人教A版高中数学必修二4.1.2圆的一般方程课件.ppt

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1、4.1.2 圆的一般方程（1）圆的标准方程圆的标准方程xyOCM(x,y)圆心圆心C(a,b),),半径半径r特况：若圆心为特况：若圆心为O（0，0），），则圆的方程为则圆的方程为：标准方程标准方程温故知新想一想，若把圆的标准方程想一想，若把圆的标准方程展开后，会得出怎样的形式？展开后，会得出怎样的形式？导入新课结论：结论：任何一个圆方程可以写成下面形式任何一个圆方程可以写成下面形式：x2 y 2DxEyF0思考：是不是任何一个形如是不是任何一个形如 x2 y 2DxEyF0 方程都表方程都表 示的曲线是圆呢？示的曲线是圆呢？（1）当）当 时，时，此方程表示此方程表示圆圆，（2）当）当 时，时

2、，此方程表示此方程表示点点（3）当）当 时，时，此方程不此方程不表示任何图形表示任何图形所以形如所以形如 （D2+E2-4F0）可表示圆的方程可表示圆的方程探究新知定义定义:圆的一般方程圆的一般方程x2 y 2DxEyF0（D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0）2.圆的圆的一般方程一般方程与与标准方程标准方程的关系：的关系：（1）a=-D/2，b=-E/2，r=（2）标准方程标准方程易于看出易于看出圆心圆心与与半径半径 一般方程一般方程突出突出了方程形式上形式上的特点的特点 例例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径

3、。如果是，请求出圆的圆心及半径。注：让学生自己分析探求解决途径：注：让学生自己分析探求解决途径：、用配、用配方法将其变形化成圆的标准形式。方法将其变形化成圆的标准形式。、运用圆的一、运用圆的一般方程的判断方法求解。般方程的判断方法求解。典例精析思考：什么时候可以表示什么时候可以表示圆圆?1、A C 0 2、B=03、D2E24AF0 二元二次方程二元二次方程表示圆的一般方程表示圆的一般方程结论：例例2：求过三点：求过三点O（0，0），），M1（1，1），），M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。解：设所求的圆的方程为：即圆心坐标为（4

4、，-3）,r=5 O（0，0），M1（1，1），M2（4，2)在圆上小结：小结：1.用待定系数法用待定系数法求圆的方程的步骤：求圆的方程的步骤：（）（）设圆方程设圆方程-根据题意设出所求圆的方程为标准式或一般式。根据题意设出所求圆的方程为标准式或一般式。（）（）列方程组列方程组-根据条件列出关于根据条件列出关于a，b，r 或或 D，E，F 的方程。的方程。（）（）求系数求系数-解方程组，求出解方程组，求出a，b，r 或或 D，E，F 的值，代入方的值，代入方 程，就得到要求的方程程，就得到要求的方程（4）小结小结.2.求圆的方程时求圆的方程时,要学会根据题目条件要学会根据题目条件,恰当选择圆的

5、方程形式恰当选择圆的方程形式:若知道或涉及圆心和半径若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单我们一般采用圆的标准方程较简单.若已知三点求圆的方程若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系我们常常采用圆的一般方程用待定系 数法求解数法求解.(特殊情况时特殊情况时,可借助图象求解更简单可借助图象求解更简单)巩固练习4-6-3（3）方程）方程x2+2xy+y2+x+y2=0表示的曲线（表示的曲线（）（A）两条相交直线）两条相交直线 （B）两条平行直线）两条平行直线 （C）不是圆也不是直线）不是圆也不是直线 （D）圆）圆B1.1.任何一个圆的方程都可以写任何一个圆的方程都可以

6、写X X2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的的 形式，但是方程形式，但是方程X X2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0的曲线不一定是圆，的曲线不一定是圆，只有在只有在D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0时，方程表示圆时，方程表示圆 ，半径半径 为为 的圆。的圆。小结：2.求圆的方程常用方法及解题步骤：求圆的方程常用方法及解题步骤：几何方法几何方法 求圆心坐标求圆心坐标 （两条直线的交点两条直线的交点）（常用弦的（常用弦的中垂线中垂线）求半径求半径 （圆心到圆上一点的距离圆心到圆上一点的距离）写出圆的标准方程写出圆的标准方程待定系数法待定系

7、数法列关于列关于a a，b b，r r（或（或D D，E E，F F）的方程组的方程组解出解出a a，b b，r r（或（或D D，E E，F F），），写出标准方程（或一般方程）写出标准方程（或一般方程）解法解法1：（待定系数法）设所求：（待定系数法）设所求圆的方程为圆的方程为：依题意，有依题意，有故所求故所求圆的方程为圆的方程为3.已知圆已知圆C的圆心在直线的圆心在直线 上，并上，并且经过原点和点且经过原点和点A（2，1），求圆的标准方程。），求圆的标准方程。圆心：两条直线的交点圆心：两条直线的交点半径：圆心到圆上一点半径：圆心到圆上一点xyOCA(2,1),1)解法解法2：（几何法）（几

8、何法）设设OA的中垂线的斜率为的中垂线的斜率为k由中点公式，由中点公式，OA中点为中点为OA 中垂线中垂线方程为中垂线中垂线方程为联立两条直线方程联立两条直线方程所求所求圆的方程为圆的方程为4.1.2 圆的一般方程（2）求轨迹方程问题一一.求轨迹方程问题：求轨迹方程问题：xyaP(x,y)P(x,y)是直线是直线a a上任意一点上任意一点点点P的坐标的坐标(x,y)满足的关系式满足的关系式CM(x,y)M(x,y)是圆是圆C C上任意一点上任意一点点点M的坐标的坐标(x,y)满足的关系式满足的关系式求轨迹方程即为求出曲线上一动点坐标求轨迹方程即为求出曲线上一动点坐标x，y所满足的关系所满足的关

9、系.例例1 1 已知线段已知线段ABAB的端点的端点B B的坐标是（的坐标是（4 4，3 3）,端点端点A A在圆在圆(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=4=4上运动，求线段上运动，求线段ABAB的的中点中点M M的轨迹方程的轨迹方程.yABMxo解决办法：主被动点法解决办法：主被动点法 解解.设设M的坐标为的坐标为(x,y)A的坐标为的坐标为(x0,y0)因为因为M M是是ABAB的中点的中点即即又点又点A A在圆在圆上上代入得代入得即即主动点主动点被动点被动点观看动画观看动画设主动点为设主动点为(x0,y0)被动点为被动点为(x,y)所以所以M M的轨迹是以点的轨迹是以点 为圆心，为

10、圆心，1 1为半径的圆为半径的圆x0=f(x),y0=g(y)代入主动点方程代入主动点方程整理得轨迹方程整理得轨迹方程主被动点法主被动点法 1.1.如图，已知点如图，已知点P P是圆是圆x x2 2+y+y2 2=16=16上的一个动点，上的一个动点，点点A A是是x x轴上的定点，坐标为轴上的定点，坐标为A A（1212，0 0），当点），当点P P在在圆上运动时，线段圆上运动时，线段PAPA的中点的中点M M的轨迹是什么？的轨迹是什么？P M A xoy练习练习例例2 2：已知点已知点M与两定点与两定点O(0,0)、P(3,0)的距的距 离的比为离的比为1/2，求点，求点M的轨迹方程。的轨

11、迹方程。解决办法：直译法解决办法：直译法yx.O.（-1，0）A(3,0)M(x,y)练习练习1.长为长为2a的线段的线段AB的两个端点的两个端点A和和B分别在分别在x轴和轴和y轴上滑动，求线段轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程的中点的轨迹方程关键关键:找到几何关系找到几何关系依题意有依题意有 几何关系几何关系法法xyBP(x,y)OAAB中点轨迹为以原点为圆心，中点轨迹为以原点为圆心，a为半径的圆为半径的圆 解：设点解：设点AB中点为中点为P（x，y）练习练习2.已知已知P(2,0),Q(8,0)，点，点M到点到点P的距离是它到点的距离是它到点Q的的 距离的距离的1/5，求，求M的轨迹方程

12、。的轨迹方程。（并求轨迹上的点（并求轨迹上的点 到直线到直线l:8x-y-1=0的最小距离）的最小距离）练习练习3.已知圆的一条直径的两端点分别是已知圆的一条直径的两端点分别是关键关键:找到几何关系找到几何关系解：设点解：设点M（x，y）为圆上任意一点）为圆上任意一点 圆的方程即圆的方程即M的轨迹方程的轨迹方程几何关系几何关系法法求证此圆的方程是求证此圆的方程是 例例3 3 已知点已知点P P（5 5，3 3），点），点M M在圆在圆x x2 2+y+y2 2-4x+2y+4=0-4x+2y+4=0 上运动，求上运动，求|PM|PM|的最大值和最小值的最大值和最小值.yCPMxoA AB B1

13、.若实数若实数x,y满足等式满足等式(x-2)2+y2=3，那么，那么 的最大值的最大值3.已知已知P(x,y)为圆为圆x2+y2-6x-4y+12=0上的点上的点 (1)求求 的最小值的最小值 (2)求求x2+y2的最大值与最小值的最大值与最小值4.已知圆已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问：是否存在斜率为问：是否存在斜率为1的的 直线使直线使l被圆被圆C截得得弦截得得弦AB为直径的圆过原点，若存为直径的圆过原点，若存 在，写出直线方程。在，写出直线方程。练一练1.求轨迹方程思想：求出动点坐标求轨迹方程思想：求出动点坐标x，y所满足的关系所满足的关系.主被动点法主被动点法设主动点为设主动点为(x0,y0)从动点为从动点为(x,y)根据主、从动点的关系根据主、从动点的关系得得x0=f(x),y0=g(y)代入主动点方程代入主动点方程整理得轨迹方程整理得轨迹方程几何关系法几何关系法设动点的坐标为为设动点的坐标为为(x,y)找到几何关系找到几何关系用方程表示几何关系用方程表示几何关系整理得轨迹方程整理得轨迹方程 2.求轨迹方程方法：求轨迹方程方法：课堂小结