线性代数课件-行列式按行列展开.ppt

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1、第三节 行列式按行（列）展开 现在我们来介绍把高阶行列式化成较低阶行列现在我们来介绍把高阶行列式化成较低阶行列式的计算方法重点介绍式的计算方法重点介绍n阶行列式化成阶行列式化成n一一1阶阶行列式的方法，即按一行行列式的方法，即按一行(列列)展开行列式展开行列式例如例如一、余子式与代数余子式在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素

2、除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 例如例如证证当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,即有即有又又从而从而在证一般情形在证一般情形,此时此时得得得得中的余子式中的余子式故得故得于是有于是有定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即素与其对应的代数余子式乘积之和，即证证二、行列式按行（列）展开法则例例1 证证用数学归纳法用数学归纳法例例2证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证证同理同理相同相同关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质例例 计算行列式计算行列式解解按第一行展开，得按第一行展开，得 1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.三、小结