 1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点。2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力。3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神。情感态度与价值观 1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲。2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯。教学重点教学重点 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系。2.理解正切、倾斜程度、

4、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系。教学难点教学难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比。教学方法：教学方法：引导探究法教具准备：教具准备：多媒体演示四、教学过程四、教学过程（一）创设问题情境，引入新课（一）创设问题情境，引入新课 问题 1我们在七年级下册中研究了直角三角形的两锐角关系，你能说出两锐角有怎样关系吗?问题 2我们在八年级上册中研究了直角三角形的三边关系，你能说出三边有怎样关系吗?问题 3在直角三角形中边与角有怎样的关系？本章就来研究一下直角三角形的边与角的关系。这节课，我们就先从梯子的倾斜程度谈起。(板书课题1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起)（二）讲授新课（二）讲授新课1、用

5、多媒体演示如下内容：梯子是我们日常生活中常见的物体。我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的?“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的?师你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？师观察梯子在上升变陡的过程中，倾斜角，铅直高度与水平宽度的比发生了什么变化？多媒体演示生研究的结论：倾斜角越大梯子越陡铅直高度与水平宽度的比值越大梯子越陡师提问：梯子的倾斜程度与哪些因素有关？生 1倾斜角生 2铅直高度与水平宽度的比值（在直角三角形中这个锐角的对边与邻边的比值）2、巩固练习请同学们看下图，并回答问题(用多媒体演示)(1)在图中，梯子 AB 和 EF 哪个更陡?你是怎样判断

6、的?(2)在下图中，梯子 AB 和 EF 哪个更陡?你是怎样判断的?(3)在下图中，梯子 AB 和 EF 哪个更陡?你是怎样判断的?(4)在下图中，梯子 AB 和 EF 哪个更陡?你是怎样判断的?3、想一想如图，小明想通过测量 B1C1：及 AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量 B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度。你同意小亮的看法吗?(1)直角三角形 AB1C1和直角三角形 AB2C2有什么关系?(2)B1C1B C和22和有什么关系?AC1AC2(3)如果改变 B2 在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论?师我们已经知道可以用梯子的垂直高度和

7、水平宽度的比描述梯子的倾斜程度，即用倾斜角的对边与邻边的比来描述梯子的倾斜程度。下面请同学们思考上面的三个问题，再来讨论小明和小亮的做法。生由图还可知：B2C2AC2，B1C1AC1，得 B2C2/B1C1，RtAB1C1RtAB2C2.生相似三角形的对应边成比例，得师观察改变 B2 在梯子上的位置（多媒体演示）生 如果改变 B2在梯子上的位置，总可以得到 RtB2C2ARtRtB1C1A，仍能得到总成立.B1C1B2C2B CB C因此，无论 B2在梯子的什么位置(除 A 外)，1122AC1AC2AC1AC2 师也就是说无论 B2在梯子的什么位置(A 除外)，A 的对边与邻边的比值是不会改

8、变的.由于直角三角形中的锐角 A 确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定，因此我们有如下定义：(多媒体演示)如图，在 RtABC 中，如果锐角A 确定，那么A 的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做A 的正切(tangent)，记作 tanA，即 tanA=A的对边A的邻边（思考）前面我们讨论了梯子的倾斜程度，梯子的倾斜程度与 tanA 有关系吗？与A 有关吗?如图与 tanA 有关:tanA 的值越大,梯子 AB1 越陡。与A 有关:A 越大,梯子 AB1 越陡。师定义中应该注意的几个问题:（1）.tanA 是一个完整的符号,表示A 的正切,习惯上省去“”号；若用三个字母（或者数字）表示角时

9、，则“”不能省略，如“ABC（或 1）的正切表示为 tanABC（或 tan1）”；（2）.tanA 是一个比值（即在直角三角形中锐角A 的对边与邻边的比.且 tanA0,无单位.)（3）.tanA 不表示“tan”乘以“A”。（4）.初中阶段，我们只学习直角三角形中，A 是锐角的正切。4、巩固训练（用多媒体演示）(三三)、例题讲解、例题讲解（小组展开讨论、多媒体演示）例 1如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡，只需分别求出 tan、tan的值，比较大小，越大，扶梯就越陡。解：甲梯中，tan=的对边55的邻边1213252乙梯中，tan=的对边6

10、3的邻边84因为 tantan，所以乙梯更陡。师正切经常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度.如图，有一山坡在水平方向上每前进 100m，就升高 60 m，那么山坡的坡度(即坡角的正切tan就是：tan=603.1005这里要注意区分坡度和坡角。坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度。坡度越大，坡面就越陡。(四四)、随堂检测、随堂检测（多媒体展示、学生自主完成）（五）（五）、课时小结、课时小结1、决定梯子的倾斜程度的因素倾斜角:倾斜角越大梯子越陡铅直高度与水平宽度的比值:铅直高度与水平宽度的比值越大梯子越陡2.正切的定义:在 RtABC 中,锐角 A 的对边与邻边的比叫做A 的正切,记作

11、tanA,即tanA 的值越大,梯子 AB 越陡.（六）（六）、课后作业、课后作业 P6 习题 1.1 第 1、2 题.（七）（七）、板书设计、板书设计1.1.1从梯子的倾斜程度谈起(一)1.当直角三角形中的锐角确定之后，它的对边与邻边之比也随之确定。2.正切的定义：在 RtABC中，锐角 A 确定，那么A 的对边与邻边的比随之确定，这个比叫做A 的正切，记作 tanA，即tanAA的对边.A的邻边注：tanA 的值越大.梯子越陡.坡度通常表示斜坡的倾斜程度，是坡角的正切.坡度越大，坡面越陡。3.例题讲解4.随堂检测5.课时小结五、教学反思五、教学反思本节课主要采用“以导助学”的方式实施教学，

12、通过循序渐进、环环相扣的问题串，让学生在自主学习与探究中逐步体会“梯子”的倾斜程度与哪些量有关，是怎样的变化关系，从而形成函数意识，近而总结出正切函数的概念。概念的理解需要在运用中消化和深化，所以我进一步利用了导学稿，让学生带着跃跃欲试的心情，在艰难独行中获得成功或失败的感验，最后进行交流与点拨，让知识的得来水到渠成，也让学生感觉到上课就像是一次充满刺激与趣味的探险，而又离不开隐在“暗处”的老师。在导学稿的设计中，注意每一环节的目的和要求；在概念的形成中，老师的点拨与问题要准要精；在例题与练习等运用中，要放手，要给学生充分的时间；在交流与点拨中，不仅要让学生展示他们的成功，更要让他们展示他们的

13、失败，因为在这些失败的反馈中，我们才能更深刻和全面的理解知识。反思这节课，还有不少得与失。本节课的亮点是：在概念的引出上条理清晰，重点突出概念的教学，通过课件让学生通过观察得到直观印象，然后再让学生通过猜想、验证，从而进一步进行证明，有利于学生自主地建立概念。本节课的不足是：课堂上学生的参与还不足，学生的积极回答问题，还有待进一步提高。通过本节课的学习，学生能运用新知识解决与直角三角形有关的实际问题，进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法。直角三角形的边角关系讲义【基础知识精讲】一、互余两角之间的函数关系：二、同角三角函数：sin2A cos2A 1tan Acot A 1三、坡比（坡度

14、）：坡面的铅直高度 h 与水平宽度 L 的比叫做坡角的正切或坡比.h用字母 i 表示，即 i=tana=lha【例题巧解点拨】例 1.计算：（1）sin 1 sin 2 sin 3 sin 88 sin2890（2）tan10tan20tan30tan40tan50tan60tan70tan80.（3）计算：例 3 如图，ABC 中，cosB2，sinC3，则ABC 的面积是（）2520202020l21 B12 C14 D212变式训练：1.1.如图，在四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（）AA.B.C.D.2如图，两条宽度

15、都是 1 的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的夹角为，则它们的重叠部分的面积为_.【名书、名校、中考、竞赛在线】一、选择题：1.如图，从热气球 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为 30、45，如果此时热气球 C 处的高度 CD 为 100 米，点 A、D、B 在同一直线上，则 AB 两点的距离是（）A200 米 B.200 3米 C.220 3米 D.100(31)米344335452 小明想测一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为 8 米，坡面上的影长为 4 米，已知斜坡的坡角为 300，同一时刻，一根长为 1 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的

16、影长为 2 米，则树的高度为（）A.(6 63 3)米 B.12 米 C(4 42 2 3 3)米 D.10 米二、填空题:3.在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影子长为0.8米。同时另一3030 名同学测量一颗树的高度时，发现影子不全落在地面上，有一部分影子落在墙壁AB上，其影长为1.2米，落在地面上的影子长为2.4米，则树高为_米。DC1 题图 2 题图30454.（咸宁）如图，已知直线l1l2l3l4，相邻两条平行直线间的距离都是 1，如果正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin5.（福州）如图，已知ABC，AB=AC=1，A=36，ABC 的平分线 BD 交 AC

17、于点 D，则 AD 的长是，cosA 的值是 .（结果保留根号）AAl13题图4 题图 5l2ADB题图l3DC四、解答题：l46如图，矩形 ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意BC图，已知 BC=2m，CD=5.4m，DCF=30，请你计算车位所占的宽度 EF 约为多少米？（，结果保留两位有效数字）7.在一次课题设计活动中，小明对修建一座 87m长的水库大坝提出了以下方案；大坝的横截面为等腰梯形，如图，ADBC，坝高 10m，迎水坡面AB的坡5度i，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的35基础上，将迎水坡面AB的坡度进行修改，修改后的迎水坡面AE的坡度i。6（1）求

18、原方案中此大坝迎水坡AB的长（结果保留根号）（2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿EC方向拓宽 2.7m，求坝底将会沿AD方向加宽多少米？8.如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的CEB求救信号，已知A、B两船相距100(3 1)海里，船C在船A的北偏东 60方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东 75方向上.(1)分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请DA保留根号）；（2）已知观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的

19、途中有无触礁的危险？（参考数据：2.1.41,3 1.73）NB45，BC AC,9.如图，已知斜坡AB长60 2米，坡角（即BAC）为45AC的休闲平台现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线DE和一条新的斜坡BE（下面两个小题结果都保留根号）.D的长是多少米？（1）若修建的斜坡BE的坡比为3:1，求休闲平台DE75（2）一座建筑物GH距离A点 33 米远（即AG=33 米），小亮在D点测得C建筑物顶部H的仰角（即HDM）为30，点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG CG,问建筑物GH60高为多少米？A作业姓名：_作业等级：.M一、选择、填空题

20、：1.在 RtABC 中，C=90，AC=2，BC=1，则 tanB=.2.如图，已知一商场自动扶梯的长 z 为 10 米，该自动扶梯到达的高度 h 为 6米，自动扶梯与地面所成的角为，则 tan的值等于()3344A.B.C.D.5435二、计算题：3.计算（2019）0+（tan60）1tan303+381 104.计算.(3.14)|1tan 60|23 23三、解答题：5.如图，已知ABC中，C 90，D是BC边中点，且BDA120，AC 3，求tan B.章末复习章末复习(一一)直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系分点突破分点突破知识点知识点 1 1锐角三角函数锐角三角函数1.1

21、.在 RtABC 中，C90，a，b，c 分别是A，B，C的对边，下列等式中，正确的是(C)bcA.sinA B.cosBcaaaC.tanA D.tanBbb2.2.在ABC 中，A，B，C 对边分别为 a，b，c，a5，b12，c13，下列结论成立的是(C)125A.sinA B.cosA513512C.tanA D.cosB1213知识点知识点 2 2特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值3.3.（tan301）2的值是(A)3A.1 B.313C.31 D.1 3324.4.已知A，B，C分别是ABC 的三个内角，若(2sinA1)0，则ABC 的形状为直角三角形.5.5.计算：(1)(

22、1)22cos30 3(2 019)0；解：原式121 3 313 3121cosB 22.3tan302tan60(2)4sin60.cos603解：原式32 33341222 32 30.知识点知识点 3 3解直角三角形解直角三角形6.6.在 RtABC 中，C90，c2，b1，则 a 3，B30.37.7.(2019自贡)如图，在ABC 中，BC12，tanA，B30，求 AC 和 AB4的长.解：过点 C 作 CDAB 交 AB 于点 D.B30，BC12，CD6.在 RtBDC 中，BD BC2CD26 3.tanACD3，AD8.AD4ABADBD86 3.在 RtADC 中，AC

23、 AD2DC210.知识点知识点 4 4三角函数的实际应用三角函数的实际应用8.8.(2019宜昌)如图，要测量小河两岸相对的两点 P，A 的距离，可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上的一点 C，测得PC100 米，PCA35，则小河宽PA 等于(C)A.100sin35米B.100sin55米C.100tan35米D.100tan55米9.9.(2019宜宾)某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱 AB，CD 均垂直于地面，点 E 在线段 BD 上，在 C 点测得点 A 的仰角为 30，点 E 的俯角也为 30，测得B，E 间距离为 10 米，立柱 AB 高 30 米.求立柱 CD 的高(结

24、果保留根号).解：过点 C 作 CFAB 于点 F，设 CD 为 x 米.由题意知，ACFFCE30，BFx，AF30 x.在 RtAFC 中，tan30AF，FCFC30 x30 3 3x.33x，DE在 RtCED 中，CEDFCE30，tanCEDx 3x.BDBEDE10 3x.33DE又FCBD，30 3 3x10 3x.解得 x1553.35立柱 CD 的高为(153)米.3易错题集训易错题集训10.10.在ABC 中，A，B 均为锐角，且(tanB 3)(2sinA 3)0，则ABC一定是(D)A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.有一个角是 60的三角形11.11.已知

25、等腰三角形两条边的长分别是 3，7，底角为，则 cos3.1412.12.已知 AD 是ABC 的高，CD1，ADBD 3，则BAC75或 15.313.13.已知在ABC 中，tanA，AB5，BC4，那么 AC 的长等于 4 7或 4 7.4中考题型演练中考题型演练14.14.在 RtABC 中，C90，若斜边 AB 是直角边 BC 的 3 倍，则 tanB 的值是(D)12A.B.3C.34D.2 215.15.(2019宜昌)ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，ADBC 于 D，下列选项中，错误的是(C)A.sincos B.tanC2C.sincos D.tan1

26、16.16.如图，斜面 AC 的坡度(CD 与 AD 的比)为 12，AC3 5米，坡顶有旗杆 BC，旗杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带相连.若 AB10 米，则旗杆 BC 的高度为(A)A.5 米 B.6 米C.8 米 D.(3 5)米17.17.如图，已知四边形ABCD 中，ABC90，ADC90，AB6，CD4，BC的延长线与 AD 的延长线交于点 E.(1)若A60，求 BC 的长；4(2)若 sinA，求 AD 的长.5解：(1)A60，ABE90，AB6，tanAE30，BEtan6066 3.BE，AB又CDE90，CD4，sinE4CE 8.12BCBECE6 38.CD，E

27、30，CEBE4(2)ABE90，AB6，sinA，AE5设 BE4x，则 AE5x.AB3x.3x6，解得 x2.BE8，AE10.AB6CD4tanE，BE8DEDE解得 DE16.31614ADAEDE10.3318.18.(2019河南)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离，某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答.如图所示，底座上A，B 两点间的距离为 90 cm，低杠上点 C 到直线 AB 的距离 CE的长为 155 cm，高杠上点 D 到直线 AB 的距离 DF 的长为 234 cm.已知低杠的支架AC 与直线 AB 的夹角CAE 为 82.4，高杠的支架 BD 与直线 AB 的夹角DBF 为80.3.求高、低杠间的水平距离 CH 的长.(结果精确到 1 cm，参考数据：sin82.40.991，cos82.40.132，tan82.47.495，sin80.30.986，cos80.30.168，tan80.35.850)解：AECE15521(cm).tan82.47.495BFDF23440(cm).tan80.35.850CHEAABBF219040151(cm).答：高、低杠间的水平距离 CH 的长为 151 cm.