2023年《概率论与数理统计教程》沈恒范著-期末复习重点.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 概率论与数理统计教程期末复习提要 第一章 随机事件与概率 1事件的关系 ABABAABBABA 2运算规则（1）BAABABBA （2）)()()()(BCACABCBACBA（3）)()()()()(CBCACABBCACCBA（4）BAABBABA 3概率)(AP满足的三条公理及性质：（1）1)(0AP （2）1)(P（3）对互不相容的事件nAAA,21，有nkknkkAPAP11)()(（n可以取）（4）0)(P （5）)(1)(APAP （6）)()()(ABPAPBAP，若BA，则)()()(APBPABP，)()(BPAP（7）)()()()(ABPBPAPBA

2、P（8）)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP 4古典概型：基本事件有限且等可能 5几何概率 6条件概率（1）定义：若0)(BP，则)()()|(BPABPBAP（2）乘法公式：)|()()(BAPBPABP 若nBBB,21为完备事件组，0)(iBP，则有（3）全概率公式：niiiBAPBPAP1)|()()(（4）Bayes 公式：niiikkkBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(7事件的独立性：BA ,独立)()()(BPAPABP （注意独立性的应用）学习必备 欢迎下载 第二章 随机变量及其分布 1 离散随机变量：取有限或可列个

3、值，iipxXP)(满足（1）0ip，（2）iip=1 （3）对任意RD，DxiiipDXP:)(2 连续随机变量：具有概率密度函数)(xf，满足（1）1)(,0)(-dxxfxf；（2）badxxfbXaP)()(；（3）对任意Ra，0)(aXP 3 几个常用随机变量 名称与记号 分布列或密度 数学期望 方差 两点分布),1(pB pXP)1(，pqXP1)0(p pq 二项式分布),(pnB nkqpCkXPknkkn,2,1,0,)(，np npq Poisson 分布)(P,2,1,0,!)(kkekXPk 几何分布)(pG,2,1,)(1kpqkXPk p1 2pq 均匀分布),(b

4、aU bxaabxf ,1)(，2ba 12)(2ab 指数分布)(E 0 ,)(xexfx 1 21 正态分布),(2N 222)(21)(xexf 2 4 分布函数 )()(xXPxF，具有以下性质 （1）1)(,0)(FF；（2）单调非降；（3）右连续；（4）)()()(aFbFbXaP，特别)(1)(aFaXP；（5）对离散随机变量，xxiiipxF:)(；（6）对连续随机变量，xdttfxF)()(为连续函数，且在)(xf连续点上，)()(xfxF 5 正态分布的概率计算 以)(x记标准正态分布)1,0(N的分布函数，则有 （1）5.0)0(；（2）)(1)(xx；（3）若),(2N

5、X，则)()(xxF；若为完备事件组则有全概率公式公式事件的独立性独立注意独立性的应记号分布列或密度数学期望方差两点分布二项式分布分布几何分布均匀分布的分布函数则有若则学习必备欢迎下载以记标准正态分布的上侧分学习必备 欢迎下载 （4）以u记标准正态分布)1,0(N的上侧分位数，则)(1)(uuXP 6 随机变量的函数 )(XgY （1）离散时，求Y的值，将相同的概率相加；（2）X连 续，)(xg在X的 取 值 范 围 内 严 格 单 调，且 有 一 阶 连 续 导 数，则|)(|)()(11ygygfyfXY，若不单调，先求分布函数，再求导。第三章 随机向量 1 二 维 离 散 随 机 向 量

6、，联 合 分 布 列ijjipyYxXP),(，边 缘 分 布 列iipxXP)(，jjpyYP)(有（1）0ijp；（2）ijijp1；（3）jijipp，iijjpp 2 二维连续随机向量，联合密度),(yxf，边缘密度)(),(yfxfYX，有 （1）0),(yxf；（2）1),(yxf；（3）GdxdyyxfGYXP),(),(；（4）dyyxfxfX),()(，dxyxfyfY),()(3 二维均匀分布其它 0,),(,)(1),(GyxGmyxf，其中)(Gm为G的面积 4 二维正态分布),(),(222121NYX，其密度函数（牢记五个参数的含义）2222212121212221

7、)()(2)()1(21exp121),(yyxxyxf且),(),(222211NYNX；5 二维随机向量的分布函数),(),(yYxXPyxF有（1）关于yx,单调非降；（2）关于yx,右连续；（3）0),(),(),(FyFxF；（4）1),(F，)(),(xFxFX，)(),(yFyFY；（5）),(),(),(),(),(111221222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP；（6）对二维连续随机向量，yxyxFyxf),(),(2 若为完备事件组则有全概率公式公式事件的独立性独立注意独立性的应记号分布列或密度数学期望方差两点分布二项式分布分布几何分布均匀分布的分布函数则有若

8、则学习必备欢迎下载以记标准正态分布的上侧分学习必备 欢迎下载 6随机变量的独立性 YX,独立)()(),(yFxFyxFYX（1）离散时 YX,独立jiijppp（2）连续时 YX,独立)()(),(yfxfyxfYX（3）二维正态分布YX,独立0，且),(222121NYX 7随机变量的函数分布（1）和的分布 YXZ的密度dxxzxfdyyyzfzfZ),(),()(（2）最大最小分布 第四章 随机变量的数字特征 1期望(1)离散时 iiipxXE)(，iiipxgXgE)()(；(2)连续时dxxxfXE)()(，dxxfxgXgE)()()(；(3)二维时jiijjipyxgYXgE,)

9、,(),(，dydxyxfyxgYXgE),(),(),(4)CCE)(；（5）)()(XCECXE；（6）)()()(YEXEYXE；（7）YX,独立时，)()()(YEXEXYE 2方差（1）方差222)()()()(EXXEXEXEXD，标准差)()(XDX；（2）)()(,0)(XDCXDCD；（3）)()(2XDCCXD；（4）YX,独立时，)()()(YDXDYXD 3协方差（1）)()()()()(),(YEXEXYEYEYXEXEYXCov；（2）),(),(),(),(YXabCovbYaXCovXYCovYXCov；（3）),(),(),(2121YXCovYXCovYXX

10、Cov；（4）0),(YXCov时，称YX,不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；若为完备事件组则有全概率公式公式事件的独立性独立注意独立性的应记号分布列或密度数学期望方差两点分布二项式分布分布几何分布均匀分布的分布函数则有若则学习必备欢迎下载以记标准正态分布的上侧分学习必备 欢迎下载（5）),(2)()()(YXCovYDXDYXD 4相关系数 )()(),(YXYXCovXY；有1|XY，1)(,1|baXYPbaXY 5k 阶原点矩)(kkXE，k 阶中心矩kkXEXE)(第五章 大数定律与中心极限定理 1Chebyshev 不等式 2)(|)(|XDXEXP 或2)(1|)(|

11、XDXEXP 2大数定律 3中心极限定理 （1）设 随 机 变 量nXXX,21独 立 同 分 布2)(,)(iiXDXE，则),(21nnNXnii近似，或),(121nNXnnii近似 或)0,1(1NnnXnii近似，（2）设m是n次独立重复试验中A发生的次数，pAP)(，则对任意x，有)(limxxnpqnpmPn或理解为若),(pnBX，则),(npqnpNX近似 第六章 样本及抽样分布 1总体、样本（1）简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）；（2）样本数字特征：样本均值niiXnX11（)(XE，nXD2)(）；样本方差niiXXnS122)(11（22)(

12、SE）样本标准差niiXXnS12)(11 样本k阶原点矩nikikXn11，样本k阶中心矩nikikXXn1)(1 2统计量：样本的函数且不包含任何未知数 3三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）（1）2分布)(2222212nXXXn，其中nXXX,21独立同分布于标准正态分布)1,0(N，若)(),(2212nYnX且独立，则)(212nnYX；若为完备事件组则有全概率公式公式事件的独立性独立注意独立性的应记号分布列或密度数学期望方差两点分布二项式分布分布几何分布均匀分布的分布函数则有若则学习必备欢迎下载以记标准正态分布的上侧分学习必备 欢迎下载 （2）t分布)(/ntnYX

13、t，其中)(),1,0(2nYNX且独立；（3）F分布),(/2121nnFnYnXF，其中)(),(2212nYnX且独立，有下面的性质 ),(1),(),(11221112nnFnnFnnFF 4正态总体的抽样分布（1）)/,(2nNX；（2）)()(11222nXnii；（3）)1()1(222nSn且与X独立；（4）)1(/ntnSXt；（5）)2()()(21212121nntnnnnSYXt，2)1()1(212222112nnSnSnS（6）)1,1(/2122222121nnFSSF 第七章 参数估计 1矩估计：（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）

14、解方程求出矩估计 2极大似然估计：（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为 0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为 minix或 maxix）3估计量的评选原则(1)无偏性：若)(E，则为无偏；(2)有效性：两个无偏估计中方差小的有效；4参数的区间估计（正态）参数 条件 估计函数 置信区间 2已知 nxu/2nux 2未知 nsxt/)1(2nsntx 2 未知 222)1(sn )1()1(,)1()1(2212222nsnnsn 若为完备事件组则有全概率公式公式事件的独立性独立注意独立性的应记号分布列或密度数学期望方差两点分布二项式分布分布几何分布均匀分布的分布函数则有若则学习必备欢迎下载以记标准正态分布的上侧分