概率分布正态分布.pptx

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1、一、正态分布的概念和密度函数 第6页/共59页 正态分布正态分布(normal distribution)：是：是描述连续型描述连续型随机变量最重要的分布。其分布曲线叫正态分布随机变量最重要的分布。其分布曲线叫正态分布曲线，呈中间高，两边低，左右基本对称的曲线，呈中间高，两边低，左右基本对称的“钟钟型型”曲线，曲线，近似于数学上的正态分布，近似于数学上的正态分布，又称高斯又称高斯分布（分布（Gauss distribution）。第7页/共59页正态分布正态分布(normal distribution)德莫佛最早发现了二项概率德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被的一个近似公式，这

2、一公式被认为是正态分布的首次露面。认为是正态分布的首次露面。正态分布在十九世纪前叶由正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯加以推广，所以通常称为高斯分布高斯分布(Gauss distribution)。德莫佛德莫佛高高 斯斯第8页/共59页10马克的钱币马克的钱币 第9页/共59页医学研究中许多正常人的生理，生化指标、测医学研究中许多正常人的生理，生化指标、测量误差等多呈正态分布或近似正态分布。量误差等多呈正态分布或近似正态分布。许多非正态分布资料，当样本含量足够大时，许多非正态分布资料，当样本含量足够大时，也可以用正态分布作为它的极限分布形式。也可以用正态分布作为它的极限分布

3、形式。有时也可将非正态分布资料转化为正态分布来有时也可将非正态分布资料转化为正态分布来处理。处理。正态分布在医学研究中的重要作用：正态分布在医学研究中的重要作用：医学研究中：医学研究中：第10页/共59页正态分布的密度函数正态分布的密度函数，即正态曲线的函数表达式：即正态曲线的函数表达式：式中，式中，为总体均数，为总体均数，为总体标准差，为总体标准差，为圆周率，为圆周率，e为为自然对数的底，仅自然对数的底，仅x为变量。为变量。当当x确定后，确定后，f(x)为为X相应的纵坐标高度，则相应的纵坐标高度，则X服从参数服从参数为为和和2的正态分布（的正态分布（normal distribution)，

4、记作，记作XN（，2）。）。第11页/共59页 当给定不同的当给定不同的 x 值后，就可以根据此方程求得相应的值后，就可以根据此方程求得相应的纵坐标高度（频数），并可绘制出正态曲线的图形，纵坐标高度（频数），并可绘制出正态曲线的图形，记记作作XN(,2)：正态分布曲线正态分布曲线：高峰位于中间，两侧逐渐下降并完全对：高峰位于中间，两侧逐渐下降并完全对称，曲线两端永远不与横轴相交的称，曲线两端永远不与横轴相交的“钟型钟型”曲线。曲线。第14页/共59页当当固定不变时，固定不变时，越大，曲线沿横轴越大，曲线沿横轴越向右移动；反之，越向右移动；反之，越小，则曲线沿横轴越向左移越小，则曲线沿横轴越向左

5、移动，所以动，所以叫正态曲线叫正态曲线N（,2）的）的位置参数位置参数，。1.位置参数：位置参数：图图5-4 正态分布位置随参数正态分布位置随参数变换示意图变换示意图第15页/共59页=1=1.5=22.形状参数形状参数：图图5-6 正态分布形态随参数正态分布形态随参数变换示意图变换示意图 当当固定不变时，固定不变时，越大，曲线越平阔；越大，曲线越平阔；越小，曲线越尖峭，越小，曲线越尖峭，叫叫正态曲线正态曲线N（,2）的）的形形状参数状参数。第16页/共59页（二）（二）正态分布图形的特征正态分布图形的特征：1.对称性：关于对称性：关于x=对称对称2.集中性：集中性：正态曲线在横轴上方，正态曲

6、线在横轴上方，当当x=时时,f(x)取最大值，即均数位于曲线的最高处。取最大值，即均数位于曲线的最高处。3.对对频率密度正态分布图，横轴上频率密度正态分布图，横轴上曲线下的面积为曲线下的面积为1。4.是正态曲线的位置参数，决定曲线在横轴上的位置；是正态曲线的位置参数，决定曲线在横轴上的位置；增大曲线沿横轴向右移，增大曲线沿横轴向右移，减小曲线沿横轴向左移。减小曲线沿横轴向左移。5.是正态曲线的形状参数，是正态曲线的形状参数，越大数据越分散，曲线越越大数据越分散，曲线越“矮胖矮胖”，越小数据越集中，曲线越越小数据越集中，曲线越“瘦高瘦高”。第17页/共59页三、正态曲线的标准化第18页/共59页

7、 为了应用方便，常将正态概率函数中的为了应用方便，常将正态概率函数中的 x 作如作如下变量代换，令：下变量代换，令：Z称为标准正态变量。把称为标准正态变量。把u代入概率密度函数代入概率密度函数，得标准正态分布的概率密度函数：，得标准正态分布的概率密度函数：相对于正态变量相对于正态变量 x，Z 没有度量单位。根据没有度量单位。根据 u 的不同取值，可绘出标准正态分布的图形。的不同取值，可绘出标准正态分布的图形。sm-=xZ+-=ueZu,21)2/pj-(2第19页/共59页任意正态分布曲线任意正态分布曲线 XN(,2)标准正态分布曲线标准正态分布曲线XN(0,1)将一般正态分布曲线的将一般正态

8、分布曲线的 的位置平移到原点，再的位置平移到原点，再以标准差以标准差为横轴单位，这样就把原来个别的正态分布为横轴单位，这样就把原来个别的正态分布转换为一般的标准正态分布转换为一般的标准正态分布 N（0，1），亦称为），亦称为Z分布分布（或（或 分布分布）。）。第20页/共59页四、正态曲线下面积的分布规律第21页/共59页正态曲线下的面积分布有一定的规律性：正态曲线下的面积分布有一定的规律性：因正态曲线下累计频数的总和等于因正态曲线下累计频数的总和等于 100%或或 1，则：，则：横轴上曲线下的面积（概率）就等于横轴上曲线下的面积（概率）就等于 100%或或 1；均数两侧的面积（概率）各占均数

9、两侧的面积（概率）各占 50%。第22页/共59页实实际际工工作作中中常常需需了了解解横横轴轴上上某某一一区区间间曲曲线线下下面面积积占占总总面面积积的的百百分分比比，以以便便估估计计该该区区间间的的频频数数占占总总频频数数的的百百分分比比（即即频频数数分分布布情情况况）。这这就就需需要要采采用用定定积积分分的的办办法法，对对函函数数式式(1)或或(2)定定积积分分，算算得得从从-到到 x，或或从从-到到 Z 的的累累计计面面积积（概概率率）。.图 6 正态分布(左)及标准正态曲线下(右)的累计面积ZdZZ-=2221)(pjeZZ-/第23页/共59页 由于引入了标准正态变量由于引入了标准正

10、态变量 Z 值，只需对标准正值，只需对标准正态公式求定积分，求其曲线下从态公式求定积分，求其曲线下从-到任意到任意Z 值的累值的累计面积，并制成专用的计面积，并制成专用的 Z 值表（见附表）；这样值表（见附表）；这样对对于其它任意的正态分布于其它任意的正态分布N(,2)，都可以通过变量，都可以通过变量代换转化为标准正态分布代换转化为标准正态分布，通过查表就完成其概率，通过查表就完成其概率计算问题。计算问题。第24页/共59页1.左半侧左半侧 Z 值对应面积的查法：值对应面积的查法：第25页/共59页1.标准正态分布区间（标准正态分布区间（-1，1）的面积占总面积的）的面积占总面积的68.26%

11、2.标准正态分布区间（标准正态分布区间（-1.96，1.96）的面积占总面积的）的面积占总面积的95%3.标准正态分布区间（标准正态分布区间（-2.58，2.58）的面积占总面积的）的面积占总面积的99%标准正态分布曲线下面积规律标准正态分布曲线下面积规律第26页/共59页举例：举例：当当 Z=-1.96时，左侧的累计面积时，左侧的累计面积=0.025（该区间累（该区间累计频数占总例数的计频数占总例数的 2.5%），记作），记作 P(Z1.96)=0.025。当当 Z=1.96时，时，左侧累计面积为左侧累计面积为 0.975，可记作，可记作 P(Z1.96)=0.975，此时此时P(Z1.96

12、)=0.025。2.左半侧左半侧Z 值对应面积的查法：值对应面积的查法：标准正态分布是以标准正态分布是以 0 为中为中心左右对称，所以该表只计算曲线下一半的面积即可心左右对称，所以该表只计算曲线下一半的面积即可。第27页/共59页举例：举例：求求 Z=-0.5-1.5之间的面积。之间的面积。查表找出查表找出 Z=-0.5 时的对应面积为时的对应面积为 0.3085，再查，再查出出 Z=-1.5 时的对应面积时的对应面积 0.0668，相减即可。，相减即可。即：即：P(Z=-0.5-1.5)=P(Z=-0.5)-P(Z=-1.5)=0.3085-0.0668=0.24173.查任意两个查任意两个

13、 Z 值间的面积：值间的面积：第28页/共59页（1）曲线下横轴上的总面积为）曲线下横轴上的总面积为100%（2）表中曲线下面积为）表中曲线下面积为(-，Z)（3）标准正态曲线下的面积以）标准正态曲线下的面积以0为对称，即为对称，即如区间如区间(-，-1.96)与区间与区间(1.96，+)的面积相等。的面积相等。小结小结:F(F(Z)=1-F(-)=1-F(-Z)对标准正态分布曲线对标准正态分布曲线第29页/共59页4.求一般正态分布求一般正态分布N(,2)曲线下的面积：曲线下的面积：先求先求 u 值：值：根据根据 Z 值在表中查出相应的面积值值在表中查出相应的面积值当总体均数和总体标准差未知

14、时，就用样本均数当总体均数和总体标准差未知时，就用样本均数和样本标准差来代替计算。和样本标准差来代替计算。所以对正态分布或近似正态分布资料，只要求出所以对正态分布或近似正态分布资料，只要求出均数和标准差，便可就其频数分布作出概略估计了。均数和标准差，便可就其频数分布作出概略估计了。,sxxZxZ-=-=未知：已知：smsmsm,第30页/共59页举例举例：已知已知 120 名名 12 岁男孩身高均数为岁男孩身高均数为 143 cm，标，标准差为准差为 5.8 cm，试估计该地，试估计该地 12 岁男孩身高在岁男孩身高在 135 cm 以下者有多少人？以下者有多少人？答：答：1.首先计算首先计算

15、 Z 值：值：3.据概率计算人数据概率计算人数：身高在身高在 135 cm 以下者有：以下者有：1208.38%=10人人 2.查查 Z 值表：值表：当当 u=-1.38 时，左侧尾部面积时，左侧尾部面积 0.0838，即身高，即身高在在 135cm 以下者占总人数的以下者占总人数的 8.38%。38.18.5143135-=-=-=sxxZ第31页/共59页常用的正态分布、标准正态分布曲线下面积规律常用的正态分布、标准正态分布曲线下面积规律正态分布正态分布标准正态分布标准正态分布面积规律面积规律 1.64 01.6490.00%1.9601.9695.00%2.5802.5899.00%第3

16、2页/共59页第五讲 概率分布正态分布第33页/共59页四、正态分布在医学中的应用第34页/共59页（一）（一）制定医学参考值范围制定医学参考值范围 参考值范围参考值范围（reference range)：指所谓：指所谓“正常人正常人”的解剖、的解剖、生理、生化等指标的波动范围。生理、生化等指标的波动范围。制定方法：制定方法：制定参考值范围时，首先要确定一批样本含量足够制定参考值范围时，首先要确定一批样本含量足够大的大的“正常人正常人”。所谓。所谓“正常人正常人”不是指不是指“健康人健康人”，而是指排除了影响所研究指标的疾病和有关因，而是指排除了影响所研究指标的疾病和有关因素的同质人群，必须是

17、随机选择的大样本。素的同质人群，必须是随机选择的大样本。而后根据指标的实际用途确定而后根据指标的实际用途确定单侧或双侧界值单侧或双侧界值，根，根据研究目的和使用要求选定适当的百分界值，常用据研究目的和使用要求选定适当的百分界值，常用95%。.第35页/共59页单侧临界值单侧临界值：标准正态分布单侧尾部面积等于：标准正态分布单侧尾部面积等于时所对应时所对应的正侧变量值，记作的正侧变量值，记作Z Z。双侧临界值双侧临界值：标准正态分布双侧尾部面积之和等于：标准正态分布双侧尾部面积之和等于时所时所对应的正侧变量值，记作对应的正侧变量值，记作Z Z/2/2。第36页/共59页以不同的方法计算参考值范围

18、：以不同的方法计算参考值范围：（1）正态分布法：正态分布法：适用于正态或近似正态分布资料适用于正态或近似正态分布资料表表5-2 常用参考值范围的制定常用参考值范围的制定 双侧界值单侧下限单侧上限sZX2a/sXa-ZsZX+a第37页/共59页 举例举例1：调查某地调查某地120名健康女性血红蛋白，直方图显示其分名健康女性血红蛋白，直方图显示其分布近似正态，均数布近似正态，均数 X=117.4,标准差标准差S=10.2，试估计该地，试估计该地 健健康女性血红蛋白的康女性血红蛋白的95%参考值范围。参考值范围。解析解析：1.分布近似正态分布近似正态2.过高过低均为异常过高过低均为异常3.求上、下

19、界值求上、下界值正态分布法求参考值范围正态分布法求参考值范围设定双侧界值设定双侧界值上界：上界：下界：下界：所以，该地健康女性血红蛋白的所以，该地健康女性血红蛋白的95%参考值范围是参考值范围是（97.41,137.39）g/l。第38页/共59页 举例举例2：某地调查某地调查120名健康成年男性的第一秒肺通名健康成年男性的第一秒肺通气量得均数气量得均数 X=4.2(L),标准差标准差S=0.7(L)，试据此估，试据此估计其第一秒肺通气量的计其第一秒肺通气量的95%参考值范围。参考值范围。解析解析：1.分布近似正态分布近似正态2.仅过低为异常仅过低为异常3.求下界值求下界值正态分布法求参考值范

20、围正态分布法求参考值范围单侧下限单侧下限下界：下界：所以，该地健康成年男子第一秒肺通气量的所以，该地健康成年男子第一秒肺通气量的95%参参考值范围为不低于考值范围为不低于3.05（L）。）。第39页/共59页举例举例：定出生体重低于：定出生体重低于2500g的婴儿为低体重儿，若的婴儿为低体重儿，若由某项研究得某地婴儿出生体重均数为由某项研究得某地婴儿出生体重均数为3200g，标，标准差为准差为350g，估计当年出生低体重儿所占的比例。，估计当年出生低体重儿所占的比例。（二）估计频数分布（二）估计频数分布 解析解析：1.分布近似正态分布近似正态，X=3200g，S=350g。2.转化为标准正态分

21、布，求转化为标准正态分布，求u 值值查查u值表值表 说明说明标准正态曲线下标准正态曲线下(-，-2）的面积为）的面积为2.28%，故本，故本题正态曲线题正态曲线(-，2500g）的比例为）的比例为2.28%，即，即X1.96所以可认为小蘖碱含量不正常。所以可认为小蘖碱含量不正常。第49页/共59页 某地某地1998年抽样调查了年抽样调查了100名名18岁男大学生身岁男大学生身高，其均数高，其均数=172.70cm，标准差，标准差=4.01 cm。（1）估计该地）估计该地18岁男大学生身高在岁男大学生身高在168 cm以下以下者占该地者占该地18岁男大学生总数的百分数；岁男大学生总数的百分数；（

22、2）估计该地）估计该地18岁男大学生身高在岁男大学生身高在177 cm以下以下者占该地者占该地18岁男大学生总数的百分数。岁男大学生总数的百分数。第50页/共59页答案答案:查附表得，(u)=0.1210，即该地18岁男大学生身高在168 cm以下者占该地18岁男大学生总数的12.10%。查附表得，(-1.07)=0.1423,则(u)=1-(-1.07)=1-0.1423=0.8577 即该地18岁男大学生身高在177 cm以下者占该地18岁男大学生总数的85.77%。第51页/共59页第52页/共59页THANK YOU!第56页/共59页第57页/共59页第58页/共59页感感谢您的您的观看。看。第59页/共59页