线性代数行列式课件.ppt

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1、线性代数行列式第1页，此课件共29页哦例例证明证明P14-10P14-10方法：方法：对角计算对角计算第2页，此课件共29页哦例例计算行列式计算行列式分析：分析：解：解：由上列，知由上列，知D=2=20同理，同理，D1=D=2=20思路：高阶降为低阶思路：高阶降为低阶第3页，此课件共29页哦例如例如一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式第六节 行列式按行按列展开第4页，此课件共29页哦在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子

2、式代数余子式例如例如注意：注意：Mij与与Aij及及aij的关系是什么？的关系是什么？（1）符号；（）符号；（2）下标）下标第5页，此课件共29页哦第6页，此课件共29页哦引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 例如例如第7页，此课件共29页哦证证当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,即有即有又又从而从而在证一般情形在证一般情形,此时此时第8页，此课件共29页哦得得第9页，此课件共29页哦得得第10页，此课件共29页哦第11页，此课件

3、共29页哦中的余子式中的余子式第12页，此课件共29页哦故得故得于是有于是有第13页，此课件共29页哦定理定理 （LaplaceLaplace展开定理、降阶定理展开定理、降阶定理）：）：行列式等于它的任一行（列）的行列式等于它的任一行（列）的各元素各元素与其对应的与其对应的代数余子式代数余子式乘积之和，即乘积之和，即证证二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则第14页，此课件共29页哦第15页，此课件共29页哦例例1P18P18第16页，此课件共29页哦 证证用数学归纳法用数学归纳法例例2证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式P18-12P18-12第1

4、7页，此课件共29页哦对对Dn降阶：后行减前行的降阶：后行减前行的x1倍，倍，即即 ri x1 ri1第18页，此课件共29页哦 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式第19页，此课件共29页哦推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即素的代数余子式乘积之和等于零，即证证问题：问题：定理定理3中，如果中，如果aij不是与其对应代数余子式不是与其对应代数余子式 Aij的乘积呢的乘积呢？第20页，此课件共29页哦同理同理相同相同第21页，此课件共29页哦关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质第22

5、页，此课件共29页哦例例3 计算行列式计算行列式解解第23页，此课件共29页哦第24页，此课件共29页哦考虑：考虑：分析：分析：同理同理第25页，此课件共29页哦例例4P21-13P21-13D的（的（i,j）元的余子式和代数余）元的余子式和代数余子式记为子式记为Mij与与Aij，求，求:解：解：-2 2 0 21 -1 0 0=4第26页，此课件共29页哦0 -1 0 0=0说明：此例利用了余子式与说明：此例利用了余子式与aij的值无关，而只与下标有关。的值无关，而只与下标有关。第27页，此课件共29页哦 1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具计算化为低阶行列式计算的重要工具.三、小结第28页，此课件共29页哦 3.常见行列式类型及计算常见行列式类型及计算 （1）对角形）对角形 （2）三角型（上、下）三角型（上、下）（3）行（列）和为常数）行（列）和为常数 （4）分块对角型）分块对角型 （5）正负对角型）正负对角型 （6）范德蒙型）范德蒙型第29页，此课件共29页哦