概率分布正态分布学习教案.pptx

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1、会计学1概率分布正态分布概率分布正态分布第一页，共60页。一、正态分布的概念(ginin)和密度函数 第6页/共59页第七页，共60页。正态分布正态分布(normal distribution)：是描述连续型随机变：是描述连续型随机变量量(su j bin lin)最重要的分布。其分布曲线叫正态最重要的分布。其分布曲线叫正态分布曲线，呈中间高，两边低，左右基本对称的分布曲线，呈中间高，两边低，左右基本对称的“钟钟型型”曲线，近似于数学上的正态分布，又称高斯分布曲线，近似于数学上的正态分布，又称高斯分布（Gauss distribution）。）。第7页/共59页第八页，共60页。正态分布正态分

2、布(normal distribution)德莫佛最早发现了二项概率德莫佛最早发现了二项概率的一个的一个(y)(y)近似公式，这一近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次公式被认为是正态分布的首次露面。露面。正态分布在十九世纪前叶由高正态分布在十九世纪前叶由高斯斯(o s)(o s)加以推广，所以通常加以推广，所以通常称为高斯称为高斯(o s)(o s)分布分布(Gauss (Gauss distribution)distribution)。德莫佛德莫佛高高 斯斯第8页/共59页第九页，共60页。10马克马克(mk)的钱币的钱币 第9页/共59页第十页，共60页。医学研究中许多正常人的生理，生

3、化指标、测医学研究中许多正常人的生理，生化指标、测量误差等多呈正态分布或近似正态分布。量误差等多呈正态分布或近似正态分布。许多非正态分布资料，当样本含量许多非正态分布资料，当样本含量(hnling)足够大时，也可以用正态分布作为它的极限分足够大时，也可以用正态分布作为它的极限分布形式。布形式。有时也可将非正态分布资料转化为正态分布来有时也可将非正态分布资料转化为正态分布来处理。处理。正态分布在医学研究正态分布在医学研究(ynji)中的重要作用：中的重要作用：医学医学(yxu)研究研究中：中：第10页/共59页第十一页，共60页。正态分布的密度正态分布的密度(md)函数，即正态曲线的函数表达式：

4、函数，即正态曲线的函数表达式：式中，式中，为总体均数，为总体均数，为总体标准差，为总体标准差，为圆周率，为圆周率，e为自然为自然对数的底，仅对数的底，仅x为变量。为变量。当当x确定后，确定后，f(x)为为X相应相应(xingyng)的纵坐标高度，则的纵坐标高度，则X服服从参数为从参数为和和2的正态分布（的正态分布（normal distribution)，记作，记作XN（，2）。）。第11页/共59页第十二页，共60页。当给定不同的当给定不同的 x 值后，就可以根据此方程值后，就可以根据此方程(fngchng)求得相应的纵坐标高度（频数），并可绘制出正态曲线求得相应的纵坐标高度（频数），并可绘

5、制出正态曲线的图形，记作的图形，记作XN(,2)：正态分布曲线：高峰位于中间，两侧逐渐下降正态分布曲线：高峰位于中间，两侧逐渐下降(xijing)(xijing)并完全对称，曲线两端永远不与横轴相交的并完全对称，曲线两端永远不与横轴相交的“钟型钟型”曲线。曲线。第14页/共59页第十五页，共60页。当当固定不变时，固定不变时，越大，曲线越大，曲线(qxin)沿横轴沿横轴越向右移动；反之，越向右移动；反之，越小，则曲线越小，则曲线(qxin)沿横轴越向左沿横轴越向左移动，所以移动，所以叫正态曲线叫正态曲线(qxin)N（,2）的位置参数，）的位置参数，。1.位置位置(wi zhi)参参数：数：图

6、5-4 正态分布位置随参数(cnsh)变换示意图第15页/共59页第十六页，共60页。=1=1.5=22.形状形状(xngzhun)参数：参数：图5-6 正态分布形态(xngti)随参数变换示意图 当当固定不变时，固定不变时，越大，曲线越平阔；越大，曲线越平阔；越小，曲线越尖峭，越小，曲线越尖峭，叫正态曲线叫正态曲线N（,2）的形状）的形状(xngzhun)参数。参数。第16页/共59页第十七页，共60页。（二）正态分布图形（二）正态分布图形(txng)的特征：的特征：1.对称性：关于对称性：关于(guny)x=对称对称2.集中性：集中性：正态曲线在横轴上方，正态曲线在横轴上方，当当x=时时,

7、f(x)取最大值，即均数位于取最大值，即均数位于(wiy)曲线的最曲线的最高处。高处。3.对对频率密度正态分布图，横轴上频率密度正态分布图，横轴上曲线下的面积为曲线下的面积为1。4.是正态曲线的位置参数，决定曲线在横轴上的位置；是正态曲线的位置参数，决定曲线在横轴上的位置；增大曲线沿横轴向右移，增大曲线沿横轴向右移，减小曲线沿横轴向左移。减小曲线沿横轴向左移。5.是正态曲线的形状参数，是正态曲线的形状参数，越大数据越分散，曲线越越大数据越分散，曲线越“矮胖矮胖”，越小数据越集中，曲线越越小数据越集中，曲线越“瘦高瘦高”。第17页/共59页第十八页，共60页。三、正态曲线的标准化第18页/共59

8、页第十九页，共60页。为了应用方便，常将正态概率函数中的为了应用方便，常将正态概率函数中的 x 作如下变作如下变量代换，令：量代换，令：Z称为标准正态变量。把称为标准正态变量。把u代入概率密度函数代入概率密度函数，得标，得标准正态分布的概率密度函数：准正态分布的概率密度函数：相对于正态变量相对于正态变量 x，Z 没有度量没有度量(dling)单位。根单位。根据据 u 的不同取值，可绘出标准正态分布的图形。的不同取值，可绘出标准正态分布的图形。sm-=xZ+-=ueZu,21)2/pj-(2第19页/共59页第二十页，共60页。任意任意(rny)正态分布正态分布曲线曲线 XN(,2)标准标准(b

9、iozhn)正态分布曲正态分布曲线线XN(0,1)将一般正态分布曲线的将一般正态分布曲线的 的位置平移到原点，再以标的位置平移到原点，再以标准差准差为横轴单位，这样就把原来为横轴单位，这样就把原来(yunli)个别的正态分布个别的正态分布转换为一般的标准正态分布转换为一般的标准正态分布 N（0，1），亦称为），亦称为Z分布（或分布（或 分布）。分布）。第20页/共59页第二十一页，共60页。四、正态曲线下面积的分布(fnb)规律第21页/共59页第二十二页，共60页。正态曲线下的面积正态曲线下的面积(min j)分布有一定的规律分布有一定的规律性：性：因正态曲线下累计频数的总和等于因正态曲线下

10、累计频数的总和等于(dngy)100%或或 1，则：，则：横轴上曲线下的面积（概率）就等于横轴上曲线下的面积（概率）就等于(dngy)100%或或 1；均数两侧的面积（概率）各占均数两侧的面积（概率）各占 50%。第22页/共59页第二十三页，共60页。实际工作中常需了解横轴上某一区间曲线下面积占总面积的百分比，以便估计该区间的频数占总频数的百分比（即频数分布情况(qngkung)）。这就需要采用定积分的办法，对函数式(1)或(2)定积分，算得从-到 x，或从-到 Z 的累计面积（概率）。.图 6 正态分布(左)及标准(biozhn)正态曲线下(右)的累计面积ZdZZ-=2221)(pjeZZ

11、-/第23页/共59页第二十四页，共60页。由于引入了标准由于引入了标准(biozhn)正态变量正态变量 Z 值，只需对值，只需对标准标准(biozhn)正态公式求定积分，求其曲线下从正态公式求定积分，求其曲线下从-到到任意任意Z 值的累计面积，并制成专用的值的累计面积，并制成专用的 Z 值表（见附表）；值表（见附表）；这样对于其它任意的正态分布这样对于其它任意的正态分布N(,2)，都可以通过变量，都可以通过变量代换转化为标准代换转化为标准(biozhn)正态分布，通过查表就完成正态分布，通过查表就完成其概率计算问题。其概率计算问题。第24页/共59页第二十五页，共60页。1.左半侧左半侧 Z

12、 值对应值对应(duyng)面积的面积的查法：查法：第25页/共59页第二十六页，共60页。1.标准正态分布区间标准正态分布区间(q jin)（-1，1）的面积占总面积的）的面积占总面积的68.26%2.标准正态分布区间标准正态分布区间(q jin)（-1.96，1.96）的面积占总面积的）的面积占总面积的95%3.标准正态分布区间标准正态分布区间(q jin)（-2.58，2.58）的面积占总面积的）的面积占总面积的99%标准标准(biozhn)正态分布曲线下面正态分布曲线下面积规律积规律第26页/共59页第二十七页，共60页。举例：举例：当当 Z=-1.96时，左侧时，左侧(zu c)的累

13、计面积的累计面积=0.025（该区间累计频数占总例数的（该区间累计频数占总例数的 2.5%），记作），记作 P(Z1.96)=0.025。当当 Z=1.96时，时，左侧左侧(zu c)累计面积为累计面积为 0.975，可记作可记作 P(Z1.96)=0.975，此时此时P(Z1.96)=0.025。2.左半侧左半侧Z 值对应面积值对应面积(min j)的查法：标准正态分布是以的查法：标准正态分布是以 0 为中心左右对称，所以该表只计算曲线下一半的面积为中心左右对称，所以该表只计算曲线下一半的面积(min j)即可即可。第27页/共59页第二十八页，共60页。举例：求举例：求 Z=-0.5-1.

14、5之间的面积之间的面积(min j)。查表找出查表找出 Z=-0.5 时的对应面积时的对应面积(min j)为为 0.3085，再查出，再查出 Z=-1.5 时的对应面积时的对应面积(min j)0.0668，相减即可。，相减即可。即：即：P(Z=-0.5-1.5)=P(Z=-0.5)-P(Z=-1.5)=0.3085-0.0668=0.24173.查任意两个查任意两个(lin)Z 值间的面积：值间的面积：第28页/共59页第二十九页，共60页。（1）曲线下横轴上的总面积为）曲线下横轴上的总面积为100%（2）表中曲线下面积为）表中曲线下面积为(-，Z)（3）标准正态曲线下的面积以）标准正态曲

15、线下的面积以0为对称，即为对称，即如区间如区间(q jin)(-，-1.96)与区间与区间(q jin)(1.96，+)的的面积相等。面积相等。小结小结(xioji):F(F(Z)=1-F(-)=1-F(-Z)对标准对标准(biozhn)正态分布正态分布曲线曲线第29页/共59页第三十页，共60页。4.求一般正态分布求一般正态分布N(,2)曲线曲线(qxin)下的面积：下的面积：先求先求 u 值：值：根据根据 Z 值在表中查出相应值在表中查出相应(xingyng)的的面积值面积值当总体(zngt)均数和总体(zngt)标准差未知时，就用样本均数和样本标准差来代替计算。所以对正态分布或近似正态分

16、布资料，只要求出所以对正态分布或近似正态分布资料，只要求出均数和标准差，便可就其频数分布作出概略估计了。均数和标准差，便可就其频数分布作出概略估计了。,sxxZxZ-=-=未知：已知：smsmsm,第30页/共59页第三十一页，共60页。举例：已知举例：已知 120 名名 12 岁男孩身高均数为岁男孩身高均数为 143 cm，标准差为，标准差为 5.8 cm，试估计该地，试估计该地 12 岁男孩身高岁男孩身高在在 135 cm 以下以下(yxi)者有多少人？者有多少人？答：答：1.首先首先(shuxin)计算计算 Z 值：值：3.据概率计算据概率计算(j sun)人数：人数：身高在身高在 13

17、5 cm 以下者有：以下者有：1208.38%=10人人 2.查查 Z 值表：值表：当当 u=-1.38 时，左侧尾部面积时，左侧尾部面积 0.0838，即身高在，即身高在 135cm 以下者占总人数的以下者占总人数的 8.38%。38.18.5143135-=-=-=sxxZ第31页/共59页第三十二页，共60页。常用的正态分布、标准正态分布曲线常用的正态分布、标准正态分布曲线(qxin)下面积规律下面积规律正态分布正态分布标准正态分布标准正态分布面积规律面积规律 1.64 01.6490.00%1.9601.9695.00%2.5802.5899.00%第32页/共59页第三十三页，共60

18、页。第五(d w)讲 概率分布正态分布第33页/共59页第三十四页，共60页。四、正态分布在医学(yxu)中的应用第34页/共59页第三十五页，共60页。（一）（一）制定制定(zhdng)医学参医学参考值范围考值范围 参考值范围（参考值范围（reference range)：指所谓：指所谓(suwi)“正常人正常人”的解剖、生理、生化等指标的波动范围。的解剖、生理、生化等指标的波动范围。制定方法：制定方法：制定参考值范围时，首先要确定一批样本含量足够大的制定参考值范围时，首先要确定一批样本含量足够大的“正正常人常人”。所谓。所谓“正常人正常人”不是不是(b shi)指指“健康人健康人”，而，而

19、是指排除了影响所研究指标的疾病和有关因素的同质人群，是指排除了影响所研究指标的疾病和有关因素的同质人群，必须是随机选择的大样本。必须是随机选择的大样本。而后根据指标的实际用途确定单侧或双侧界值，根据研究目而后根据指标的实际用途确定单侧或双侧界值，根据研究目的和使用要求选定适当的百分界值，常用的和使用要求选定适当的百分界值，常用95%。.第35页/共59页第三十六页，共60页。单侧临界值：标准单侧临界值：标准(biozhn)(biozhn)正态分布单侧尾部面积等于正态分布单侧尾部面积等于时所对应的正侧变量值，记作时所对应的正侧变量值，记作ZZ。双侧临界值：标准正态分布双侧尾部面积双侧临界值：标准

20、正态分布双侧尾部面积(min j)(min j)之和等于之和等于时所对应的正侧变量值，记作时所对应的正侧变量值，记作Z/2Z/2。第36页/共59页第三十七页，共60页。以不同的方法以不同的方法(fngf)计算参考值范围：计算参考值范围：（1）正态分布法：适用）正态分布法：适用(shyng)于正态或近似正态分布于正态或近似正态分布资料资料表表5-2 常用常用(chn yn)参考值范参考值范围的制定围的制定 双侧界值单侧下限单侧上限sZX2a/sXa-ZsZX+a第37页/共59页第三十八页，共60页。举例1：调查某地120名健康女性血红蛋白，直方图显示其分布近似(jn s)正态，均数 X=11

21、7.4,标准差S=10.2，试估计该地 健康女性血红蛋白的95%参考值范围。解析解析(ji x)：1.分布分布(fnb)近似近似正态正态2.过高过低均为异常过高过低均为异常3.求上、下界值求上、下界值正态分布法求参考值范围正态分布法求参考值范围设定双侧界值设定双侧界值上界：上界：下界：下界：所以，该地健康女性血红蛋白的所以，该地健康女性血红蛋白的95%参考值范围是参考值范围是（97.41,137.39）g/l。第38页/共59页第三十九页，共60页。举例(j l)2：某地调查120名健康成年男性的第一秒肺通气量得均数 X=4.2(L),标准差S=0.7(L)，试据此估计其第一秒肺通气量的95%

22、参考值范围。解析解析(ji x)：1.分布分布(fnb)近近似正态似正态2.仅过低为异常仅过低为异常3.求下界值求下界值正态分布法求参考值范围正态分布法求参考值范围单侧下限单侧下限下界：下界：所以，该地健康成年男子第一秒肺通气量的所以，该地健康成年男子第一秒肺通气量的95%参考参考值范围为不低于值范围为不低于3.05（L）。）。第39页/共59页第四十页，共60页。举例：定出生体重低于2500g的婴儿为低体重儿，若由某项研究得某地(mu d)婴儿出生体重均数为3200g，标准差为350g，估计当年出生低体重儿所占的比例。（二）估计频数（二）估计频数(pn sh)分布分布 解析解析(ji x)：

23、1.分布近似正态分布近似正态，X=3200g，S=350g。2.转化为标准正态分布，求转化为标准正态分布，求u 值值查查u值表值表 说明说明标准正态曲线下标准正态曲线下(-，-2）的面积为）的面积为2.28%，故本题正，故本题正态曲线态曲线(-，2500g）的比例为）的比例为2.28%，即，即X1.96所以所以(suy)可认为小蘖碱含量不正常。可认为小蘖碱含量不正常。第49页/共59页第五十页，共60页。某地某地1998年抽样调查了年抽样调查了100名名18岁男大学生身高岁男大学生身高(shn o)，其均数，其均数=172.70cm，标准差，标准差=4.01 cm。（1）估计该地）估计该地18

24、岁男大学生身高岁男大学生身高(shn o)在在168 cm以下者占该地以下者占该地18岁男大学生总数的百分数；岁男大学生总数的百分数；（2）估计该地）估计该地18岁男大学生身高岁男大学生身高(shn o)在在177 cm以下者占该地以下者占该地18岁男大学生总数的百分数。岁男大学生总数的百分数。第50页/共59页第五十一页，共60页。答案答案(d n):查附表得，(u)=0.1210，即该地18岁男大学生身高(shn o)在168 cm以下者占该地18岁男大学生总数的12.10%。查附表得，(-1.07)=0.1423,则(u)=1-(-1.07)=1-0.1423=0.8577 即该地18岁男大学生身高(shn o)在177 cm以下者占该地18岁男大学生总数的85.77%。第51页/共59页第五十二页，共60页。第52页/共59页第五十三页，共60页。THANK YOU!第56页/共59页第五十七页，共60页。第57页/共59页第五十八页，共60页。第58页/共59页第五十九页，共60页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)。第59页/共59页第六十页，共60页。