2022年《概率论与数理统计教程》沈恒范著-期末复习重点.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载概率论与数理统计教程期末复习提要第一章随机大事与概率PB1大事的关系ABABABABAAB2运算规章（1）ABBAABBA（2）ABCABCABCA BC（3）ABCACBCABCACBC（4）ABABABAB3概率P A满意的三条公理及性质：（1）0PA1（2）P1nn（3）对互不相容的大事A 1,A 2,An,有PA kP A k（ n 可以取）k1k1（4）P0（5）PA 1PA （6）PAB PA PAB,如AB,就PBAPBPA,PA （7）PABPAPBPAB（8）PABCPA

2、PB PCPABPACPBCP ABC4古典概型：基本领件有限且等可能 5几何概率 6条件概率（1）定义：如PB0,就PA|BPAB 第 1 页,共 6 页 PB（2）乘法公式：PABPBP A|B如B 1,B2,Bn为完备大事组,PBi0,就有n（3）全概率公式：PAPBiPA|Bii1（4）Bayes 公式：PB k|APBkP A|BknPB iPA|Bii1（留意独立性的应用）7大事的独立性：A,B独立PABPAPB细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - -

3、- - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载其次章 随机变量及其分布1 离散随机变量：取有限或可列个值,PXx ip i满意（ 1）ipf0,（2）1iip =1 （3）对任意DR,PXDpi-x dx；i:x iD2 连续随机变量：具有概率密度函数fx,满意（ 1）fx0 ,（2）PaXb bfxdx；（3）对任意aR,PXa0a3 几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望x方差 第 2 页,共 6 页 两点分布B,1pPX1 p,PX0q1pppqnpq二项式分布Bn,p PXkCkpkqnk,k0,1,2,n,npnPoisson 分布PkqPXkek .,k0 ,1,

4、2 ,PXkqk1p ,k,12 ,1几何分布G ppp2匀称分布Ua,bba2fx b1a,axb,a2b12指数分布Efx ex,x0112fx1ex2正态分布N,222x224 分布函数Fx PXx,具有以下性质（1）F0 ,F1；（2）单调非降；（3）右连续；fx（4）PaXbFbFa ,特殊P Xa1Fa；（5）对离散随机变量,Fx pi；i:x ix（6）对连续随机变量,Fx xftdt为连续函数, 且在fx连续点上,F5 正态分布的概率运算以x 记标准正态分布N1,0的分布函数,就有（1）00 .5；（2）x1x ；（3）如XN,2,就Fx ；细心整理归纳 精选学习资料 - -

5、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（4）以 u记标准正态分布N0 1, 学习必备欢迎下载PXu1u的上侧分位数,就6 随机变量的函数YgX（1）离散时,求 Y 的值,将相同的概率相加；（ 2 ） X 连 续 ,gx在 X 的 取 值 范 围 内 严 格 单 调 , 且 有 一 阶 连 续 导 数 , 就 第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - fYy fXg1y|g1y |,如不单调,先求分布函数,再求导；第三章随机向量1 二 维 离

6、散 随 机 向 量 , 联 合 分 布 列PXxi,Yyjpij, 边 缘 分 布 列P Xxipi,P Yyjpj有（1）pij0；（2）pij1；（3）pip ij,pjpijijji2 二维连续随机向量,联合密度fx ,y,边缘密度fXx,fYy,有（1）fx,y0；（ 2）fx,y1；（3）P X, YG Gfx ,y dxdy；（4）f Xxfx ,ydy,fYyfx,ydx3 二维匀称分布fx ,y1,x,yG,其中mG为 G 的面积m G 0,其它4 二维正态分布X,YN1,2,2,2,其密度函数（牢记五个参数的含义）12fx ,y21112exp2 112x2122x1y2y2

7、2221212且XN1,2,YN2,2；125 二维随机向量的分布函数Fx,yPXx ,Yy有（1）关于x,y单调非降；（2）关于x,y右连续；（3）Fx,F,yF,0；（4）F,1,Fx ,FXx,F,y FYy；（5）Px 1Xx2,y1Yy2Fx 2,y2Fx 1,y2Fx 2,y 1Fx1,y 1；（6）对二维连续随机向量,fx ,y2Fx,yxy细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -6随机变量的独立性X ,Y独立学习必备,y欢迎下载F YyFxFXx（

8、1）离散时X ,Y独立pijx,pipjfYyN12,22（2）连续时X ,Y独立fyfXx（3）二维正态分布X ,Y独立0 ,且XY127随机变量的函数分布（1）和的分布ZXY的密度f Zzfzy,y dyfx ,zx dx（2）最大最小分布第四章随机变量的数字特点1期望1 离散时EXxip i,EgXigxip i；dx；gx ,yfx ,ydx dyi2 连续时EXxfx dx,EgXEggxfx3 二维时EgX,Ygx i,yjp ij,X,Yi,j4ECC；（5）ECXCEX；（6）EXYEXE Y；（7）X ,Y独立时,EXYEXEY2方差（1）方差DXEXEX2EX2YEX2,标

9、准差XDX；X（2）D C0,DXCD；XD（3）D CXC2DX；D（4）X ,Y独立时,DXY3协方差（1）CovX,YXEXEXYEY2EXYEXE Y； 第 4 页,共 6 页 （2）CovX,YCovY,X,CovaX,bYabCovX,Y；（3）CovX2,YCovX1,YCovX,Y；1YCovX,0时,称X ,Y不相关,独立（4）不相关,反之不成立,但正态时等价；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（5）D

10、XYDXDY学习必备X,Y欢迎下载2Cov4相关系数XYECovX,Y；有|XY|1,|XY|1Xka,b ,PYaXb X1X Y5 k阶原点矩k阶中心矩kEXEXk, k大数定律与中心极限定理XEX|1D第五章1Chebyshev 不等式X|DX或P |P |XE 222大数定律3中心极限定理（ 1 ） 设 随 机 变 量X1,X2,Xn独 立 同 分 布EXi,DXi2, 就inXi 近似 Nn,n2, 或1in1Xi 近似 N,2或n近似 N0,1 ,Xini11nnn（ 2 ） 设 m 是 n 次 独 立 重 复 试 验 中 A 发 生 的 次 数 ,p, 就 对 任 意 x , 有

11、PAX近似 Nnp ,npq lim nP mnpx x 或懂得为如XBn,p,就npq第六章样本及抽样分布1总体、样本（1）简洁随机样本：即独立同分布于总体的分布（留意样本分布的求法）X样；标准差（2）样本数字特点：样本均值X1inXi（E X,DX2）；n1n本样本方差S2n11inXiX2（ES2 2）1kSn11inXiX21样本 k 阶原点矩k1inXk,样本 k 阶中心矩k1inXi1i1nn2统计量：样本的函数且不包含任何未知数3三个常用分布（留意它们的密度函数外形及分位点定义）（1）2 分布2X2X2n 1,YX2n2n,其中X1,X2,Xn独立同分布于标 第 5 页,共 6

12、页 12n准正态分布N1,0 ,如X222且独立,就XY2n 1n2；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（2） t 分布tXntn学习必备N欢迎下载2 n且独立；,其中X01, ,YY/（3） F 分布F,X/n 1Fn 1,n2,其中X,2n1,Y2n 2且独立,有下面的Y/n2性质1Fn2n 1,F 1n 1,n2F1n 1Fn 24正态总体的抽样分布（1）XN,2 n；（2）1in22n ；n1 ；n 2212 S

13、 2Xi21（3）n1S22n1 且与 X 独立；（4）tX/nt2SXYS12n 1n22n 11 2 S 1（5）ttn 1n 22 ,S2n 1nn 1n 2（6）F2 S 1/2Fn 1,1n 21 参数估量12 S 2/22第七章1矩估量：（1）依据参数个数求总体的矩；（ 2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估量2极大似然估量：（1）写出极大似然函数； （2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数； （4）令导数或偏导数为 0,解出极大似然估量 （如无解回到 （1）直接求最大值, 一般为 minix或 maxix）3估量量的评比原就1 无偏性：如E. ,就为无偏；2 有效性：两个无偏估量中方差小的有效；4参数的区间估量（正态）参数条件估量函数2置信区间 第 6 页,共 6 页 22 已知ux/nxu2n2未知xt2n1 stxnns/n12 s, n212 s2n1 s未知2 n12n12细心整理归纳 精选学习资料 21 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -