第8章动态规划.pptx

《第8章动态规划.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第8章动态规划.pptx（103页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、分阶段的最短路径：C1T 3-:B1C1T 4-：A2B1C1T 7-：QA2B1C1T 11 Q-A3B1C1T 11 Q-A3B2C2T 11第1页/共103页最短路径34476117811第2页/共103页最短路径解的特点1、可以将全过程求解分为若干阶段求解；-多阶段决策问题多阶段决策问题2、在全过程最短路径中，将会出现阶段的最优路径；-递推性递推性3、前面的终点确定，后面的路径也就确定了，且与前面的路径（如何找到的这个终点）无关；-无后效性无后效性3、逐段地求解最优路径，势必会找到一个全过程最优路径。-动态规划动态规划第3页/共103页7.17.1多阶段决策问题 动态规划是解决多阶段最

2、优决策的方法,由美国数学家贝尔曼(R.Bellman)于 1951年首先提出;1957年贝尔曼发表动态规划方面的第一部专著“动态规划”,标志着运筹学的一 个新分支的创立。第4页/共103页动态规划将复杂的多阶段决策问题分解为一系列简单的、离散的单阶段决策问题,采用顺序求解方法,通过解一系列小问题达到求解整个问题目的;动态规划的各个决策阶段不但要考虑本阶段的决策目标,还要兼顾整个决策过程的整体目标,从而实现整体最优决策.第5页/共103页动态规划的分类:离散确定型离散随机型连续确定型连续随机型第6页/共103页动态规划的特点:动态规划动态规划没有准确的数学表达式和定义精确的算法没有准确的数学表达

3、式和定义精确的算法,它强调它强调具体问题具体分具体问题具体分析析,依赖分析者的经验和技巧。与运筹学其他方法有很好的互补关系与运筹学其他方法有很好的互补关系,尤其在处理非线性、离散性问题时有尤其在处理非线性、离散性问题时有其独到的特点。其独到的特点。第7页/共103页 通常多阶段决策过程的发展是通过状态的一系列变换来实现的。一般情况下，系统在某个阶段的状态转移除与本阶段的状态和决策有关外，还可能与系统过去经历的状态和决策有关。因此，问题的求解就比较困难复杂。而适合于用动态规划方法求解的只是一类特殊的多阶段决策问题，即具有“无后效性”的多阶段决策过程。所所谓谓无无后后效效性性，又又称称马马尔尔柯柯

4、夫夫性性，是是指指系系统统从从某某个个阶阶段段往往后后的的发发展展，仅仅由由本本阶阶段段所所处处的的状状态态及及其其往往后后的的决决策策所所决决定定，与与系统以前经历的状态和决策系统以前经历的状态和决策(历史历史)无关。无关。具有无后效性的多阶段决策过程的特点是系统过去的历史，只能通过现阶段的状态去影响系统的未来，当前的状态就是后过程发展的初始条件。第8页/共103页动态规划的应用动态规划在工程技术,企业管理,军事部门有广泛的应用;可解决资源分配,生产调度,库存管理,路径优化,设备更新,投资规划,排序问题和生产过程的最优控制等问题;第9页/共103页使用动态规划方法求解决策问题首先要将问题改造

5、成符合动态规划求解要求的形式,要涉及以下概念:(1)(1)阶段 (2)(2)状态(3)(3)决策与策略 (4)(4)状态转移方程 (5)(5)指标函数 (6)(6)基本方程7.2 7.2 动态规划的基本概念和基本思想一、基本概念第10页/共103页(1)(1)划分阶段划分阶段 把一个复杂决策问题按时间或空间特征分解为若干(n)(n)个相互联系的阶段(stage),(stage),以便按顺序求解;阶段变量描述当前所处的阶段位置，一般用下标 k 表示;第11页/共103页 每阶段有若干状态(state),表示某一阶段决策面临的条件或所处位置及运动特征的量,称为状态。反映状态变化的量叫作状态变量。k

6、 阶段的状态特征可用状态变量 sk 描述;每一阶段的全部状态构成该阶段的状态集合Sk，并有sk Sk。每个阶段的状态可分为初始状态和终止状态，或称输入状态和输出状态，阶段的初始状态记作sk，终止状态记为sk+1，也是下个阶段的初始状态。(2)确定状态 第12页/共103页(3)(3)决策、决策变量 所谓决策就是确定系统过程发展的方案，决策的实质是关于状态的选择，是决策者从给定阶段状态出发对下一阶段状态作出的选择。用以描述决策变化的量称之决策变量，和状态变量一样，决策变量可以用一个数，一组数或一向量来描述也可以是状态变量的函数，记以 ，表示于 k 阶段状态 sk 时的决策变量 第13页/共103

7、页 决策变量的取值往往也有一定的容许范围，称之允许决策集合决策变量 xk(sk)的允许决策集用 XK(SK)表示，xk(sk)XK(SK),允许决策集合实际是决策的约束条件。第14页/共103页(4)(4)策略和允许策略集合 策略策略(Policy)也叫决策序列策略有全过程也叫决策序列策略有全过程策略和策略和 k 部子策略之分，全过程策略是指具部子策略之分，全过程策略是指具有有n 个阶段的全部过程，由依次进行的个阶段的全部过程，由依次进行的 n 个个阶段决策构成的决策序列，简称策略，表示阶段决策构成的决策序列，简称策略，表示为为 。从。从 k 阶段到第阶段到第 n 阶段，阶段，依次进行的阶段决

8、策构成的决策序列称为依次进行的阶段决策构成的决策序列称为 k 部子策略部子策略,表示为表示为 ，显然当，显然当 k=1时的时的 k 部子策略就是全过程策略。部子策略就是全过程策略。第15页/共103页(5)状态转移方程 状态转移确定从一个状态到另一个状态的转状态转移确定从一个状态到另一个状态的转移过程移过程,由状态转移方程描述由状态转移方程描述:sk+1=T(sk,xk);状态转移方程在大多数情况下可以由数学公状态转移方程在大多数情况下可以由数学公式表达式表达,如如:sk+1=sk+xk；第16页/共103页(6)指标函数 用来衡量策略或子策略或决策的效果的用来衡量策略或子策略或决策的效果的某

9、种数量指标，就称为指标函数。它是定义某种数量指标，就称为指标函数。它是定义在全过程或各子过程或各阶段上的确定数量在全过程或各子过程或各阶段上的确定数量函数。对不同问题，指标函数可以是诸如费函数。对不同问题，指标函数可以是诸如费用、成本、产值、利润、产量、耗量、距离、用、成本、产值、利润、产量、耗量、距离、时间、效用，等等。时间、效用，等等。第17页/共103页 用vk(sk,xk)表示第 k 段处于状态 sk且所作决策为 xk 时的指标，则它就是第 k 段指标函数，简记为vk。用f(sk,xk)表示第k k子过程的指标函数。表示处于第 k 段 sk 状态且所作决策为xk时，从 sk 点到终点的

10、距离。由此可见，f(sk,xk)不仅跟当前状态 sk 有关，（2 2）过程指标函数（也称目标函数）（1）阶段指标函数）阶段指标函数（也称阶段效应）（也称阶段效应）第18页/共103页还跟该子过程策略还跟该子过程策略 pk(sk)有关有关,严格说来，应严格说来，应表示为表示为 fk(sk,pk(sk)。它是由各阶段的阶段指。它是由各阶段的阶段指标函数标函数 vk(sk,xk)累积形成的，对于累积形成的，对于 k 部子过部子过程的指标函数可以表示为：程的指标函数可以表示为：式中，表示某种运算，可以是加、减、乘、除、开方等第19页/共103页 多阶段决策问题中，常见的目标函数形式多阶段决策问题中，常

11、见的目标函数形式之一是取各阶段效应之和的形式，即之一是取各阶段效应之和的形式，即:有些问题，如系统可靠性问题，其目标函有些问题，如系统可靠性问题，其目标函数是取各阶段效应的连乘积形式，数是取各阶段效应的连乘积形式，第20页/共103页(7)最优解 用用 fk*(sk)表示第表示第 k 子过程指标函数子过程指标函数Fk(sk,pk(sk)在状态在状态 sk 下的最优值，即下的最优值，即:称称 fk(sk)为第为第 k 子过程上的最优指标函数；子过程上的最优指标函数；与它相应的子策略与它相应的子策略 pk(sk)称为状态称为状态 sk 下的最下的最优子策略，记为优子策略，记为 pk*(sk)第21

12、页/共103页例例 用动态规划求解最短路问题 第22页/共103页最短路的求解最短路的求解:阶段:可分为4个阶段,k=1,.,4。状态:可用城市编号,S1=Q,S2=A1,A2,A3,S3=B1,B2,B3,S4=C1,C2,S5=T 决策:决策变量也可用城市编号;状态转移方程:sk+1=xk;阶段指标函数：过程指标（阶段递推）函数:第23页/共103页 k=4f4(C1)=3,f4(C2)=4 k=3f3(B1)=min1+f4(C1)=4*,4+f4(C2)=8=4 f3(B2)=min6+f4(C1)=9,3+f4(C2)=7*=7 f3(B3)=min3+f4(C1)=6*,3+f4(

13、C2)=7=6 k=2 f2(A1)=min7+f3(B1),4+f3(B2),6+f3(B3)=min11*,11*,12=11f2(A2)=min3+f3(B1),2+f3(B2),4+f3(B3)=min7*,9,10 =7 f2(A3)=min4+f3(B1),1+f3(B2),5+f3(B3)=min8*,8*,11 =8 k=1 f1(Q)=min2+f2(A1),4+f2(A2),3+f2(A3)=min13,11*,11*=11 最短路是：Q A2 B1 C1 T，p=A2,B1,C1,T Q A3 B1 C1 T，p=A3,B1,C1,T Q A3 B2 C2 T，p=A3,

14、B2,C2,T第24页/共103页整个过程的最优策略应具有这样的性质:无论过去的状态和决策如何,对前面的决策所形成的状态而言,后续的诸决策必须构成最优策略；上一条成立的条件是阶段递推函数严格单调。二、动态规划的最优性原理第25页/共103页在在例例题题中中，求求解解最最短短路路线线的的计计算算公公式式可可以以概概括写成：括写成：其其中中，vk 在在这这里里表表示示从从状状态态 sk 到到由由决决策策 xk 所所决决定定的的状状态态 sk+1 之之间间的的距距离离。f5(s5)=0 是是边边界条件，表示全过程到第四阶段终点结束。界条件，表示全过程到第四阶段终点结束。第26页/共103页 一般地，

15、对于一般地，对于 n 个阶段的决策过程，假设只个阶段的决策过程，假设只考虑指标函数是考虑指标函数是“和和”与与“积积”的形式，第的形式，第 k 阶段和第阶段和第 k+1 阶段间的递推公式可表示如下：阶段间的递推公式可表示如下：当过程指标函数为下列当过程指标函数为下列“和和”的形式时的形式时 第27页/共103页相应的函数基本方程为相应的函数基本方程为 :第28页/共103页 当过程指标函数为下列当过程指标函数为下列“积积”的形式时的形式时第29页/共103页相应的函数基本方程为相应的函数基本方程为:第30页/共103页动态规划的优缺点动态规划的优点动态规划的优点可以解决线性,非线性,整数规划无

16、法有效求解的复杂问题;容易找到全局最优解;可以得到一组解;动态规划的缺点：动态规划的缺点：没有标准的模型可供应用,构模依赖于个人的经验和技巧;状态变量需满足无后效性,有较大的局限性;第31页/共103页7.3 7.3 动态规划方法应用动态规划的步骤：1.将问题按时间或空间划分为满足递推关系的若干阶段,对非时序问题可人为地引入“时段”概念;2.正确选择状态变量 sk,满足:可知性:正确描述动态过程演变,可直接或间接确定状态变量的值;无后效性:后面的决策与前面的决策无关;第32页/共103页3.确定决策变量 xk以及允许决策集合Xk;4.写出状态转移方程 sk+1=T(sk,xk);5.决策变量的

17、取值范围 6.写出过程指标函数（阶段函数）的递推关系,应满足:a)是定义在所有阶段上的数量函数；b)具有可分离性，并满足递推关系；c)阶段函数应严格单调。第33页/共103页动态规划应用举例：1.最优路径问题2.资源配置问题3.生产与库存问题4.机器负荷分配问题5.复合系统工作可靠性问题6.二维背包问题7.设备更新问题8.货郎担问题9.非线性规划的求解第34页/共103页1.最优路径问题 某厂要确定一种新产品在今后五年内的价格，并已拟定只在5、6、7、8元这四种单价中进行选择。据预测，今后五年不同价格下每年盈利（万元）见下表，但是各相邻年度价格增减不得超过1元。问今后五年内每年定价各为多少，可

18、逾七五年总利润最大。价格/元 盈利/万元第一年第二年第三年第四年第五年592458675864765973887664第35页/共103页价格/元盈利/万元第一年第二年第三年第四年第五年592458675864765973887664131411843410182223172428283037353638第36页/共103页解：1、建立动态规划模型：阶段：以年划分阶段，k=5,4,3,2,1；状态变量sk为每个阶段初的价格，则Sk=5,6,7,8；决策变量xk为每年所确定的价格，则Xk=5,6,7,8；状态转移方程：阶段指标函数vk(sk,xk)为每个阶段选择xk所取得的盈利；例如v(sk,)

19、过程指标函数为第k阶段状态为sk时到最后一个阶段的总利润。基本函数方程为：第37页/共103页、逆序求解：k=5f5(s5,x5)v5(s5,x5)+f6*(s6)f5*(s5)x5*s x 5 6 7 8 5 8+0 8 5 6 4+0 4 6 7 3+0 3 7 8 4+0 4 8第38页/共103页k=4f4(s4,x4)v4(s4,x4)+f5*(s5)f4*(s4)x4*s x 5 6 7 8 5 5+8 5+4 13 5 6 6+8 6+4 6+3 14 5 7 7+4 7+3 7+4 11 6,8 8 6+3 6+4 10 7第39页/共103页k=3f3(s3,x3)v3(s3

20、,x3)+f4*(s4)f3*(s3)x3*s x 5 6 7 8 5 4+13 4+14 18 6 6 8+13 8+14 8+11 22 7 7 9+14 9+11 9+10 23 6 8 6+11 6+10 17 7第40页/共103页k=2f2(s2,x2)v2(s2,x2)+f3*(s3)f2*(s2)x2*s x 5 6 7 8 5 2+18 2+22 24 6 6 5+18 5+22 5+23 28 7 7 5+22 5+23 5+17 28 7 8 7+23 7+17 30 7第41页/共103页k=1f1(s1,x1)v1(s1,x1)+f2*(s2)f1*(s1)x1*s

21、x 5 6 7 8 5 9+24 9+28 37 6 6 7+24 7+28 7+28 35 6,7 7 6+28 6+28 6+30 36 8 8 8+28 8+30 38 8S1=8 X1=8 s2=8 x2=7 s3=7 x3=6 s4=6 x4=5 s5=5 x5=5第42页/共103页2.资源配置问题如何将有限的资源分配给若干种生产活动，并使资源利用的收益最大是经济活动中常见的问题，动态规划可以求解一些线性规划无法解决的资源配置问题。一般的资源分配问题可以描述为如下的规划问题：maxmax:z z=g g1 1(x x1 1)+)+g g2 2(x x2 2)+.+)+.+g gn

22、n(x xn n)x x1 1+x x2 2+.+.+x xn n=a ax xi i 0 0 i i=1,.,=1,.,n n第43页/共103页例：某厂为扩大生产能力，拟订购某种成套例：某厂为扩大生产能力，拟订购某种成套4 46 6套，以分配给其所辖套，以分配给其所辖1 1、2 2、3 3个分厂使用。预计个分厂分的不同套数的设备后，每年创造的利润（万个分厂使用。预计个分厂分的不同套数的设备后，每年创造的利润（万元）如下表所示。该厂应订购几套设备并如何分配，才能使每年预计创利元）如下表所示。该厂应订购几套设备并如何分配，才能使每年预计创利总额最大？总额最大？分厂利润（万元）0套1套2套 3套

23、 4套5套 6套1035676520467891030259887第44页/共103页建立动态规划模型：建立动态规划模型：1.阶段与分厂相联系,阶段 k 只考虑分配分厂 k 的设备套数;2.状态变量 sk 表示 k 分厂可分配的设备套数;3.决策变量 xk 表示决定在 k 分厂使用的设备套数;4.状态转移方程:sk+1=sk-xk;5.阶段函数:vk(sk,xk)为k分厂使用设备xk时的获利，从第一分厂到第k分厂的总获利 fk(sk)=max vk(sk,xk)+fk+1(sk+1)6.基本状态方程第45页/共103页k=3第46页/共103页k k=2:=2:s3=s2 x2第47页/共10

24、3页k=1:s2=s1-x1因此得到：因此得到：x1=2,s2=6-2=4,x2=1,s3=4-1=3,x3=3 x1=1,s2=6-1=5,x2=2,s3=5-2=3,x3=3即：即：p=2，1，3或或1，2，3获利获利18万元万元第48页/共103页3.3.复合系统的工作可靠性问题复合系统的工作可靠性问题例例:为保证设备可靠运行,一些关键部件往往由多个器件并联运行,如果器件 i 的失效概率为 pi,则 xi 个器件并联工作的可靠性为(1-pixi),假定每个器件的采购费用为 ci,在满足总采购费用不超过预算限制 C 的前提下,使设备可靠性最高的规划问题可以描述为:第49页/共103页该问题

25、为整数非线性规划，可以用动态规划求解，设关键器件数n=3，总费用为120万元。器件的单价与可靠性如下表：1300.1 2150.2 3200.5器件号器件号i 单价单价(万元万元)失效概率失效概率pi第50页/共103页建立动态规划模型：建立动态规划模型：阶段与器件挂钩，第 k 阶段仅考虑器件k的采购数量;sk 表示k 阶段可使用的采购费用;xk 表示 k阶段决定购买k 器件的数量；状态转移方程:sk+1=sk-ck xk；递推阶段函数:vk(sk,xk)=1-pkxk总可靠性fk(sk)=max (1-pkxk)fk+1(sk+1)基本状态方程：第51页/共103页k=3第52页/共103页

26、k k=2:=2:s3=s2 c2x2第53页/共103页k=1:s2=s1 c1 x1因此得到：因此得到：x1=1,s2=120-30=90,x2=2,s3=90-2*15=60,x3=3 即：即：p=1，2，3 可靠性为可靠性为0.756第54页/共103页4、生产调度（生产与库存）问题 某厂根据市场预测，确认今后4个月该厂的一种主要产品每月的需求的量d为3，2，3，2万件。已知每月生产固定费用b为2千元，但若当月不生产则为0；产品成本c为1千元/件，贮存费用h为 0.2千元/万件/月。最大存贮能力w为4万件。若第1月初五库存产品，第4月末也不留库存，则该厂怎样安排生产，才能使今后4个月的

27、总费用最少？第55页/共103页建立动态规划模型：1、阶段与时间相联系,阶段 k表示月份 2、状态变量 sk 表示 k 月初的库存量;3、决策变量 xk 表示 k月的产量;4、若dk为需求量，则状态转移方程:sk+1=sk+xk-dk;5、阶段函数:vk(sk,xk)为k月的生产费用，过程函数：fk(sk)为从第一月到第k月的总生产费用 fk(sk)=max vk(sk,xk)+fk+1(sk+1)6.基本状态方程第56页/共103页k=4这是最后一个月，需求为这是最后一个月，需求为2，无库存，无库存s5=0。由。由状态方程知：状态方程知：s4=2-x4,x4 0,则则s4只能是只能是0，1，

28、2第57页/共103页k=3这是第这是第3个月，需求为个月，需求为3。由状态方程知：。由状态方程知：s4=s3+x3-3,又由于又由于 2 s4 0,即即2 s3+x3-3 0,s3 w=4则则s3取值是取值是0,1，2，3，4。X3=x3|3s3+x35,s3=0,1,2,3,4第58页/共103页k=2这是第这是第2个月，需求为个月，需求为2。第一个月无库存第一个月无库存s1=0，s2=s1+x1-3=x1-3，又因，又因x1 5，则则s2取值取值是是0，1，2。由状态方程知：由状态方程知：s3=s2+x2-2,又由又由于于 4 s3 0,即即4 s2+x2-2 0;X2=x2|2s2+x

29、26且且x2 5,s2=0,1,2第59页/共103页k=1这是第这是第1个月，需求为个月，需求为3。第一个月无库存第一个月无库存s1=0，s2=x1-3=x1-3，又因，又因x1 5，s2取值是取值是0，1，2。X1=x1|3x15第60页/共103页5 设备更新问题设备在使用全过程中会遭受磨损,使用一段时间后就要维修,而且使用的时间越长,维修费用越高,设备使用多少时间在经济上最合算,就是设备更新问题。第61页/共103页例:某设备的年效益和年均维修费用如下表,如何在未来的5年内进行更新决策。使用年限 0 1 2 3 4效益 r 5 4.5 4 3.75 3 维修费u 0.5 1 1.5 2

30、 2.5更新费c 0.5 1.5 2.2 2.5 3第62页/共103页分析：分析：阶段阶段 k=k=1,2,3,4,5;1,2,3,4,5;s sk k 表示表示 k k 年初设备已使用的年限年初设备已使用的年限;x xk k 为为 k k 年初决定设备是继续使用还是更新的决年初决定设备是继续使用还是更新的决策变量策变量:x xk k=1 1表示继续使用表示继续使用,x xk k=0 0表示更新表示更新;状态转移方程状态转移方程:s sk k+1+1=s sk k+1+1，x xk k=1;=1;s sk k+1+1=1=1，x xk k=0=0第63页/共103页阶段函数:vk(sk)=r

31、(skxk)-u(skxk)-c(sk)(1-xk)r(0)-u(0)-c(sk)(xk=0)vk(sk)=r(sk)-u(sk)(xk=1)递推函数:fk(sk)=maxvk(sk)+fk+1(sk+1)第64页/共103页 k=k=5 5 状态变量状态变量 s s5 5 可取可取 1,2,3,41,2,3,4f f5 5(1)=(1)=maxmaxx x1 1=0,1=0,1 r r(0)-(0)-u u(0)-(0)-c c(1),(1),r r(1)-(1)-u u(1)(1)=max max 5-0.5-1.5,5-0.5-1.5,4.5-14.5-1=3.5(=3.5(x x5 5

32、*=1)*=1)f f5 5(2)=(2)=maxmax5-0.5-2.2,5-0.5-2.2,4-1.54-1.5=2.5(=2.5(x x5 5*=1)*=1)f f5 5(3)=(3)=maxmax 5-0.5-2.55-0.5-2.5,3.75-2=2 (,3.75-2=2 (x x5 5*=0)*=0)f f5 5(4)=(4)=maxmax 5-0.5-35-0.5-3,3-2.5=1.5 (,3-2.5=1.5 (x x5 5*=0)*=0)第65页/共103页 k=k=4 4状态变量状态变量 s s4 4 可取可取 1,2,31,2,3 f f4 4(1)=(1)=maxmax

33、 r r(0)-(0)-u u(0)-(0)-c c(1)+(1)+f f5 5(1),(1),r r(1)-(1)-u u(1)+(1)+f f5 5(2)(2)=max max 5-0.5-1.5+3.55-0.5-1.5+3.5,4.5-1+2.5=6.5 ,4.5-1+2.5=6.5 (x x4 4*=0)*=0)f f4 4(2)=(2)=max max 5-0.5-2.2+3.55-0.5-2.2+3.5,4-1.5+2=5.8 ,4-1.5+2=5.8 (x x4 4*=0)*=0)f f4 4(3)=(3)=max max 5-0.5-2.5+3.55-0.5-2.5+3.5,

34、3.75-2+1.5 =5.5 ,3.75-2+1.5 =5.5 (x x4 4*=0)*=0)第66页/共103页 k=k=3 3状态变量状态变量 s s3 3 可取可取 1,2,1,2,f f3 3(1)=(1)=maxmax r r(0)-(0)-u u(0)-(0)-c c(1)+(1)+f f4 4(1),(1),r r(1)-(1)-u u(1)+(1)+f f4 4(2)(2)=max max 5-0.5-1.5+6.55-0.5-1.5+6.5,4.5-1+5.8=9.5 ,4.5-1+5.8=9.5 (x x3 3*=0)*=0)f f3 3(2)=(2)=max max 5

35、-0.5-2.2+6.55-0.5-2.2+6.5,4-1.5+5.5=8.8 ,4-1.5+5.5=8.8 (x x3 3*=0)*=0)第67页/共103页 k=k=2 2状态变量状态变量 s s2 2 可取可取 1,1,f f2 2(1)=(1)=maxmax r r(0)-(0)-u u(0)-(0)-c c(1)+(1)+f f3 3(1),(1),r r(1)-(1)-u u(1)+(1)+f f3 3(2)(2)=max max 5-0.5-1.5+9.55-0.5-1.5+9.5,4.5-1+8.8,4.5-1+8.8 =12.5 (=12.5 (x x2 2*=0)*=0)第

36、68页/共103页最优策略为最优策略为:k k=1 12 23 34 45 5 不更新不更新 更新更新 更新更新 更新更新 不更新不更新k=k=1 1时状态变量时状态变量 s s1 1 只能取只能取 0 0 f f1(0)=1(0)=maxmax r r(0)-(0)-u u(0)-(0)-c c(0)+(0)+f f2(1),2(1),r r(0)-(0)-u u(0)+(0)+f f2(1)2(1)=maxmax5-0.5-0.5+12.5,5-0.5-0.5+12.5,5-0.5+12.55-0.5+12.5 =17 (=17 (x x1*=1)1*=1)第69页/共103页6、机器负荷

37、分配问题 有某种机床，可以在高低两种不同的负荷下进行生产，在高负荷下生产时，产品的年产量为 g，与年初投入生产的机床数量 u1 的关系为 g=g(u1)=8u1，这时，年终机床完好台数将为，au1 (a为机床完好率，0 a 1，设 a=0.7)。在低负荷下生产时，产品的年产量为 h，和投入生产的机床数量的关系为 h=h(u2)=5u2，相应的机床完好率为 b(0b2，设 b=0.9)，一般情况下(a b )。假设某厂开始有 x1=1000 台完好的机床，现要制定一个五年生产计划，问每年开始时如何重新分配完好的机床在两种不同的负荷下生产的数量，以使在5年内产品的总产量为最高。第70页/共103页

38、 解：首先构造这个问题的动态规划模型。1分分阶阶段段：设设阶阶段段变变量量 k 表表示示年年度度，因因此此，阶段总数阶段总数 n=5。2.状状态态变变量量：用用 sk 表表示示第第 k 年年度度初初拥拥有有的的完完好好机机床床台台数数，同同时时也也是是第第 k-1 年年度度末末时时的完好机床数量。的完好机床数量。3.决策变量：决策变量：用用 uk 表示第表示第 k 年度中分配年度中分配于高负荷下生产的机床台数。于是于高负荷下生产的机床台数。于是 sk-uk 便便为该年度中分配于低负荷下生产的机床台为该年度中分配于低负荷下生产的机床台数。数。第71页/共103页4状态转移方程为：状态转移方程为：

39、决策变量的取值：决策变量的取值：在第在第 k 段为段为 第72页/共103页6阶段指标函数阶段指标函数令令 vk(sk,uk)表表示示由由第第 k 年年的的状状态态 sk 出出发发，采采取取uk分配方案的产品产量分配方案的产品产量.7条件最优目标函数递推方程条件最优目标函数递推方程令令 fk(sk)表表示示由由第第 k 年年的的状状态态 sk 出出发发，采采取取最最优优分分配配方方案案到到第第5年年度度结结束束这这段段时时间间的的产产品品产量，根据最优化原理有以下递推关系产量，根据最优化原理有以下递推关系:第73页/共103页第74页/共103页下下面面采采用用逆逆序序递递推推计计算算法法,从

40、从第第5年年度度开开始始递递推计算推计算K=5 时有时有显显然然，当当 u5*=s5 时时，f5(s5)有有最最大大值值，相相应应的的有有 f5(s5)=8s5。第75页/共103页K=4 K=4 时有：时有：第76页/共103页 因此，当因此，当 u4*=s4 时，有最大值时，有最大值 f4(s4)=13.6s4K=3=3 时有：时有：可可见见，当当 u3*=s3 时时，有有最最大大值值 f3(s3)=17.55s3 。K=2=2 时有：时有：第77页/共103页 此此时时，当当 u2*=0 时时有有最最大大值值，即即 f2(s2)=20.8s2,其中其中 s2=0.7u1+0.9(s1-u

41、1)K=1=1 时有：时有：第78页/共103页当当 u1*=0 时时,有最大值，即有最大值，即 f1(s1)=23.7s1,因因为为 s1=1000,故故 f1(s1)=23700 个产品。个产品。按照上述计算顺序寻踪得到下述计算结果：按照上述计算顺序寻踪得到下述计算结果：第79页/共103页 上面所讨论的最优决策过程是所谓始端上面所讨论的最优决策过程是所谓始端状态固定，终端状态自由如果终端也附加状态固定，终端状态自由如果终端也附加上一定的约束条件，那么计算结果将会与之上一定的约束条件，那么计算结果将会与之有所差别例如，若规定在第五个年度结束有所差别例如，若规定在第五个年度结束时，完好的机床

42、数量为时，完好的机床数量为500台台(上面只有上面只有278台台)，问应该如何安排五年的生产，使之在满足，问应该如何安排五年的生产，使之在满足这一终端要求的情况下产量最高？这一终端要求的情况下产量最高？解：由状态转移方程第80页/共103页有有由此式得由此式得当当 k=5 时有时有当当 k=4 时有时有第81页/共103页显显 然然，只只 有有 取取 u4*=0,有有 最最 大大 值值 f4(s4)=21.4s4-7500第82页/共103页当当 k=3 时有时有:显显然然，只只有有取取 u3*=0,f3(s3)有有最最大大值值 f3(s3)=24.5s3-7500 。第83页/共103页当当

43、 k=2 时有时有:显显然然，只只有有取取 u2*=0,f2(s2)有有最最大大值值 f2(s2)=27.1s2-7500 。第84页/共103页当当 k=1 时有时有:显显然然，只只有有取取 u1*=0,f1(s1)有有最最大大值值 f1(s1)=29.4s1-7500 。第85页/共103页第86页/共103页7、非线性规划问题求解、非线性规划问题求解某某公公司司拥拥有有资资金金 10 万万元元，若若投投资资于于项项目目 i(i1，2，3)的的投投资资额额为为 xi 时时，其其收收益益分分别别为为 g1(x1)=4x1 ,g2(x2)=9x2 ,g3(x3)=2x32,问问应应如如何何分分

44、配投资数额才能使总收益最大配投资数额才能使总收益最大?这这是是一一个个与与时时间间无无明明显显关关系系的的静静态态最最优优化化问题，可列出其静态模型为：问题，可列出其静态模型为：第87页/共103页满足满足 我们可以人为地赋予它我们可以人为地赋予它“时段时段”的概念，的概念，用动态规划方法求解用动态规划方法求解 解：（解法1）首先用逆序构造动态规划模型。1分分阶阶段段：设设阶阶段段变变量量 k 表表示示依依次次对对第第 k 个个项目投资，因此，阶段总数项目投资，因此，阶段总数 n=3。(k=1,2,3)第88页/共103页2.状状态态变变量量：用用 sk 表表示示已已经经对对第第 1 至至 第

45、第 k-1 个个项项目目投投资资后后的的剩剩余余资资金金；即即第第 k 段段初初拥拥有有的的可可以以分分配配给给第第 k 到到第第3个个项项目目的的资金额资金额（单位：万元）（单位：万元）。3.决策变量：决策变量：用用 xk 表示对第表示对第 k 个项目投个项目投资资 的资金数量（单位：万元）。的资金数量（单位：万元）。决策变量的取值：决策变量的取值：0 xk sk 4状态转移方程为：状态转移方程为：第89页/共103页6.基本方程为：基本方程为：最优指标函数最优指标函数 fk(sk)表示第表示第 k 阶段，初阶段，初始状态为始状态为 sk 时，从第时，从第 k 到第到第 3 个项目所获个项目

46、所获最大收益最大收益 第90页/共103页当当 k=3 时：时：当当 k=2 时：时：第91页/共103页极大值只可能在极大值只可能在 0，s2 端点取得，端点取得，第92页/共103页当当 k=1 时：时：第93页/共103页矛盾，所以舍去矛盾，所以舍去 sk 9/2第94页/共103页故故 极大值只能在极大值只能在 0，10 的端点取得，比的端点取得，比较较0，10两个端点的函数值两个端点的函数值 第95页/共103页即全部资金投于第即全部资金投于第3个项目个项目 第96页/共103页(解法2)用顺序解法 1.阶段划分阶段划分:（同上）（同上）和和决策变量决策变量 2.状态变量状态变量:用

47、用 sk 表示可用于第表示可用于第1到第到第 k-1个项目投资的金额，即对第个项目投资的金额，即对第 k 个项目到第个项目到第3个项目投资后的剩余资金数量。个项目投资后的剩余资金数量。3.决策变量决策变量:（同上）（同上）4.状态转移方程状态转移方程:第97页/共103页5.决策变量的取值范围：决策变量的取值范围：6.最优指标函数：最优指标函数：令令 fk(sk+1)表示第表示第 k 段投资额段投资额 sk+1 为时，第为时，第1到第到第 k 项目所获的最大收益，此时顺序解法项目所获的最大收益，此时顺序解法的基本方程为：的基本方程为：第98页/共103页 当当 k=1 时，有时，有 当当 k=2 时，有时，有 第99页/共103页 当当 k3 时，有时，有第100页/共103页 x3=9/4 为极小点。为极小点。极大值应在极大值应在0，s4 0，10 端点取得端点取得再由状态转移方程逆推：再由状态转移方程逆推：第101页/共103页第102页/共103页感谢您的观看！第103页/共103页