控制系统数学模型.pptx

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1、目录目录2.1 控制系统的微分方程2.2 控制系统的传递函数2.3 动态结构图第1页/共100页自动控制理论以自动控制系统为研究对象，无论是对控制系统进行分析还是对校正装置进行综合，都需要建立控制系统的数学模型。所谓数学模型是指能够描述系统变量之间关系的数学表达式。工程系统一般都是动态系统，时域内连续时间集中参数系统的数学模型是反映系统输入量和输出量之间关系的微分方程。第2页/共100页以数学模型为依据控制系统可以被分类为连续系统和离散（时间）系统、线性系统和非线性系统、定常系统和时变系统等。控制系统的数学模型不是惟一的，根据不同的建模目的可以建立不同的数学模型，即使对于相同的建模目的也可以建

2、立不同形式的数学模型，对于工程上常见的线性定常连续系统，常用的数学模型有微分方程和传递函数等。第3页/共100页2.1 控制系统的微分方程控制系统的微分方程建立系统微分方程的一般步骤建立控制系统数学模型有解析法和实验法两种 实验法：通过实验对系统在已知输入信号作用下的输出响应数据进行测量，利用模型辨识方法，来建实验法：通过实验对系统在已知输入信号作用下的输出响应数据进行测量，利用模型辨识方法，来建立反映输入量和输出量之间关系的数学方程。立反映输入量和输出量之间关系的数学方程。解析法：通过分析控制系统的工作原理，利用系统各组成部分所遵循的物理学基本定律来建立变量之解析法：通过分析控制系统的工作原

3、理，利用系统各组成部分所遵循的物理学基本定律来建立变量之间的关系式。间的关系式。第4页/共100页用解析法建立控制系统微分方程的一般步骤：1)确定系统的输入量和输出量；2)根据各环节在系统中的工作要求及其所遵循的基本客观规律，分别列写出相应的微分方程，并构成微分方程组；3)消除中间变量，并将方程标准化。第5页/共100页例2.1 确定下图中RCL电路的微分方程。第6页/共100页解：(1)确定输入和输出量(2)建立微分方程(3)消除中间变量，使方程标准化，得到这是一个二阶常系数线性微分方程。第7页/共100页例2.2 确定力学系统的微分方程第8页/共100页(1)确定输入量和输出量(2)创建微

4、分方程组：根据牛二定律得到其中第9页/共100页(3)消除中间变量得到，使方程标准化。该机械模型也是一个二阶常系数线性微分方程。第10页/共100页两个例题属于不同类型系统，但可具有形式相同的数学模型，这些具有形式相同数学模型的相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系，当这些相似系统中相似的参数取同样的数值、输入变量具有相同的函数形式时，这两个系统输出量的变化规律是相同的。我们将此类系统称为相似系统。因此，利用相似系统的概念，可以用一个易于实现的系统来研究与其相似的复杂系统。相似系统的理论也是控制系统仿真研究法的依据。第11页/共100页练习1：如图所示由质量、弹簧和阻尼器构成得机械位移系统。

5、其中m为物体的质量，k为弹簧的弹性系数，f为阻尼器的阻尼系数。要求确定外力F(t)为输入量，位移y(t)为输出量时，系统的数学模型。质量-弹簧-阻尼器系统m第12页/共100页解：根据牛顿第二定律，可以写出物体的受力平衡方程为消去中间变量并将所得方程整理成标准形式，有第13页/共100页2.2 控制系统的传递函数控制系统的传递函数传递函数是线性定常连续系统最重要的数学模型之一，是数学模型在复频域内的表示形式。利用传递函数，不必求解微分方程就可以求取初始条件为零的系统在任意形式输入信号作用下的的输出响应，还可以研究结构和参数的变化对控制系统性能的影响。经典控制理论的主要研究方法根轨迹分析法和频域

6、分析法都是建立在传递函数基础上的。第14页/共100页传递函数的定义传递函数定义为：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。控制系统最基本的数学模型是时域内的微分方程，n阶系统微分方程的一般形式为第15页/共100页得到第16页/共100页例2.4 求解例2.1中RLC网络的传递函数。解：微分方程为：对其进行拉氏变化，得到：则传递函数为：第17页/共100页传递函数描述了系统把输入转换为输出的传递关系。传递函数和微分方程可以相互转换。第18页/共100页练习2 将例2.2中的微分方程转换成传递函数的形式。第19页/共100页解：对其进行拉氏变化，得到：则传递函数为：第20页/

7、共100页练习3已知控制系统的微分方程为求出控制系统的传递函数。第21页/共100页解：在零初始条件下，对微分方程式两边同时进行拉氏变换，可求得v故控制系统的传递函数故控制系统的传递函数：第22页/共100页传递函数的性质传递函数的性质1)传递函数是复变量s的有理真分式，只适用于线性定常系统。2)传递函数不能反映系统内部的中间变量。3)传递函数描述系统的内部固有动态特性。4)传递函数不能反映系统的物理性质。5)传递函数的分母部分决定着系统的暂态响应的基本特点和动态本质。第23页/共100页6)传递函数可用零-极点的方式进行表示。是传递函数的零点，也称环节或系统的零点 是传递函数的极点，也称环节

8、或系统的极点 第24页/共100页典型环节的传递函数典型环节的传递函数自动控制系统是由一些元件或装置组合而成的，这些有着不同物理结构和作用原理的元件装置却可能具有相同的传递函数，也就具有了相同的动态性能。从方便研究控制系统动态性能的角度考虑，我们可以按照传递函数的形式去划分环节。线性定常系统中的典型环节有比例环节、积分环节、惯性环节、二阶振荡环节、微分环节和延迟环节等。第25页/共100页1.比例环节比例环节的输出量与输入量成一定比例，时域中的的数学模型是一个代数方程比例环节的传递函数比例环节应用广泛，实际中线性电位器，旋转变压器等都可以近似地认为是比例环节。比例环节不失真，输出信号成正比的复

9、现输入信号。第26页/共100页2.惯性环节一阶惯性环节的输出量和输入量之间的关系为一阶惯性环节的传递函数为T为惯性环节的时间常数 第27页/共100页惯性环节的特点是具有一个储能元件，输出信号不能瞬时完成与输入信号完全一致的变换。在单位阶跃输入信号，输出信号将按照指数曲线上升。惯性环节的阶跃响应是单调上升的是非周期过程，因而也称惯性环节为非周期环节。第28页/共100页3.积分环节积分环节的输出量是输入量的积分。时域中输出量和输入量之间的关系表示为积分环节的传递函数 为积分时间常数。第29页/共100页在单位阶跃输入信号，输出信号如图所示：积分环节的输出量与输入量的积分成正比，当输入突变时，

10、输入要延迟 时间后才等于输入；若输入为零，输出将保持输入变成零时刻的值不变。第30页/共100页4.微分环节纯微分环节的微分方程为纯微分环节的传递函数为 是微分时间常数。第31页/共100页当输入量为单位阶跃响应时，理想的纯微分环节是当 时，其微分环节输出为一个面积为 ，幅值为无穷大，宽度为零的理想脉冲。纯微分环节在实际中是得不到的，因为在实际系统或元件中惯性是普遍存在的，所以实际的微分环节常带有惯性。其传递函数为第32页/共100页实用的一阶微分环节的单位阶跃响应为纯微分环节是输出与输入信号对时间的响应成正比，反映了输入信号的变化率。第33页/共100页5.振荡环节振荡环节的输出量与输入量之

11、间的关系为 振荡环节的传递函数-阻尼系数或阻尼比；T-时间常数 为无阻尼自然振荡频率第34页/共100页当输入量为单位阶跃响应时，振荡环节的输出响应具有振荡的特点，因 阻尼系数的不同，而具有不同的振荡形式。例2.1中的RLC网络，以及直流电机等例子均为振荡环节的例子。第35页/共100页6.纯滞后环节延迟环节的输出量在经过延迟时间后复现输入量，其动态方程为纯滞后环节的传递函数为 是滞后时间常数。第36页/共100页输入为阶跃响应时，纯滞后环节的响应曲线如图纯滞后环节的输出在延迟了 时间后，与输入具有相同的波形。第37页/共100页2.3 动态结构图动态结构图结构图是动态系统结构图的简称，也称方

12、框图等。结构图利用方框、信号线、信号的相加点和信号的分支点等符号直观地反映控制系统的组成、控制系统各组成部分之间的连接关系以及系统中信号的传递方向和运算关系等。通过结构图的简化，可以获得系统的传递函数，也可以求取系统在任意输入信号作用下的输出响应。第38页/共100页动态结构图的组成与建立(1)基本图形符号信号流线：带箭头的有向线段，箭头方向表示信号的传递方向。方框图：表示环节输入与输出之间信号传递关系。第39页/共100页分支点：把一个信号分成多路进行输出。相加点：进行两个或多个信号的代数和运算。第40页/共100页(2)系统动态结构图建立的步骤利用系统各组成部分的微分方程得到，步骤一般为：

13、1)列写控制系统各组成部分的微分方程，零初始条件进行拉氏变换，写出表示各环节输出量与输入量之间关系的方程式。输出量写在等式左边，输入量写在等式的右边。输入量要在至少一个方程的右边出现，除输入量外，在某方程右边出现的中间变量，一定要在另外方程的左边出现。第41页/共100页2)根据上述关系绘制结构图的基本单元。3)将各结构图基本单元相同的信号线连接起来，即可获得控制系统的结构图。需要注意的是：结构图是数学模型的图形化表示，只反映信号的传递和运算关系，并不代表真实系统物理结构。建模过程中，中间变量选择不同，将导致系统有不同的结构图，但由结构图简化得到的系统输入量输出量之间的关系是相同的。第42页/

14、共100页例2.5 绘制下图所示系统的动态结构图。解：每一个元件代表一个环节，建立各关节的方框图：对于电阻第43页/共100页对于电容对于电感对于电阻得到动态结构图为：第44页/共100页练习4 绘制出电气网络的结构图。第45页/共100页引入中间变量利用运算电路和运算阻抗的概念，从输入量开始列写各变量拉氏变换像函数之间的关系式第46页/共100页绘制各关系式对应的结构图，并将相同的信号线连接起来可得两级RC滤波网络串联电路的结构图。图中用虚线框框起来的部分是式中与各关系式对应的结构图。第47页/共100页动态结构图等效变换结构图清楚地反映了控制系统中各变量之间的关系，利用结构图求其系统传递函

15、数时，总是要对结构图进行简化，简化到一个输入量和一个输出量之间只剩一个函数方框时，方框里的传递函数就是对应输入量和输出量之间的传递函数。结构图的简化应遵循等效原则，即变换前后各变量之间的数学关系保持不变。结构图等效变换的数学实质是在结构图上进行运算，消去中间变量。简化的过程表现为结构图上是环节的合并以及信号相加点和信号分支点的消除。第48页/共100页1.多个环节串联结构图中几个环节按照信号流向首尾相连，前一环节的输出作为后一环节的输入，这种连接方式称为串联连接。由于所以，串联连接的环节合并成为一个环节，等效的传递函数为第49页/共100页此结论可以推广到n个环节串联的情况，等效环节的传递函数

16、为各串联环节传递函数的乘积。第50页/共100页2.多个环节并联当两个或多个环节具有相同的输入量，而总输出量为各环节输出量的代数和时，称环节为并联连接。因为：所以：第51页/共100页由此可见，两个环节并联的等效传递函数等于两个环节传递函数的代数和。此结论可推广到n个环节的并联，即n个环节并联后的等效传递函数为并联各环节传递函数的代数和。第52页/共100页3.反馈连接将环节的输出量反送到输入端与输入信号进行比较后作为环节的输入量，就构成了反馈连接。环节反馈连接后，信号的传递形成了闭合回路。第53页/共100页通常把信号输入点R(s)到信号输出点C(s)的通道称为前向通道，前向通道上所有环节的

17、传递函数之积定义为前向通道传递函数；把输出信号C(s)到反馈信号B(s)的通道称为反馈通道，反馈通道上所有环节的传递函数之积定义为反馈通道传递函数。把偏差信号E(s)到输出信号C(s)再经反馈信号B(s)到偏差信号E(s)的封闭通道称为回路，回路上所有环节的传递函数之积定义为回路传递函数。第54页/共100页负反馈是自动控制系统最基本的结构形式，当反馈极性为负时，偏差信号等于输入信号与反馈信号之差，有整理可得系统反馈后的闭环传递函数GB(s)为同理可得，正反馈时系统的闭环传递函数GB(s)为第55页/共100页4.相加点和分支点的变换几乎所有系统的结构图中，都会存在有信号的相加点和分支点，这就

18、使得结构图中环节之间不完全符合上述三种连接方式，甚至出现环路相扣的情况，导致无法利用上述等价关系来实现结构图的简化。通过信号相加点、分支点的移动和互换可以使得环节之间具有典型的串联、并联和反馈连接形式，最终将结构图简化为一个输入量和一个输出量之间只有一个传递函数方框的形式，获得系统的传递函数。信号相加点、分支点的移动和互换也必须遵循等效原则。第56页/共100页1)信号相加点的移动相加点前移 相加点后移第57页/共100页2)信号分支点的移动分支点前移分支点后移第58页/共100页3)相邻的信号相加点和相邻的信号分支点的位置交换相邻分支点间移动相邻相加点间移动第59页/共100页相加点与分支点

19、间的移动相加点与分支点间的移动第60页/共100页结构图简化的关键是解除环路、消除信号的相加点和分支点，因此，在结构图简化过程中首先要设法使交叉环路分开，或形成大环套小环的形式。由于结构图上相邻的分支点可以彼此交换，相邻的信号相加点也可以彼此交换，而当分支点与相加点相邻时，它们的位置是不能作简单交换的，因而解除交叉环路最有效的方法是相加点朝着有相加点的方向移动，分支点朝着有分支点的方向移动，然后将相邻的相加点或相邻的分支点交换位置，即可将交叉环路解开。第61页/共100页由此可见，结构图变换前后所满足的等效变换原则，可简单总结为以下两点：前向传递函数不变；回路传递函数不变。第62页/共100页

20、例2.6 求解下图的传递函数 解：第63页/共100页第64页/共100页例2.7 具有针对给定补偿的控制系统结构图如图所示，Y(s)/R(s)。第65页/共100页解：(1)相加点a后移与b点互换，并将串联环节合并(2)分别合并并联连接的环节和反馈连接的环节(3)合并串联连接的环节，过程如下图第66页/共100页第67页/共100页练习5：具有多反馈回路的系统结构图如图所示，试利用等效变换的方法简化结构图，求取系统的传递函数Y(s)/R(s)。第68页/共100页解：结构图具有多重反馈连接，反馈连接不存在交叉现象，可采用由内而外的办法，逐级合并反馈连接的环节。(1)内环正反馈连接环节合并如下

21、图所示 第69页/共100页(2)串联连接环节合并如下图所示 第70页/共100页(3)并联连接环节合并如下图所示（4）反馈连接环节合并如下图所示 第71页/共100页第72页/共100页5.梅逊公式对于复杂的控制系统往往含有多个相互交叉的回路，对于这样的系统可利用梅逊公式求解系统的传递函数，而无须进行结构图等效变换。梅森增益公式第73页/共100页n：从输入节点到输出节点前向通道的个数 ：从输入节点到输出节点的第k条前向通道的各环节传递函数乘积 ：特征式，计算公式为：所有回路增益之和 ：所有两两互不接触回路的增益乘积之和 ：所有三个互不接触回路的增益乘积之和 ：第k条前向通道的的特征余子式，

22、即除去与第k条前向通道相接触回路后的特征式第74页/共100页例2.7 通过梅逊公式求解传递函数。解：如图所示，系统有两条前向通道和一个闭环回路。则：回路有：前向通道有：第75页/共100页根据梅逊公式，则有第76页/共100页例2.8 通过梅逊公式求解传递函数。解：系统有5个闭环回路：第77页/共100页系统没有两两不接触的回路，因此四条前向通道：根据梅逊公式得到第78页/共100页练习6：通过梅逊公式求解传递函数。第79页/共100页解：系统有2个闭环回路：系统没有两两不接触的回路，因此两条前向通道：第80页/共100页根据梅逊公式得到第81页/共100页反馈控制系统的传递函数在实际控制中

23、，控制系统通常受到两种信号的影响：1)输入信号，2)扰动信号第82页/共100页(1)开环传递函数定义：系统反馈信号与误差信号之比，即：第83页/共100页(2)闭环传递函数1)输入信号作用下的闭环传递函数定义：输入信号与输出信号的比值，即2)扰动信号作用下的闭环传递函数定义：扰动信号与输出信号的比值，即第84页/共100页3)系统的总输出传递函数定义：同时受到输入信号和扰动信号作用时的传递函数。由叠加原理可知，系统的输出是两种信号单独作用时系统的输出之和。第85页/共100页(3)系统的误差传递函数1)输入信号作用下的误差传递函数定义：误差信号与输入信号的比值，即2)扰动信号作用下的误差传递

24、函数定义：误差信号与扰动信号的比值，即第86页/共100页3)系统总误差定义：同时受到输入信号和扰动信号作用时的误差。由叠加原理可知，系统的输出是两种信号单独作用时系统的误差之和。第87页/共100页补充内容：信号流图补充内容：信号流图信号流图是一种表示线性代数方程组的图示方法。用来描述线性控制系统时，信号流图和结构图一样，它也是一种描述系统各部分之间信号传递关系的数学图示模型，具有直观形象的特点。但信号流图又与结构图不同，它只能用来描述线性系统。结构图通过等价变换可以得到控制系统的闭环传递函数，但对于复杂控制系统，结构图的简化过程是一件很复杂的事，甚至会出现找不到有效办法可以解除的交叉环路。

25、对于信号流图，可以利用梅逊（Mason）公式直接求取系统输入输出变量之间的传递函数而不必对信号流图进行简化。第88页/共100页信号流图的概念 信号流图是由节点和支路两种基本元素组成的信号传递网络。其中，节点代表信号或变量用符号“o”表示，节点之间用有向线段连接，称为支路，支路具有有向性和有权性。信号流图的基本单元与结构图中的函数框等价，如图所示，它们表示了同样的变量变换关系，即 第89页/共100页1.节点的类型1)输入节点：只有输出支路的节点，代表自变量或外部输入变量，也称源节点，如图中的节点X02)输出节点：只有输入支路的节点，代表被控量或输出变量，也称汇节点，如图中的X6。第90页/共

26、100页3)混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点，代表中间变量，如图中的节点X1 X5。混合节点兼有结构图中信号相加点和信号分支点的功能。混合节点处的信号是所有输入支路信号的和，而由混合节点引出的所有信号是同一个信号。任何一个混合节点都可以通过增加一条单位传输的输出支路，而变成输出节点如图中的节点X6。第91页/共100页2.通道及通道传输1)通道：从一个节点出发沿着支路箭头方向通过各个相连支路到达另外一个节点的路径，通道经过各支路传输的乘积称为通道的传输或增益。2)前向通道：从源节点到汇节点、且每个节点只经过一次的通道，前向通道上各支路传输的乘积称为前向通道传输或增益。第92页/共100

27、页3.回路及回路增益1)回路：起点和终点为同一个节点、且每个节点只经过一次的通道，也称回环或反馈环，回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回路增益。2)不接触回路：没有任何公共节点的回路。第93页/共100页信号流图的绘制 信号流图可以由结构图绘制，也可以由系统的微分方程绘制。从结构图绘制信号流图时，可把结构图中的变量和函数方框分别对应为信号流图中的节点和支路，传递函数就是支路的传输。一般应先确定节点，对应输入变量设一个输入节点，对应输出变量设一个输出节点，然后在结构图的每个分支点处和每个相加点之后各设一个节点，按照与结构图上的位置相对应的原则排列；再根据变量之间的关系把连接节点的支路画出来。第

28、94页/共100页 由系统的微分方程式绘制信号流图时，首先经拉氏变换将微分方程化成s域中的代数方程，再给每个变量指定一个节点，并按照系统中变量的因果关系，从左向右按顺序排列，最后根据数学表达式用标明了方向和增益的支路将各个节点连接起来，系统的信号流图就绘制完成了。画出系统的信号流图后，就可以利用梅逊公式直接求出各变量之间的传递函数。第95页/共100页例2.9根据结构图绘制系统的信号流图 第96页/共100页例2.10控制系统信号流图如图所示，输入节点R代表系统的输入量R(s)，输出节点Y代表系统的输出量Y(s)，试用梅森公式计算R(s)与Y(s)之间的传递函数G(s)第97页/共100页解：输入节点R和输出节点Y之间只有一条前向通道，前向通道的增益为 信号流图中有四个回路，这些回路的增益分别为其中L1和L3是不接触回路，不接触回路增益的乘积为第98页/共100页特征式为没有与前向通道不接触的回路，所以对于这条前向通道，特征式的余子式为系统闭环传递函数为第99页/共100页西华大学电气信息学院感谢您的观看。第100页/共100页