图形相乘法结构力.ppt

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1、6.5图形相乘法图形相乘法 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，常需利用公式计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，常需利用公式一、简化的条件（适用条件）一、简化的条件（适用条件）1）杆段的）杆段的EI为常数；为常数；2）杆段的轴线为直线；）杆段的轴线为直线；3）杆段的图和）杆段的图和MP图中至少有一个为直线图形。图中至少有一个为直线图形。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(a)二、简化方法二、简化方法式中，式中，dA=MPdx为为MP图中有阴影线的微分面积，而图中有阴影线的微分面积，而 即为即为整个整个MP图的面积对图的面积对y轴的静矩。用轴的静矩。用x0表示表示MP的形心至

2、的形心至y轴的距轴的距离，则有离，则有(b)xyOxx0y0dxAABBC形心形心面积面积AdA=MPdxMP图图MP图图=xtana ay0=x0tana aa aAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院即即 将式（将式（b）代入（）代入（a），有），有 式中，式中，y0=x0tana，是，是MP图的形心图的形心C处所对应的图中的竖标。处所对应的图中的竖标。可见，上述积分式等于一个弯矩图的面积可见，上述积分式等于一个弯矩图的面积A乘以其形乘以其形心心C处所对应的另一直线弯矩图上的竖标处所对应的另一直线弯矩图上的竖标y0，再除以，再除以EI。这种以图形计算代替积分运算的位移计

3、算方法，就这种以图形计算代替积分运算的位移计算方法，就称为称为图形相乘法（图乘法）图形相乘法（图乘法）。(6-16)All Rights Reserved重庆大学土木工程学院如果结构上所有各杆段均可图乘，则位移计算公式可写如果结构上所有各杆段均可图乘，则位移计算公式可写为为(6-17)三、应用图乘法的注意事项三、应用图乘法的注意事项1）y0只能取自直线图形，而只能取自直线图形，而A应取自另一图形。应取自另一图形。2）当）当A与与y0在弯矩图的基线同侧时，其互乘值应取正号；在在弯矩图的基线同侧时，其互乘值应取正号；在异侧时，应取负号。异侧时，应取负号。All Rights Reserved重庆大

4、学土木工程学院3）下图列出了几种常见简单图形的面积与形心位置。）下图列出了几种常见简单图形的面积与形心位置。须注意的是：图中所示抛物线须注意的是：图中所示抛物线M图均为标准抛物线，图均为标准抛物线，即即M图曲线的中点（或端点）为抛物线的顶点，而曲图曲线的中点（或端点）为抛物线的顶点，而曲线顶点处的切线均与基线平行，该处剪力为零。线顶点处的切线均与基线平行，该处剪力为零。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院lllllhhCCCCCCC2l/3l/3(l+a)/3(l+b)/3abl/2l/23l/4l/43l/85l/82l/53l/54l/5l/5顶点顶点顶点顶点顶点顶点

5、二次抛物线二次抛物线二次抛物线二次抛物线A=hl/2A=hl/2A=2hl/3A1A2A1A2A1=2hl/3A2=hl/3A1=3hl/4A2=hl/4All Rights Reserved重庆大学土木工程学院4）如果）如果MP与均为直线，则与均为直线，则y0可取自其中任一图形。可取自其中任一图形。5）如果是折线图形，而）如果是折线图形，而MP为非直线图形，则应分段图为非直线图形，则应分段图乘，然后叠加。乘，然后叠加。A1A2y01y02MP图图图图All Rights Reserved重庆大学土木工程学院6）如果杆件为阶形杆（）如果杆件为阶形杆（EI为分段常数），则应按为分段常数），则应按

6、EI分段图乘，分段图乘，然后叠加，如图所示。然后叠加，如图所示。MP图图A1A2y01y02EI1EI2图图All Rights Reserved重庆大学土木工程学院7）如果）如果MP图为复杂的组合图形（由不同类型荷载按区段图为复杂的组合图形（由不同类型荷载按区段叠加法绘出），因而其面积和形心位置不便确定，则可用叠加法绘出），因而其面积和形心位置不便确定，则可用叠加法的逆运算，将叠加法的逆运算，将MP图分解（还原）为每一种荷载作图分解（还原）为每一种荷载作用下的几个简单图形，分别与图互乘，然后叠加。用下的几个简单图形，分别与图互乘，然后叠加。其中其中 梯形的分解梯形的分解 A1A2y01y02

7、MP图图图图abcdlAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院当当MP或图的竖标或图的竖标a、b或或c、d不在基线同侧时，如图不在基线同侧时，如图6-19b所示，处理原则仍和上所示，处理原则仍和上面一样，可将面一样，可将MP分解为位分解为位于基线两侧的两个三角形于基线两侧的两个三角形（其中（其中A1在上侧，在上侧，A2在下侧）在下侧），按上述方法，分别图乘，按上述方法，分别图乘，然后叠加。然后叠加。MP图图A1A2y01y02abcdl图图All Rights Reserved重庆大学土木工程学院=+抛物线非标准图形的分解抛物线非标准图形的分解 MAMBqa2/8MAMBdx

8、qa2/8ABMAMBaqABMAMBqa2/8aMAMBdxqa2/8ABaMAMBABq=+All Rights Reserved重庆大学土木工程学院四、应用图乘法的计算步骤四、应用图乘法的计算步骤1）作实际荷载弯矩图）作实际荷载弯矩图MP图；图；2）加相应单位荷载，作单位弯矩图图；）加相应单位荷载，作单位弯矩图图；3）用图乘法公式（）用图乘法公式（6-17）求位移。）求位移。例例6-7】试求图】试求图6-21a所示简支梁跨中截面所示简支梁跨中截面C的挠度的挠度D DCV和和B端的端的转角转角q qB。已知。已知EI=常数。常数。解：解：(1)作实际荷载弯矩图，如作实际荷载弯矩图，如图图6

9、-21b所示。所示。qABCll/2l/2ABCql2/8A1A2A0MP图图All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(2)加相应单位荷载，作单位弯矩图加相应单位荷载，作单位弯矩图(3)用图乘法公式（用图乘法公式（6-17）求位移：）求位移：将将MP图与图与 图相乘，图相乘，则得则得qABCll/2l/2ABCql2/8A1A2A0MP图图AABBCCy01y02y0l/4111图图图图All Rights Reserved重庆大学土木工程学院()将将MP图与图与 图相乘，则得图相乘，则得qABCll/2l/2ABCql2/8A1A2A0MP图图AABBCCy01y02y0l

10、/4111图图图图All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例【例6-8】试求图示悬臂梁跨中截面】试求图示悬臂梁跨中截面C的挠度的挠度D DCV。已知。已知EI=常数。常数。解：解：(1)解法一解法一作作MP图，并按图，并按A1、A2、A3、A4四部分划分，如图所示四部分划分，如图所示 AAABBBCCCl/2l/2lqqlA1A2A3A4y01y02y03y04lMP图图图图1All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(2)解法二解法二作作MP图，并按图，并按A1、A2两部分两部分划分，如图所示。划分，如图所示。计算结果与前法完全相同，但因对计算结果与前法完

11、全相同，但因对MP图分块恰当，使图分块恰当，使计算更简便。计算更简便。MP图图AABBCA1A2y01y021lql2All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例【例6-9】试求图示刚架截面】试求图示刚架截面D的竖向位移的竖向位移D DDV。解：求解本题时注意：一是对于斜杆解：求解本题时注意：一是对于斜杆CD，应以杆轴为基线，应以杆轴为基线计算；二是对于阶形住计算；二是对于阶形住AC，应按，应按EI不同分段图乘。不同分段图乘。(1)作作MP图图ABCD12m8m4m4m2.5kN/m20kN4EI3EI2EI(12.65m)ABCD14010020(45)A1A2A3A4A5

12、MP图图(kNm)All Rights Reserved重庆大学土木工程学院ABCD12m8m4m4m2.5kN/m20kN4EI3EI2EI(12.65m)ABCD14010020(45)A1A2A3A4A5MP图图(kNm)All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(2)作作 图图 ABCD14010020(45)A1A2A3A4A5MP图图(kNm)ABCD12m8m4m4m2.5kN/m20kN4EI3EI2EI(12.65m)ACD112y01y02y03y04y05图图(m)All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(3)计算位移值：计算位移值：Al

13、l Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例【例6-10】试求图示刚架截面】试求图示刚架截面D的水平位移的水平位移D DDH。已知。已知EI=常数。常数。解：解：(1)作作MP图图(2)加相应单位荷载，作加相应单位荷载，作 图图 ABCDqaaaABCDa/2a/2y01y021图图ABCDA1A2MP图图qa2/4qa2/4qa2/8All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(3)计算位移值：计算位移值：ABCDa/2a/2y01y021图图y03y04y05ABCDA1A2MP图图qa2/4qa2/4qa2/8CCCDDDA3A4A5qa2/4qa2/4qa2

14、/8CD杆杆MP图图All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例【例6-11】试求图】试求图6-25a所示刚架铰所示刚架铰C左右两侧面左右两侧面C1、C2的相对的相对转角转角 。已知。已知EI=常数。常数。解：解：ABCDEC1C2FPlll/2l/2FPl/4FPl/4MP图图A1A2A3A4111y01y02y03y04图图1All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例【例6-12】试求图】试求图6-26a所示组合结构所示组合结构A、B两点在其连线方向上两点在其连线方向上的相对线位移的相对线位移D DAB。已知桁杆的。已知桁杆的EA和梁式杆的和梁式杆的EI均为常数。均为常数。30 0解：解：a/2a/2aaEABCDFq30303030MP图图ql2/8A111图图y01All Rights Reserved重庆大学土木工程学院