第三 静态场及其边值问题的解.pptx

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1、13.1 静电场分析静电场分析 学习内容学习内容 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件 电位函数电位函数 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 静电场的能量静电场的能量 静电力静电力第1页/共151页22.边界条件边界条件微分形式：微分形式：本构关系：本构关系：1.基本方程基本方程积分形式：积分形式：或或若分界面上不存在面电荷，即若分界面上不存在面电荷，即S S0 0，则，则或或静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件第2页/共151页3介质介质2 2介质介质1 1 在静电平衡的情况下，导体内部的电场为在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的

2、边界条件为，则导体表面的边界条件为 或或 场矢量的折射关系场矢量的折射关系 导体表面的边界条件导体表面的边界条件 介质介质1 1导体第3页/共151页4由由即即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数标量函数 称为静电场的标量电位或简称称为静电场的标量电位或简称电位。电位。1.电位函数的定义电位函数的定义 电位函数电位函数第4页/共151页52.电位的表达式电位的表达式对于连续的体分布电荷，由对于连续的体分布电荷，由面电荷的电位：面电荷的电位：故得故得点电荷的电位：点电荷的电位：线电荷的电位：线电荷的电位：第5页/共151页63.电位差两端点乘两端点

3、乘 ，则有，则有将将上式两边从点上式两边从点P到点到点Q沿任意路径进行积分，得沿任意路径进行积分，得关于电位差的说明关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至点移至Q 点点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；电位差也称为电压，可用电位差也称为电压，可用U 表示；表示；电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。P、Q 两点间的电位差两点间的电位差电场力做电场力做的功的功第6页/共151页7 静电

4、位不惟一，可以相差一个常数，即静电位不惟一，可以相差一个常数，即选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值(电位差电位差)两点间电位差有定值两点间电位差有定值 选择电位参考点的原则选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义；应使电位表达式有意义；应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点；限远作电位参考点；同一个问题只能有一个参考点。同一个问题只能有一个参考点。4.电位参考点电位参考点 为为使使空空间间各各点点电电位位具具有有确确定定值值，可可以以选选定定空空间间某某一一点点作作为为参参考

5、考点点，且且令令参参考考点点的的电电位位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即第7页/共151页8在均匀介质中，有在均匀介质中，有5.电位的微分方程电位的微分方程在无源区域，在无源区域，标量泊松方程标量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程第8页/共151页96.静电位的边界条件 设设P1和和P2是是介介质质分分界界面面两两侧侧紧紧贴贴界界面面的的相相邻邻两两点点，其其电电位位分分别别为为 1和和 2。当当两两点点间间距离距离l0时时 若介质分界面上无自由电荷，即若介质分界面上无自由电荷

6、，即导体表面上电位的边界条件：导体表面上电位的边界条件：由由 和和媒质媒质2媒质媒质1常数，常数，第9页/共151页10 例 求电偶极子的电位求电偶极子的电位.解 在球坐标系中在球坐标系中用二项式展开，由于，得用二项式展开，由于，得代入上式，得代入上式，得 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。+q电偶极子电偶极子zodq第10页/共151页11将将 和和 代入上式，代入上式，解得解得E线方程为线方程为 由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度等位线等位线电场线电场线电偶极子的场图电偶极子的场

7、图电场线微分方程电场线微分方程：等位线方程等位线方程：第11页/共151页12 解 选定均匀电场空间中的一点选定均匀电场空间中的一点o为坐标原点，而任意点为坐标原点，而任意点P 的位置矢量为的位置矢量为r，则，则若选择点若选择点o为电位参考点，即为电位参考点，即 ，则，则 在球坐标系中，取极轴与在球坐标系中，取极轴与 的方向一致，即的方向一致，即 ，则有，则有 在圆柱面坐标系中，取在圆柱面坐标系中，取 与与x轴方向一致，即轴方向一致，即 ，而，而 ，故，故 例 求均匀电场的电位分布。求均匀电场的电位分布。第12页/共151页13xyzL-L 解 采用圆柱面坐标系，令线电荷与采用圆柱面坐标系，令

8、线电荷与 z 轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与称性，电位与 无关。无关。在带电线上位于在带电线上位于 处的线元处的线元 ，它，它到点到点 的距离的距离 ，则则 例3.1.3 求长度为求长度为2L、电荷线密度为、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。的均匀带电线的电位。第13页/共151页14 在上式中若令在上式中若令 ，则可得到无限长直线电荷的电位。当，则可得到无限长直线电荷的电位。当 时，上式可写为时，上式可写为 当当 时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将

9、电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有并选择有限远处为电位参考点。例如，选择并选择有限远处为电位参考点。例如，选择=a 的点为电位参的点为电位参考点，则有考点，则有第14页/共151页15 例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接地导体平板分别置于x=0和和 x=a 处，在两板之间的处，在两板之间的 x=b 处处有一面密度为有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。解 在两块无限大接地导体平板之间，除在两块无限大接地

10、导体平板之间，除 x=b 处有均匀面电荷分布外，其余空间均处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程方程的解为方程的解为obaxy两块无限大平行板两块无限大平行板第15页/共151页16利用边界条件，有利用边界条件，有 处，处，最后得最后得 处，处，处，处，所以所以由此解得由此解得第16页/共151页17电容器广泛应用于电子设备的电路中：电容器广泛应用于电子设备的电路中：在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用；路、选频等作用；通过电容、电感、电

11、阻的排布，可组合成各种功能的复杂通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路；电路；在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率；减少电能的损失和提高电气设备的利用率；导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容第17页/共151页18 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能力的物理量。储存电荷能力的物理量。孤立导体的电容定义为所带电量孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位与其电位 的比值，即的比值，即1.电容电容 孤立导体

12、的电容孤立导体的电容 两个带等量异号电荷（两个带等量异号电荷（q）的导的导 体组成的电容器，其电容为体组成的电容器，其电容为 电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。第18页/共151页19(1)假定两导体上分别带电荷假定两导体上分别带电荷+q 和和-q；(2)计算两导体间的电场强度计算两导体间的电场强度E；计算电容的步骤：计算电容的步骤：(4)求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。(3)由由 ，求出两导体间的电位差；，求出两导体

13、间的电位差；第19页/共151页20 解：设内导体的电荷为设内导体的电荷为q q，则由高斯定理可求得内外导体间的电场，则由高斯定理可求得内外导体间的电场同心导体间的电压同心导体间的电压球形电容器的电容球形电容器的电容当当 时，时，例 同心球形电容器的内导体半径为同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为、外导体半径为b，其间填充介电常数为，其间填充介电常数为的均匀的均匀介质。介质。求此球形电容器的电容。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容孤立导体球的电容第20页/共151页21 例 如图所示的平行双线传输线，导线半径为如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导线的轴线距离为，两导线的轴线

14、距离为D，且，且D a，求传输线单位长度的电容。，求传输线单位长度的电容。解 设两导线单位长度带电量分别为设两导线单位长度带电量分别为 和和 。由于。由于 ，故，故可近似地认为电荷分别均可近似地认为电荷分别均匀分布在两匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点理，可得到两导线之间的平面上任一点P 的电场强度为的电场强度为两导线间的电位差两导线间的电位差故单位长度的电容为故单位长度的电容为第21页/共151页22 例 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a，外导体半径为为，外导体半径为为b，内外导体间填充的介电常数为，内外导体

15、间填充的介电常数为 的均的均匀介质，匀介质，求同轴线单位长度的电容。求同轴线单位长度的电容。内外导体间的电位差内外导体间的电位差 解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和和 ，应用高斯定理可得到内外应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为导体间任一点的电场强度为故得同轴线单位长度的电容为故得同轴线单位长度的电容为同轴线同轴线第22页/共151页232 部份电容部份电容在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体 上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须把电容的上的电荷的影响。因

16、此，研究多导体系统时，必须把电容的 概念加以推广，引入部分电容的概念。概念加以推广，引入部分电容的概念。在在由由N个个导导体体组组成成的的系系统统中中，由由于于电电位位与与各各导导体体所所带带的的电电荷荷之之间间成成线线性性关关系系，所所以以，各导体的电位为各导体的电位为式中：式中：自电位系数自电位系数 互电位系数互电位系数（1）电位系数电位系数第23页/共151页24 i j 在数值上等于第在数值上等于第i 个导体上的总电量为一个单位、而其余个导体上的总电量为一个单位、而其余 导体上的总电量都为零时，第导体上的总电量都为零时，第 j 个导体上的电位，即个导体上的电位，即i j 只与各导体的形

17、状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；具有对称性，即具有对称性，即i j=j i。i j 0；电位系数的特点：电位系数的特点：第24页/共151页25若已知各导体的电位，则各导体的电量可表示为若已知各导体的电位，则各导体的电量可表示为 式中：式中：自电容系数或自感应系数自电容系数或自感应系数 互电容系数或互感应系数互电容系数或互感应系数（2）电容系数电容系数第25页/共151页26 i j 在数值上等于第在数值上等于第 j个导体上的个导体上的电位为一个单位、而其余导

18、电位为一个单位、而其余导 体接地时，体接地时，第第 i 个导体上的电量，即个导体上的电量，即 i j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；具有对称性，即具有对称性，即i j=j i。i i 0、；电容系数的特点：电容系数的特点：第26页/共151页27将各导体的电量表示为将各导体的电量表示为 式中：式中：（3）部分电容部分电容 导体导体 i 与导体与导体 j 之间的部分电容之间的部分电容 导体导体 i 与地之间的部分电容与地之间的部分电容 第27页/

19、共151页28 Ci i 在数值上等于全部导体的电位都为一个单位时，在数值上等于全部导体的电位都为一个单位时，第第 i 个导个导 体上的电量；体上的电量；Ci j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；具有对称性，即具有对称性，即Ci j=Cj i。Ci j 0；Ci j 在数值上等于第在数值上等于第 j 个导体的电位为一个单位、其余个导体的电位为一个单位、其余 导体都接地时，导体都接地时，第第 i 个导体上的电量；个导体上的电量；部分电容的特点：部分

20、电容的特点：第28页/共151页29 在多导体系统中，把其中任意两个导体作为电容在多导体系统中，把其中任意两个导体作为电容器的两个电极，设在这两个电极间加上电压器的两个电极，设在这两个电极间加上电压U，极，极板上所带电荷分别为板上所带电荷分别为 ，则比值，则比值 称称为这两个导体间的等效电容。为这两个导体间的等效电容。（4）等效电容等效电容如图所示，有三个部分电容如图所示，有三个部分电容导线导线 1 和和 2 间的等效电容为间的等效电容为导线导线 1 和大地间的等效电容为和大地间的等效电容为导线导线 2 和大地间的等效电容为和大地间的等效电容为1 12 2大地大地大地上空的平行双导线大地上空的

21、平行双导线第29页/共151页30 如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所作的总如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所作的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所作的功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所作的总功。总功。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。能量。任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷

22、分布到某个最终电荷分布的建立任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立(或充或充电电)过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而作功。过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而作功。静电场的能量静电场的能量 第30页/共151页311.静电场的能量静电场的能量 设系统从零开始充电，最终带电量为设系统从零开始充电，最终带电量为 q、电位为、电位为 。充电过程中某一时刻的电荷量为充电过程中某一时刻的电荷量为q、电位为、电位为 。(01)当当增加为增加为(+d)时，外电源做功为时，外电源做功为:(q d)。对对从从0 到到 1 积分，即得到外电源所

23、做的总功为积分，即得到外电源所做的总功为 根据能量守恒定律，此功也就是电量为根据能量守恒定律，此功也就是电量为 q 的带电体具有的电场能量的带电体具有的电场能量We ，即，即 对于电荷体密度对于电荷体密度为的体分布电荷，体积元为的体分布电荷，体积元dV中的电荷中的电荷dV具有的电场能量为具有的电场能量为第31页/共151页32故体分布电荷的电场能量为故体分布电荷的电场能量为对于面分布电荷，对于面分布电荷，电场能量为电场能量为对于多导体组成的带电系统，则有对于多导体组成的带电系统，则有 第第i个导体所带的电荷个导体所带的电荷 第第i个导体的电位个导体的电位式中：式中：第32页/共151页332.

24、电场能量密度电场能量密度 从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。电场能量密度：电场能量密度：电场的总能量：电场的总能量：积分区域为电场积分区域为电场所在的整个空间所在的整个空间对于线性、各向同性介质，则有对于线性、各向同性介质，则有第33页/共151页34由于体积由于体积V外的电荷密度外的电荷密度0，若将上式中的积分区，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内，当闭合面在有限区域内，当闭合面S无限扩大时，则有无限扩大时，则有故故 推证：推证：0

25、S第34页/共151页35 例 半径为半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电荷，试求静电场能量。的电荷，试求静电场能量。解：方法一方法一，利用利用 计算计算 根据高斯定理求得电场强度根据高斯定理求得电场强度 故故第35页/共151页36 方法二方法二：利用利用 计算计算 先求出电位分布先求出电位分布 故故第36页/共151页37 已已知知带带电电体体的的电电荷荷分分布布，原原则则上上，根根据据库库仑仑定定律律可可以以计计算算带带电电体体电电荷荷之之间间的的电电场场力力。但但对对于于电电荷荷分分布布复复杂杂的的带带电电系系统统，根根据据库库仑仑定定律律

26、计计算算电电场场力力往往往往是是非非常常困困难难的的，因因此此通通常采用虚位移法来计算静电力。常采用虚位移法来计算静电力。虚位移法虚位移法：假设第假设第i个带电个带电导体在电场力导体在电场力Fi的作用下发生位移的作用下发生位移dgi，则电场力做功，则电场力做功dAFidgi，系统的静电能量改变为，系统的静电能量改变为dWe。根据能量守恒定律，该系统的功能关系为根据能量守恒定律，该系统的功能关系为其中其中dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电导体的电荷不变。具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，

27、或假定各带电导体的电荷不变。静电力第37页/共151页381.各带电导体的电位不变各带电导体的电位不变 此时，各带电导体应分别与外电压源连接，外电压源向系统提供的能量此时，各带电导体应分别与外电压源连接，外电压源向系统提供的能量系统所改变的静电能量系统所改变的静电能量即即此时，所有带电体都不和外电源相连接，则此时，所有带电体都不和外电源相连接，则 dWS0，因此，因此2.各带电导体的电荷不变各带电导体的电荷不变式中的式中的“”号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。不变不变q不变不变第38页/共151页39例 有一平行金属板电容器，极板面

28、积为有一平行金属板电容器，极板面积为lb，板间距离为板间距离为d，用一块介质片（宽度为，用一块介质片（宽度为b、厚度为、厚度为d，介，介电常数为电常数为）部分填充在两极板之间，如图所示。设极）部分填充在两极板之间，如图所示。设极板间外加电压为板间外加电压为U0，忽略边缘效应，求介质片所受的，忽略边缘效应，求介质片所受的静电力。静电力。所以电容器内的电场能量为所以电容器内的电场能量为由由 可求得介质片受到的静电力为可求得介质片受到的静电力为 解 平行板电容器的电容为平行板电容器的电容为部分填充介质的平行板电容器部分填充介质的平行板电容器dbU0lx由于由于0，所以介质片所，所以介质片所受到的力有

29、将其拉受到的力有将其拉进电容器的趋势进电容器的趋势第39页/共151页40 此题也可用式此题也可用式 来计算来计算q不变不变设极板上保持总电荷设极板上保持总电荷q不变，则不变，则由此可得由此可得由于由于同样得到同样得到第40页/共151页413.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 由由J J E E 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这

30、种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。定分布电荷产生的电场称为恒定电场。恒定电场与静电场重要区别：恒定电场与静电场重要区别：（1 1）恒定电场可以存在导体内部。）恒定电场可以存在导体内部。（2 2）恒定电场中有电场能量的损耗）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。来不断补充被损耗的电场能量。恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。第41页/共151页42恒定电场的基本方程和边界条件1.1.基本方程基本方程 恒定电场的基本方程为恒定电场的基本方

31、程为微分形式：微分形式：积分形式：积分形式：恒定电场的基本场矢量是电流密度恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度和电场强度 线性各向同性导电媒质的本构关系线性各向同性导电媒质的本构关系 恒定电场的电位函数恒定电场的电位函数由由若媒质是均匀的，则若媒质是均匀的，则 均匀导电媒质中均匀导电媒质中没有体分布电荷没有体分布电荷第42页/共151页432.恒定电场的边界条件恒定电场的边界条件媒质媒质2 2媒质媒质1 1 场矢量的边界条件场矢量的边界条件即即即即 导电媒质分界面上的电荷面密度导电媒质分界面上的电荷面密度场矢量的折射关系场矢量的折射关系第43页/共151页44 电位的边界条件电位的边界条

32、件 恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场 既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因 而导体表面不是等位面；而导体表面不是等位面；说明：说明：第44页/共151页45媒质媒质2 2媒质媒质1 1媒质媒质2 2媒质媒质1 1 如如 21、且、且 290，则则 10，即电场线近似垂直于与良导体表面。即电场线近似垂直于与良导体表面。此时，良导体表面可近似地看作为此时，良导体表面可近似地看作为 等位面；等位面；若媒质若媒质1为理想介质为理想介质，即即 10，则则 J1=0，

33、故故J2n=0 且且 E2n=0，即导体中，即导体中 的电流和电场与分界面平行的电流和电场与分界面平行。第45页/共151页46恒定电场与静电场的比拟 如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。

34、称为比拟法。第46页/共151页47恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟基本方程基本方程静电场（静电场（区域）区域）本构关系本构关系位函数位函数边界条件边界条件恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）对应物理量对应物理量静电场静电场恒定电场恒定电场第47页/共151页48 例一一个个有有两两层层介介质质的的平平行行板板电电容容器器，其其参参数数分分别别为为 1、1和和 2、2，外外加加电电压压U。求介质面上的自由电荷密度。求介质面上的自由电荷密度。解：极极板板是是理理想想导导体体，为为等等位位面面，电流沿电流沿z方向。方向。第48页/共151页49 例例 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半

35、径为填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体半径为，外导体半径为c，介质的分界面半，介质的分界面半径为径为b。两层介质的介电常数为。两层介质的介电常数为 1和和 2、电导率为、电导率为 1和和 2。设内导体的电压为。设内导体的电压为U0，外导，外导体接地。求：（体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的自由）介质分界面上的自由电荷面密度。电荷面密度。外导体内导体内导体介质介质2 2介质介质1第49页/共151页50 （1 1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I,I,则由则由 可得电

36、流密度可得电流密度介质中的电场：介质中的电场：解 电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度成轴对称电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为分布。可先假设电流为I，由求出电流密度由求出电流密度 的表达式，然后求出的表达式，然后求出 和和 ，再由，再由 确定出电流确定出电流 I。第50页/共151页51故两种介质中的电流密度和电场强度分别为故两种介质中的电流密度和电场强度分别为由于由于于是得到于是得到第51页/共151页52 （2）由）由 可得，介质可得，介质1内表面的电荷面密度为内表面的电荷面密度为介质介质2外表面的电荷面密度为

37、外表面的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为第52页/共151页53 工程上常在电容器两极板之间，同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作工程上常在电容器两极板之间，同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压在电极间加上电压U 时，必定会有微小的漏电流时，必定会有微小的漏电流 J 存在。存在。漏电流与电压之比为漏电导，即漏电流与电压之比为漏电导，即其倒数称为绝缘电阻，即其倒数称为绝缘电阻，即

38、漏电导漏电导第53页/共151页54(1)假定两电极间的电流为假定两电极间的电流为I；(2)计算两电极间的电流密度计算两电极间的电流密度 矢量矢量J；(3)由由J=E 得到得到 E;(4)由由 ，求出两导，求出两导 体间的电位差；体间的电位差；(5)求比值求比值 ，即得出，即得出 所求电导。所求电导。计算电导的方法一计算电导的方法一：计算电导的方法二计算电导的方法二：(1)假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U；(2)计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布 ；(3)由由 得到得到E;(4)由由 J=E 得到得到J;(5)由由 ，求出两导体间，求出两导体间 电流；电流；(6)求比值

39、求比值 ，即得出所，即得出所 求电导。求电导。计算电导的方法三计算电导的方法三：静电比拟法：静电比拟法：第54页/共151页55 例 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a、b，长度为长度为l，其间媒质的电导，其间媒质的电导率为率为、介电常数为、介电常数为。解：直接用恒定电场的计算方法直接用恒定电场的计算方法电导电导绝缘电阻绝缘电阻则则设由内导体流向外导体的电流为设由内导体流向外导体的电流为I。第55页/共151页56方程通解为方程通解为 例 在一块厚度在一块厚度h 的导电板上，的导电板上，由两个半径为由两个半径为r1和和r2的圆弧和夹角为的圆弧和夹

40、角为 0的两半径割出的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所示。计算沿的一段环形导电媒质，如图所示。计算沿 方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为导率为。解：设在沿设在沿 方向的两电极之间外加电压方向的两电极之间外加电压U0，则电流沿则电流沿 方向流动，而且电流密度方向流动，而且电流密度是随是随 变化的。但容易变化的。但容易判定电位判定电位 只是变量只是变量 的函数，因此电位函数的函数，因此电位函数 满足一维满足一维拉普拉斯拉普拉斯方程方程代入边界条件代入边界条件可以得到可以得到环形导电媒质块环形导电媒质块r1hr2 0第56页/共151页57电流密度

41、电流密度两电极之间的两电极之间的电流电流故故沿沿 方向的两电极之间的电阻方向的两电极之间的电阻为为所以所以第57页/共151页58恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场的矢量磁位和标量磁位 电感电感 恒定磁场的能量恒定磁场的能量 磁场力磁场力 3.3 恒定磁场分析第58页/共151页59微分形式微分形式:1.基本方程基本方程2.边界条件边界条件本构关系：本构关系：或或若分界面上不存在面电流，即若分界面上不存在面电流，即J JS S0 0，则，则积分形式积分形式:或或恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件第59页/共151

42、页60 矢量磁位的定义矢量磁位的定义 磁矢位的任意性磁矢位的任意性 与与电电位位一一样样，磁磁矢矢位位也也不不是是惟惟一一确确定定的的，它它加加上上任任意意一一个个标标量量 的的梯梯度度以以后后，仍仍然然表示同一个磁场，即表示同一个磁场，即由由即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。磁磁矢矢位位的的任任意意性性是是因因为为只只规规定定了了它它的的旋旋度度，没没有有规规定定其其散散度度造造成成的的。为为了了得得到到确确定定的的A，可以对，可以对A的散度加以限制，在恒定磁场中通常规定，并称为库仑规范。的散度加以限制，在恒定磁场中通常规定，并称为库仑规范。

43、1.恒定磁场的矢量磁位恒定磁场的矢量磁位矢量磁位或称磁矢位矢量磁位或称磁矢位 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位第60页/共151页61 磁矢位的微分方程磁矢位的微分方程在无源区：在无源区：矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程 磁矢位的表达式磁矢位的表达式第61页/共151页62 磁矢位的边界条件磁矢位的边界条件由此可得出由此可得出（可以证明满足（可以证明满足 ）对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为面电流面电流：细线电流细线电流：利用磁矢位计算磁通量：利用磁矢位计算磁通量：第62页/共151页63 例 求求小小圆圆环环电电流流回回路路的的远远区区矢矢量量磁磁位位与

44、与磁磁场场。小小圆圆形形回回路路的的半半径径为为a，回回路路中中的的电电流为流为I。解 如图所示，由于具有轴对称性，如图所示，由于具有轴对称性，矢量磁位和磁矢量磁位和磁场均场均与与 无关，计算无关，计算xz平面上的矢量磁位与磁场平面上的矢量磁位与磁场将不失将不失一般性。一般性。小圆环电流小圆环电流aIxzyrRIP第63页/共151页64对于远区，有对于远区，有r a，所以，所以由于在由于在 =0面上面上 ，所以上式可写成，所以上式可写成于是得到于是得到第64页/共151页65式中式中S=a2是小圆环的面积。是小圆环的面积。载流小圆环可看作为磁偶极子，载流小圆环可看作为磁偶极子，为磁偶极子的磁

45、矩（或磁偶极矩），则为磁偶极子的磁矩（或磁偶极矩），则或或 第65页/共151页66 解：先长度为：先长度为2L的直线电流的磁矢位。的直线电流的磁矢位。电流元电流元 到点到点 的距离的距离 。则。则 例 求无限长线电流求无限长线电流 I 的磁矢位，设电流沿的磁矢位，设电流沿+z方向流动。方向流动。与计算无限长线电荷的电位一样，令与计算无限长线电荷的电位一样，令 可得到无限长线电流的磁矢位可得到无限长线电流的磁矢位 xyzL-L第66页/共151页672.恒定磁场的标量磁位恒定磁场的标量磁位 一一般般情情况况下下，恒恒定定磁磁场场只只能能引引入入磁磁矢矢位位来来描描述述，但但在在无无传传导导电电

46、流流（J0）的的空空间间 中中，则有则有即在无传导电流即在无传导电流（J0）的空间中，可以引入一个的空间中，可以引入一个标量位函数来描述磁场。标量位函数来描述磁场。标量磁位的引入标量磁位的引入标量磁位或磁标位标量磁位或磁标位 磁标位的微分方程磁标位的微分方程(均匀线性各向同性介质均匀线性各向同性介质第67页/共151页68 标量磁位的边界条件标量磁位的边界条件在线性、各向同性的均匀媒质中在线性、各向同性的均匀媒质中和和第68页/共151页69静电位静电位 磁标位磁标位 磁标位与静电位的比较磁标位与静电位的比较静电位静电位 磁标位磁标位 m 第69页/共151页70当当r l 时时，可可将将磁磁

47、柱柱体体等等效效成成磁磁偶偶极极子子，则则利利用用与与静静电电场的比较和电偶极子场，有场的比较和电偶极子场，有 解：M为常数，为常数，m=0，柱内没有磁荷。在柱的两个端面上，磁化磁荷为，柱内没有磁荷。在柱的两个端面上，磁化磁荷为R1R2rPzx-l/2l/2M 例3.3.3 半半径径为为a、长长为为l的的圆圆柱柱永永磁磁体体，沿沿轴轴向向均均匀匀磁磁化化，其其磁磁化化强强度度为为 。求远区的磁感应强度。求远区的磁感应强度。第70页/共151页711.磁通与磁链磁通与磁链 电感 单匝线圈形成的回路的磁链定单匝线圈形成的回路的磁链定 义为穿过该回路的磁通量义为穿过该回路的磁通量 多匝线圈形成的导线

48、回路的磁多匝线圈形成的导线回路的磁 链定义为所有线圈的磁通总和链定义为所有线圈的磁通总和 CI 细回路细回路 粗导线构成的回路，磁链分为粗导线构成的回路，磁链分为 两部分：一部分是粗导线包围两部分：一部分是粗导线包围 的、磁力线不穿过导体的外磁通量的、磁力线不穿过导体的外磁通量 o；另一部分是磁力线穿过；另一部分是磁力线穿过 导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量 i。iCI o粗回路粗回路第71页/共151页72 设回路设回路C中的电流为中的电流为I，所产生的磁场与回路，所产生的磁场与回路 C 交链的磁链为交链的磁链为，则磁链，则磁链 与回路与回路 C

49、中的电流中的电流 I 有正比关系，其比值有正比关系，其比值称为回路称为回路 C 的自感系数，简称自感。的自感系数，简称自感。外自感外自感2.自感自感 内自感；内自感；粗导体回路的自感：粗导体回路的自感：L=Li+Lo 自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围磁介质有关，与电流无关。自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围磁介质有关，与电流无关。自感的特点：自感的特点：第72页/共151页73 解：先求内导体的内自感。设同轴线中的电流为：先求内导体的内自感。设同轴线中的电流为I，由安培环路定理由安培环路定理穿过沿轴线单位长度的矩形面积元穿过沿轴线单位长度的矩形面积元dS=d 的磁通为的磁通为 例 求求同

50、同轴轴线线单单位位长长度度的的自自感感。设设内内导导体体半半径径为为a，外外导导体体厚厚度度可可忽忽略略不不计计，其其半半径径为为b，空气填充。，空气填充。得得与与di交链的电流为交链的电流为则与则与di相应的磁链为相应的磁链为第73页/共151页74因此内导体中总的内磁链为因此内导体中总的内磁链为故单位长度的内自感为故单位长度的内自感为再求内、外导体间的外自感。再求内、外导体间的外自感。则则故单位长度的外自感为故单位长度的外自感为单位长度的总自感为单位长度的总自感为第74页/共151页75 例 计算平行双线传输线单位的长度的自感。设导线的半径为计算平行双线传输线单位的长度的自感。设导线的半径