第三章 静态场及其边值问题的解.ppt

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1、2022/12/291第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解2022/12/292第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.1 3.1 静电场分析静电场分析3.2 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析3.4 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理3.5 3.5 镜像法镜像法3.6 3.6 分离变量法分离变量法主要内容主要内容2022/12/293第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.1 3.1 静电场分析静电场分析 1.1.静电场基础静电

2、场基础 体电荷产生的电场体电荷产生的电场 面电荷产生的电场面电荷产生的电场 线电荷产生的电场线电荷产生的电场 点电荷产生的电场点电荷产生的电场 基本方程：基本方程：边界条件：边界条件：已已知知电电荷荷分分布布的的无无界界空空间间2022/12/294第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.1 3.1 静电场分析静电场分析 例例1 1：计算均匀带电的环形薄圆盘轴线上任意点的电场：计算均匀带电的环形薄圆盘轴线上任意点的电场强度。强度。P(0,0,z)abrRdsdEyzx解：解：2022/12/295第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.1 3.1 静

3、电场分析静电场分析 2022/12/296第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解若电荷分布具有对称性，可用高斯定理求解：若电荷分布具有对称性，可用高斯定理求解：1 1）球对称分布：包括均匀）球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多带电的球面，球体和多层同心球壳等。层同心球壳等。3.1 3.1 静电场分析静电场分析 2 2）轴对称分布：包括无限）轴对称分布：包括无限长均匀带电的直线，圆长均匀带电的直线，圆柱体，圆柱壳等。柱体，圆柱壳等。3 3）无限大平面电荷：包）无限大平面电荷：包括无限大的均匀带电括无限大的均匀带电平面，平板等。平面，平板等。2022/12/297第三章第三

4、章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解计算步骤：计算步骤：a)分析场的对称性，判断能否用高斯定律求解分析场的对称性，判断能否用高斯定律求解b)选择合适的高斯面，使电通量积分简化为选择合适的高斯面，使电通量积分简化为3.1 3.1 静电场分析静电场分析 c)c)计算高斯面内的电荷计算高斯面内的电荷 q qd)d)利用高斯定理计算电场利用高斯定理计算电场2022/12/298第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解例例2 2、求真空中均匀带电球体的场强分布。（球体半径求真空中均匀带电球体的场强分布。（球体半径为为R R，带电量为，带电量为q q，电荷密度为，电荷密度为）

5、解：解：（1 1）球外某点的场强）球外某点的场强(r r r r R R R R)3.1 3.1 静电场分析静电场分析 （2 2）求球体内一点的场强）求球体内一点的场强（r a,Da,求传输线单位长度的电容求传输线单位长度的电容3.1 3.1 静电场分析静电场分析解：设单位长度传输线所带电荷为解：设单位长度传输线所带电荷为 l l2022/12/2932第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解例例11 11 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a a，外导体半径为为，外导体半径为为b b，内外，内外导体间填充的介电常数为导体间填充的介电常数为 的均匀介质，的均匀介质，求同轴线

6、单位求同轴线单位长度的电容。长度的电容。3.1 3.1 静电场分析静电场分析解：设单位长度同轴线所带电荷为解：设单位长度同轴线所带电荷为 l l2022/12/2933第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解静电场是由静止电荷产生的，在静电系统建立静电场是由静止电荷产生的，在静电系统建立(或充电或充电)过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力作功。过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力作功。如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所作的总功将全部转换成电场能量，电过程中外加电源所作的总功将全部转

7、换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所作的总功。作的总功。据此思路即也可得到电场能量的计算公式。据此思路即也可得到电场能量的计算公式。3.1 3.1 静电场分析静电场分析4.4.静电场的能量静电场的能量 2022/12/2934第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解体电荷体电荷面电荷面电荷线电荷线电荷3.1 3.1 静电场分析静电场分析带电导体系统带电导体系统每个导体是一个等位体，且每个导体是一个等位体，且只分布在导体的表面上只分布在导体的表面上双导体电容器双导体电容器2022/12/2935第三章第三

8、章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.1 3.1 静电场分析静电场分析因为因为因此因此2022/12/2936第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解源区源区3.1 3.1 静电场分析静电场分析2022/12/2937第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.1 3.1 静电场分析静电场分析电场的总能量：电场的总能量：电场能量密度：电场能量密度：2022/12/2938第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.1 3.1 静电场分析静电场分析例例12 12 试求真空中体电荷密度为试求真空中体电荷密度为 ，半径为，半径为 的

9、介质球的介质球产生的静电能量。产生的静电能量。解法一：解法一：应用高斯定理，得应用高斯定理，得 2022/12/2939第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.1 3.1 静电场分析静电场分析解法二：由微分方程法得电位函数为解法二：由微分方程法得电位函数为2022/12/2940第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.1 3.1 静电场分析静电场分析例例1313 如图所示，一半径为如图所示，一半径为a a、带电量、带电量q q的导体球，其球的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，此两种介质的电导率分别心位于两种介质的分界面上，此两种介质的电导率分别为

10、为1 1 和和2 2，分界面为无限大平面。求：（，分界面为无限大平面。求：（1 1）导体球）导体球的电容；（的电容；（2 2）总的静电能量。总的静电能量。解解：介质分布不对称，采用介质：介质分布不对称，采用介质的真空模型的真空模型,可认为介质球分布可认为介质球分布在分布有极化电荷真空中，因为在分布有极化电荷真空中，因为介质介质1和介质和介质2中无极化电荷。根据球面的边界条件，中无极化电荷。根据球面的边界条件，球面附近的介质球面附近的介质1和介质和介质2分界面上，电场无法向方向。分界面上，电场无法向方向。2022/12/2941第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.1 3

11、.1 静电场分析静电场分析在静电平衡下，总电荷应均匀分布在球面上。因此球在静电平衡下，总电荷应均匀分布在球面上。因此球面上面上 ，。表明电场。表明电场强度沿径向方向，且球面对称称。强度沿径向方向，且球面对称称。因此无极化电荷，可以推知，介质因此无极化电荷，可以推知，介质1和介质和介质2的整个分界面上无极化电荷。的整个分界面上无极化电荷。那么极化电荷只分布在球面上。那么极化电荷只分布在球面上。2022/12/2942第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.1 3.1 静电场分析静电场分析3.2 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析3.3 3.3 恒定磁场

12、分析恒定磁场分析3.4 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理3.5 3.5 镜像法镜像法3.6 3.6 分离变量法分离变量法主要内容主要内容2022/12/2943第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.2 3.2 导体中的恒定电场分析导体中的恒定电场分析 在静电场中的在静电场中的导体导体：若内部无恒定电流，若内部无恒定电流，导体导体表面积累足够的感应表面积累足够的感应电荷电荷，所激发所激发的感应电场抵消原电场，内部总电场为零。的感应电场抵消原电场，内部总电场为零。若内部有恒定电流，若内部有恒定电流，导体导体表面无法积累足够感应电荷，表

13、面无法积累足够感应电荷，所激发所激发的感应电场无法抵消原电场，内部电场不为零，的感应电场无法抵消原电场，内部电场不为零，这种由恒定电流引发的电场称为恒定电场。这种由恒定电流引发的电场称为恒定电场。2022/12/2944第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.2 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 静电场和恒定电场：静电场和恒定电场：q静电场一般指静电场一般指绝缘介质绝缘介质中的静电场；恒定电场是中的静电场；恒定电场是导导体体中的静电场。二者本质相同中的静电场。二者本质相同q媒质对静电场的影响主要通过媒质对静电场的影响主要通过介质介质的极化；媒质对的

14、极化；媒质对恒定电场的影响主要通过电流恒定电场的影响主要通过电流q维持静电场不外加能量；要维持恒定电场，必须维维持静电场不外加能量；要维持恒定电场，必须维持恒定电流，有焦耳损耗。持恒定电流，有焦耳损耗。2022/12/2945第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.2 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 基本方程基本方程1.1.恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件2022/12/2946第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.2 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析恒定电场的边界条件恒定电

15、场的边界条件媒质2媒质1折射定律折射定律2022/12/2947第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.2 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析媒质2媒质1静电位满足的边界条件静电位满足的边界条件2022/12/2948第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.2 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析2.2.恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟 表表2 2 两种场对应物理量两种场对应物理量 表表1 1 两种场所满足的基本方程和重要关系式两种场所满足的基本方程和重要关系式 导电媒质中恒定电场（电源外）导电媒

16、质中恒定电场（电源外）静电场静电场静电场 恒定电场2022/12/2949第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.2 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析恒定电场与无源静电场，对应物理量满足相同形式恒定电场与无源静电场，对应物理量满足相同形式的场方程和边界条件。的场方程和边界条件。如果一个恒定电场问题和一个无源静电场问题具有如果一个恒定电场问题和一个无源静电场问题具有具有同样的边界和边界条件，则它们的解必相同的形式具有同样的边界和边界条件，则它们的解必相同的形式。若求出静电场的解，可以把该解中的物理量用对应的。若求出静电场的解，可以把该解中的物理量用对

17、应的物理量替换，得到恒定电场的解物理量替换，得到恒定电场的解这种求解场的方法称为静电比拟法这种求解场的方法称为静电比拟法2022/12/2950第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解例例1 1 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a a，外，外导体半径为导体半径为c c，介质的分界面半径为，介质的分界面半径为b b。两层介质的介电。两层介质的介电常数为常数为 1 1和和 2 2 ，电导率为，电导率为 1 1 =0=0和和 2 2 =0=0 。设内导体的。设内导体的电压为电压为U U0 0,外导体接地。求：（外导体接地。求：（1 1）两

18、导体之间的电位移）两导体之间的电位移矢量和电场强度分布；（矢量和电场强度分布；（2 2）介质分界面上的自由电荷）介质分界面上的自由电荷面密度。面密度。3.2 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析内导体内导体外导体外导体介质介质1 1介质介质2 22022/12/2951第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.2 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析解：解：2022/12/2952第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.2 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析2022/12/2953第三章第三

19、章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解例例2 2 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a a，外导，外导体半径为体半径为c c，介质的分界面半径为，介质的分界面半径为b b。两层介质的介电常。两层介质的介电常数为数为 1 1和和 2 2 ，电导率为，电导率为 1 1和和 2 2 。设内导体的电压为。设内导体的电压为U U0 0 ，外导体接地。求：（，外导体接地。求：（1 1）两导体之间的电流密度和电场）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（强度分布；（2 2）介质分界面上的自由电荷面密度。）介质分界面上的自由电荷面密度。3.2 3.2 导电媒质

20、中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析内导体内导体外导体外导体介质介质1 1介质介质2 22022/12/2954第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.2 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析解法一：解法一：设单位长的同轴电缆上，由内导体流到外导设单位长的同轴电缆上，由内导体流到外导体的电流为体的电流为 I ，则，则(1(1)(2(2)2022/12/2955第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.2 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析静电场 恒定电场解法二：静电比拟法解法二：静电比拟法2022/12/2

21、956第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.2 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析工程上常在电容器两极板之间，同轴电缆的芯线与外工程上常在电容器两极板之间，同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压因而当在电极间加上电压U U时，必定会有微小的漏电时，必定会有微小的漏电流流J J存在。存在。漏电流与电压之比为漏电导，即漏电流与电压之比为漏电导，即其倒数称为绝缘电阻，

22、即其倒数称为绝缘电阻，即3.3.漏电导漏电导2022/12/2957第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解 (1)(1)假定两电极间的电流假定两电极间的电流为为I；(2)(2)计算两电极间的电流密度计算两电极间的电流密度矢量矢量J J；(3)(3)由由J J=E E 得到得到E E;(4)(4)求比值求比值 ，求出两导体间的电位差。，求出两导体间的电位差。(5)(5)由由，即得出所求电容；，即得出所求电容；计算电导的方法：计算电导的方法：3.2 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析2022/12/2958第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值

23、问题的解3.2 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析例例3 3 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为R R1 1、R R2 2，长度为，长度为 ,中间媒质的电导率为中间媒质的电导率为 ，介电常数为，介电常数为 。2022/12/2959第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.2 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析解：直接用电流场的计算方法解：直接用电流场的计算方法设电导电导绝缘电阻绝缘电阻2022/12/2960第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.1 3.1 静

24、电场分析静电场分析3.2 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析3.4 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理3.5 3.5 镜像法镜像法3.6 3.6 分离变量法分离变量法主要内容主要内容2022/12/2961第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析1.1.恒定磁场基本理论恒定磁场基本理论线电流线电流体电流体电流面电流面电流在电流分布具有某种特殊对称性的情况下，可以利用在电流分布具有某种特殊对称性的情况下，可以利用安培环路定理计算恒定磁场。安

25、培环路定理计算恒定磁场。2022/12/2962第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析例例1 1 试求无限大电流板产生的磁感应强度试求无限大电流板产生的磁感应强度B B解：分析场的分布，取安培环路（与电流成右手螺旋）解：分析场的分布，取安培环路（与电流成右手螺旋）根据对称性根据对称性2022/12/2963第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析例例2 2 有一磁导率为有一磁导率为，半径为，半径为a a的无限长圆柱导体，其轴的无限长圆柱导体，其轴线处有无限长的线电流线处有无限长

26、的线电流I I，圆柱外是空气（，圆柱外是空气（0 0），试求圆），试求圆柱内外的柱内外的B B，H H与与M M 的分布。的分布。解：磁场具有轴对称性，应用安培环路定律，得解：磁场具有轴对称性，应用安培环路定律，得磁场强度磁场强度磁化强度磁化强度磁感应强度磁感应强度2022/12/2964第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析解解 选用圆柱坐标系，选用圆柱坐标系，应用安培环路定律应用安培环路定律,得得例例3 3 试求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。试求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。取安培环路取安培环路 交链的部分交链的部分电

27、流为电流为2022/12/2965第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析应用安培环路定律，得应用安培环路定律，得2022/12/2966第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析2.2.恒定磁场的矢量位恒定磁场的矢量位有源区有源区(矢量泊松方程矢量泊松方程)无源区无源区(矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程)注注:矢量磁位与磁通的关系矢量磁位与磁通的关系(体电流体电流)(面电流面电流)(线电流线电流)在无界媒质中的解为在无界媒质中的解为称为矢量位称为矢量位2022/12/2967第三

28、章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析恒定磁场的边界条件：恒定磁场的边界条件：在不同媒质分界面上在不同媒质分界面上2022/12/2968第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解讨论讨论:(1)(1)如边界面与如边界面与z z轴垂直轴垂直,电流沿电流沿z z轴方向轴方向流动流动,则矢量位只有则矢量位只有z z分量分量,且且3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析(2)(2)如边界面是球面或柱面，电流环流，如边界面是球面或柱面，电流环流，则矢量位只有则矢量位只有 分量分量,且且2022/12/2969第三章第三章 静态场及

29、其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析对于单匝细导线线圈上的电流回路，磁链定义为穿过该对于单匝细导线线圈上的电流回路，磁链定义为穿过该回路的磁通量。回路的磁通量。1 1）磁链）磁链(与导线回路铰链的与导线回路铰链的磁力线条数或磁通量磁力线条数或磁通量):):3.3.电感电感对于粗导线上的电流回路，可以把粗导线看作是由对于粗导线上的电流回路，可以把粗导线看作是由N N根根横截面面积相等的细导线回路横截面面积相等的细导线回路并排并排而成，它的磁链定义而成，它的磁链定义为为这些细导线回路的平均磁通量这些细导线回路的平均磁通量2022/12/2970第三章第三章

30、静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析对某一粗导线，假定可以看作由对某一粗导线，假定可以看作由4 4条细导线并排而成，条细导线并排而成，其磁链为其磁链为2022/12/2971第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析粗导线回路的磁链包含两部分：一部分是粗导线回路的磁链包含两部分：一部分是不穿过导体不穿过导体、与与粗导线粗导线整体铰链的整体铰链的磁通量；另一部分是磁力线穿过导磁通量；另一部分是磁力线穿过导体、只体、只与与粗导线部分粗导线部分铰链铰链的磁通量。的磁通量。表示表示与与 铰链铰链的细

31、导线数目与细导线总数的比值，的细导线数目与细导线总数的比值，也是包围也是包围 的粗导体部分的比例。的粗导体部分的比例。若若N N ，则，则2022/12/2972第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解设回路设回路C C 中的电流为中的电流为I I，所产生的磁场与回路，所产生的磁场与回路C C 交链的磁交链的磁链为链为，则磁链，则磁链 与回路与回路C C 中的电流中的电流I I有正比关系，其比有正比关系，其比值值称为回路称为回路C C的自感系数，简称自感。的自感系数，简称自感。粗导体回路的自感包含内自感粗导体回路的自感包含内自感 与外自感与外自感3.3 3.3 恒定磁场分析恒

32、定磁场分析2 2）自感）自感自感自感感与回路的几何形状、尺寸以及周围磁介质有关。感与回路的几何形状、尺寸以及周围磁介质有关。2022/12/2973第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解对两个彼此邻近的闭合回路对两个彼此邻近的闭合回路C C1 1和回路和回路C C2 2 ，当回路，当回路C1C1中通中通过电流过电流I I1 1时，不仅与回路时，不仅与回路C C1 1交链的磁链与交链的磁链与I I1 1成正比，而且成正比，而且与回路与回路C C2 2交链的磁链交链的磁链 1212也与也与I I1 1成正比，其比例系数成正比，其比例系数称为回路称为回路C C1 1与回路与回路C

33、 C2 2的互感系数，简称互感。的互感系数，简称互感。同理，回路同理，回路C C2 2对回路对回路C C1 1的互感为的互感为3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析3 3）互感）互感2022/12/2974第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解互感的特点：互感的特点：（1 1）互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对）互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围磁介质有关，与电流无关。位置以及周围磁介质有关，与电流无关。（2 2）满足互易关系，即）满足互易关系，即M M1212=M M21213.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析2022/12/2975第三

34、章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析4 4）电感的计算）电感的计算计算自感或互感的一般步骤为：计算自感或互感的一般步骤为：(1)(1)假设回路中的电流为假设回路中的电流为I I；(2)(2)根据根据I I求出磁感应强度求出磁感应强度B B；(3)(3)求出与回路求出与回路铰链铰链的磁链；的磁链；(4)(4)计算比值，求出自感或互感。计算比值，求出自感或互感。2022/12/2976第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析解：总自感解：总自感设安培环路包围部分电流设安培环路包围部分

35、电流 ，则有，则有例例4 4 试求图示长试求图示长l l为的同轴电缆的自感为的同轴电缆的自感 L L。穿过宽度为穿过宽度为 ,长度为长度为l l的矩形面积的的矩形面积的磁力线条数磁力线条数为为(1)(1)内导体的内自感内导体的内自感 2022/12/2977第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析与与这部分这部分磁力线铰链的导体在磁力线铰链的导体在整个导体中整个导体中比重为比重为因此，有因此，有内自感内自感2022/12/2978第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析工程上视同

36、轴电缆外导体为面分布的电流，故忽略此工程上视同轴电缆外导体为面分布的电流，故忽略此部分的内自感部分的内自感 。(2)(2)外导体内自感外导体内自感 2022/12/2979第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析(3)(3)内、外导体间的外自感内、外导体间的外自感 总电感为总电感为2022/12/2980第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析例例5 5 设传输线的长度为设传输线的长度为 ,试求图示两线传输线的自感。试求图示两线传输线的自感。解：总自感解：总自感设设总自感为总自感

37、为内自感内自感2022/12/2981第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析设解法二：解法二：2022/12/2982第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析同理同理5)5)纽曼公式纽曼公式2022/12/2983第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解恒定电流的磁场是由恒定电流产生的。恒定电流的磁场是由恒定电流产生的。在在电流分布从无到有的建立过程电流分布从无到有的建立过程中，各回路中的电流随中，各回路中的电流随时间而变化，它们产生的磁场也随时间而变化，使得

38、与时间而变化，它们产生的磁场也随时间而变化，使得与回路相交链的磁通也随时间而变化回路相交链的磁通也随时间而变化.各回路中必存在感应电动势，并且各回路上的感应电动各回路中必存在感应电动势，并且各回路上的感应电动势又要阻止回路中电流的变化。势又要阻止回路中电流的变化。因此，与各回路相接的因此，与各回路相接的电源要克服感应电动势做功，供给电流系统能量。电源要克服感应电动势做功，供给电流系统能量。假定在恒定电流磁场建立过程中，电源克服感应电动势假定在恒定电流磁场建立过程中，电源克服感应电动势作功所供给的能量，就全部转化成磁场能量。或者说磁作功所供给的能量，就全部转化成磁场能量。或者说磁场能量等于该磁场

39、建立过程中外加电源所作的总功。场能量等于该磁场建立过程中外加电源所作的总功。3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析4.4.磁场的能量磁场的能量2022/12/2984第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解体电流体电流电流回路电流回路3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析2022/12/2985第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解电流回路电流回路C1C1和回路和回路C2C2回路回路C1C1的自有能的自有能回路回路C2C2的自有能的自有能C1C1和和C2C2的互能的互能3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析2022/12/2986第三章第三章 静态场

40、及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析若电流分布在有限空间，密度为若电流分布在有限空间，密度为J J，则，则因此因此2022/12/2987第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解源区源区3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析磁场能量密度：磁场能量密度：磁场的总能量：磁场的总能量：2022/12/2988第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析例例6 6 长度为长度为 ,内外导体半径分别为内外导体半径分别为 R1 R1 与与 R2 R2 的同轴的同轴电缆，通有电流电缆，通有电流

41、 I I，试求电缆储存的磁场能量与自感。，试求电缆储存的磁场能量与自感。解：由安培环路定律，得解：由安培环路定律，得2022/12/2989第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析自感自感磁能为磁能为2022/12/2990第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.1 3.1 静电场分析静电场分析3.2 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析3.4 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理3.5 3.5 镜像法镜像法3.6 3.

42、6 分离变量法分离变量法主要内容主要内容2022/12/2991第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.4 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理1.1.边值问题的类型边值问题的类型泊松方程或拉普拉斯方程和不同的边界条件构成泊松方程或拉普拉斯方程和不同的边界条件构成不同的边值问题：不同的边值问题：边界条件满足第一类边界条件边界条件满足第一类边界条件1 1）第一类边值问题（或狄里赫利问题）第一类边值问题（或狄里赫利问题）边界条件满足第三类边界条件边界条件满足第三类边界条件3 3）第三类边值问题（或混合边值问题）第三类边值问题（或混合边值问题

43、）边界条件满足第二类边界条件边界条件满足第二类边界条件2 2）第二类边值问题（或纽曼问题）第二类边值问题（或纽曼问题）2022/12/2992第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解第一类边值问题第一类边值问题第二类边值问题第二类边值问题第三类边值问题第三类边值问题3.4 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理导体1导体2导体32022/12/2993第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解自然边界条件：自然边界条件：周期边界条件：周期边界条件：衔接边界条件：衔接边界条件：3.4 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态

44、场的边值问题及解的惟一性定理2022/12/2994第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.4 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理在场域在场域V V的边界面的边界面S S上给定上给定 或或 的值，则泊的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域松方程或拉普拉斯方程在场域V V具有唯一值。具有唯一值。2.2.唯一性定理唯一性定理定理表明：定理表明：（1 1）静态场由场方程与）静态场由场方程与0 0阶（或阶（或1 1阶）边界条件决定，阶）边界条件决定，无需同时给出无需同时给出0 0阶和阶和1 1阶边界条件。阶边界条件。（2 2）不管用什么方法去求

45、解，只要最后的解满足场方）不管用什么方法去求解，只要最后的解满足场方程和边界条件，这个解就是静态场的解；程和边界条件，这个解就是静态场的解；2022/12/2995第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.1 3.1 静电场分析静电场分析3.2 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析3.3 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析3.4 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理3.5 3.5 镜像法镜像法3.6 3.6 分离变量法分离变量法主要内容主要内容2022/12/2996第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题

46、的解3.5 3.5 镜像法镜像法若自由电荷若自由电荷附近有导体，附近有导体，导体表面上必有感应电荷导体表面上必有感应电荷分布，导体外任意一点的分布，导体外任意一点的场必场必等于自由电荷等于自由电荷和感应和感应电荷产生的场。电荷产生的场。设法找到一个或若干设法找到一个或若干个等效电荷，个等效电荷，它在求解区域激发它在求解区域激发的的等效电场正好等于感应等效电场正好等于感应电荷激发电荷激发的感应电场。求解的感应电场。求解区域区域的静电场可以的静电场可以认为是原有电荷认为是原有电荷和和等效电荷等效电荷产生产生的场。的场。这种通过等效电荷求解边值问题的方法称为镜像法；等这种通过等效电荷求解边值问题的方

47、法称为镜像法；等效电荷一般位于镜像点，通常称为镜像电荷。效电荷一般位于镜像点，通常称为镜像电荷。2022/12/2997第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解（1 1）镜像电荷必须处于求解区域之外。确保泊松方程的）镜像电荷必须处于求解区域之外。确保泊松方程的电荷分布不改变电荷分布不改变（2 2）边界面上，镜像电荷产生的电位与原有电荷产生的）边界面上，镜像电荷产生的电位与原有电荷产生的电位和满足原来的边界条件。电位和满足原来的边界条件。3.5 3.5 镜像法镜像法在在用镜像法求解时，必须服从两条法则用镜像法求解时，必须服从两条法则:镜像法的局限性：镜像法的局限性：不是对任意情

48、况都存在这样的等效电荷，只有一些特殊不是对任意情况都存在这样的等效电荷，只有一些特殊情况能找到这样的等效电荷。情况能找到这样的等效电荷。2022/12/2998第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解（1 1）点电荷对无限大接地导体平面的镜像）点电荷对无限大接地导体平面的镜像1.1.接地导体平面的镜像法接地导体平面的镜像法3.5 3.5 镜像法镜像法2022/12/2999第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解则镜像电荷的大小和位置则镜像电荷的大小和位置:导体平面的感应电荷密度导体平面的感应电荷密度:设镜像电荷的大小和位置设镜像电荷的大小和位置:导体平面的

49、感应电荷导体平面的感应电荷:3.5 3.5 镜像法镜像法2022/12/29100第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解3.5 3.5 镜像法镜像法例例1 1：真空中，电量为的点电荷位于点真空中，电量为的点电荷位于点 处，处，平面是一个无限大的接地导体板。（平面是一个无限大的接地导体板。（1 1）求）求z z轴上电位轴上电位为为 的点的坐标；（的点的坐标；（2 2）计算该点的电场强度。）计算该点的电场强度。解解:(1):(1)根据镜像法可知上半空间的电位根据镜像法可知上半空间的电位 (2)(2)z z轴上的电场强度轴上的电场强度 z1:z1:z1:z1:2022/12/29

50、101第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解（2 2）线电荷对无限大接地导体平面的镜像）线电荷对无限大接地导体平面的镜像3.5 3.5 镜像法镜像法2022/12/29102第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解设镜像电荷的大小和位置设镜像电荷的大小和位置:导体平面的感应电荷密度导体平面的感应电荷密度:则镜像电荷的大小和位置则镜像电荷的大小和位置:3.5 3.5 镜像法镜像法例题：例题：p135p135，例，例3.5.23.5.22022/12/29103第三章第三章 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解（3 3）点电荷对相交导体平面的镜像）点电