【精品】学案6 函数、基本初等函数的图像与性质精品ppt课件.ppt

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1、学案6 函数、基本初等函数的图像与性质1.(20091.(2009全国全国)设函数设函数f f(x x)的定义域为的定义域为R R，若，若f f(x x+1)+1)与与f f(x x-1)-1)都是奇函数，则都是奇函数，则 （）A.A.f f(x x)是偶函数是偶函数 B.B.f f(x x)是奇函数是奇函数 C.C.f f(x x)=)=f f(x x+2)D.+2)D.f f(x x+3)+3)是奇函数是奇函数解析解析 由函数由函数y y=f f(x x+1)+1)是奇函数知，是奇函数知，f f(x x+1)=-+1)=-f f(-(-x x+1),+1),由函数由函数y y=f f(x

2、x-1)-1)是奇函数知，是奇函数知，f f(x x-1)=-1)=-f f(-(-x x-1).-1).由由知，知，f f(-(-x x)=-)=-f f(2+(2+x x),),由由知，知，f f(-(-x x)=-)=-f f(x x-2),-2),f f(2+(2+x x)=)=f f(x x-2),-2),即即f f(x x+4)=+4)=f f(x x).).函数函数y y=f f(x x)是以是以4 4为周期的函数，为周期的函数，由由知，知，f f(x x-1+4)=-1+4)=-f f(-(-x x-1+4).-1+4).f f(x x+3)=-+3)=-f f(-(-x x+

3、3),+3),函数函数f f(x x+3)+3)是奇函数是奇函数.答案答案 D D2.(20092.(2009全国全国)函数函数 的图象（的图象（）A.A.关于原点对称关于原点对称 B.B.关于直线关于直线y y=-=-x x对称对称 C.C.关于关于y y轴对称轴对称 D.D.关于直线关于直线y y=x x对称对称解析解析 由于定义域为（由于定义域为（-2-2，2 2）关于原点对称，又）关于原点对称，又 f f(x x)=-)=-f f(-(-x x),),故函数为奇函数故函数为奇函数,图象关于原点对称图象关于原点对称.A A3.3.（20092009天津）设函数天津）设函数 则不等则不等

4、式式f f(x x)f f(1)(1)的解集是的解集是 （）A.(-3,1)(3,+)B.(-3,1)(2,+)A.(-3,1)(3,+)B.(-3,1)(2,+)C.(-1,1)(3,+)D.(-,-3)(1,3)C.(-1,1)(3,+)D.(-,-3)(1,3)解析解析 由已知，函数先增后减再增由已知，函数先增后减再增 当当x x00，f f（x x）22，f f（1 1）=3=3，令令f f(x x)=3,)=3,解得解得x x=1,=1,x x=3.=3.当当x x0)f f(1)=3,(1)=3,解得解得-3-3x x13.3.A A4.(20094.(2009北京北京)为了得到函

5、数为了得到函数 的图象的图象,只需只需 把函数把函数y y=lg=lg x x的图象上所有的点的图象上所有的点 ()()A.A.向左平移向左平移3 3个单位长度个单位长度,再向上平移再向上平移1 1个单位长度个单位长度 B.B.向右平移向右平移3 3个单位长度个单位长度,再向上平移再向上平移1 1个单位长度个单位长度 C.C.向左平移向左平移3 3个单位长度个单位长度,再向下平移再向下平移1 1个单位长度个单位长度 D.D.向右平移向右平移3 3个单位长度个单位长度,再向下平移再向下平移1 1个单位长度个单位长度 解析解析 将将y y=lg=lg x x的图象上的点向左平移的图象上的点向左平移

6、3 3个单位长度得到个单位长度得到 y y=lg(=lg(x x+3)+3)的图象的图象,再将再将y y=lg(=lg(x x+3)+3)的图象上的点向下的图象上的点向下 平移平移1 1个单位长度得到个单位长度得到y y=lg(=lg(x x+3)-1+3)-1的图象的图象.C Ct t=3=3时时,y ymaxmax=;=;t t=1=1时时,y yminmin=1+1=2.=1+1=2.答案答案 (1)D (2)B(1)D (2)B【探究拓展探究拓展】求解这类问题时】求解这类问题时,一般有两种方法一般有两种方法:一是一是 先求外函数的定义域先求外函数的定义域,再把内函数代入再把内函数代入;

7、二是直接代二是直接代 入入,写出复合函数的解析式写出复合函数的解析式,使复合函数有意义即可使复合函数有意义即可,这两种方法实际上都采用了整体代入的基本思想这两种方法实际上都采用了整体代入的基本思想.变式训练变式训练1 1 (1)(2008 (1)(2008湖北湖北)函数函数f f(x x)=)=的定义域为的定义域为 （）A.(-,-42,+)A.(-,-42,+)B.(-4,0)(0,1)B.(-4,0)(0,1)C.-4,0)(0,1 C.-4,0)(0,1 D.-4,0)(0,1)D.-4,0)(0,1)(2)(2)设设 g g(x x)是二次函数是二次函数,若若f f g g(x x)的

8、的 值域是值域是0,+),0,+),则则g g(x x)的值域是的值域是 ()()A.(-,-1)1,+)A.(-,-1)1,+)B.(-,-10,+)B.(-,-10,+)C.0,+)C.0,+)D.1,+)D.1,+)解析解析 (1)(1)不等式组不等式组 的解集为的解集为-4,0)(0,1).-4,0)(0,1).所以函数所以函数f f(x x)的定义域为的定义域为-4,0)(0,1).-4,0)(0,1).(2)(2)由题意可知由题意可知,f f g g(x x)的值域是的值域是0,+),0,+),所以函数所以函数g g(x x)的值域是的值域是0,+),0,+),又又g g(x x)

9、是二次函数是二次函数,则选项则选项A,BA,B都不可能都不可能,若若g g(x x)的值域是的值域是1,+),1,+),则则f f g g(x x)的值域也是的值域也是1,+).1,+).答案答案 (1)D (2)C(1)D (2)C 题型二题型二 函数的性质函数的性质(单调性、奇偶性、周期性单调性、奇偶性、周期性)【例【例2 2】(1)(2009(1)(2009山东山东)已知定义在已知定义在R R上的奇函数上的奇函数 f f(x x),),满足满足f f(x x-4)=-4)=-f f(x x),),且在区间且在区间0,20,2上是增函上是增函 数，则数，则 （）A.A.f f(-25)(-

10、25)f f(11)(11)f f(80)(80)B.B.f f(80)(80)f f(11)(11)f f(-25)(-25)C.C.f f(11)(11)f f(80)(80)f f(-25)(-25)D.D.f f(-25)(-25)f f(80)(80)f f(11)(11)(2)(2)已知函数已知函数 若若f f(0)=2 010(0)=2 010，则，则 f f(2 010)=_.(2 010)=_.解析解析（1 1）因为）因为f f(x x)满足满足f f(x x-4)=-4)=-f f(x x)，所以所以f f(x x-8)=-8)=f f(x x),),所以函数是以所以函数是

11、以8 8为周期的周期函数，为周期的周期函数，则则f f(-25)=(-25)=f f(-1),(-1),f f(80)=(80)=f f(0),(0),f f(11)=(11)=f f(3),(3),又因为又因为f f(x x)在在R R上是奇函数，上是奇函数，f f(0)=0(0)=0，得得f f(80)=(80)=f f(0)=0,(0)=0,f f(-25)=(-25)=f f(-1)=-(-1)=-f f(1),(1),而由而由f f(x x-4)=-4)=-f f(x x),),得得f f(11)=(11)=f f(3)(3)=-=-f f(-3)=-(-3)=-f f(1-4)=(

12、1-4)=f f(1),(1),又因为又因为f f(x x)在区间在区间0 0，2 2上是增函数，上是增函数，所以所以f f(1)(1)f f(0)=0,(0)=0,所以所以-f f(1)(1)0 0，即即f f(-25)(-25)f f(80)(80)f f(11).(11).（2 2）因为）因为 即即f f(x x+4)=+4)=f f(x x)，所以函数，所以函数f f(x x)是以是以4 4为周期的函数，为周期的函数，又又2 010=5024+2,2 010=5024+2,则则f f(2 010)=(2 010)=f f(5024+2)=(5024+2)=f f(2),(2),因为因为

13、 所以所以f f(2 010)=(2 010)=答案答案 (1)D (2)(1)D (2)【探究拓展探究拓展】在准确理解函数性质的前提下】在准确理解函数性质的前提下,切记切记,奇奇 函数在原点处有定义函数在原点处有定义,则则f f(0)=0;(0)=0;函数函数f f(x x)满足满足:f f(x x+a a)=-)=-f f(x x),),则函数则函数f f(x x)是以是以2 2a a为周期的函数为周期的函数;则函数则函数f f(x x)是以是以2 2a a为周期的函数为周期的函数;则函数则函数f f(x x)是以是以4 4a a为周期的函数为周期的函数.变式训练变式训练2 2 已知函数已

14、知函数f f(x x)是是(-,+)(-,+)上的偶函数，上的偶函数，若对于若对于x x0,0,都有都有f f(x x+2)=+2)=f f(x x),),且当且当x x0,2)0,2)时时,f f(x x)=log=log2 2(x x+1),+1),则则f f(-2 008)+(-2 008)+f f(2 009)(2 009)的值为的值为 （）A.-2 B.-1 C.1 D.2 A.-2 B.-1 C.1 D.2解析解析 因为因为f f(x x+2)=+2)=f f(x x),),所以函数所以函数f f(x x)是以是以2 2为周期的为周期的 函数函数,则则f f(-2 008)=(-2

15、 008)=f f(0),(0),f f(2 009)=(2 009)=f f(1),(1),所以所以 f f(-2 008)+(-2 008)+f f(2 009)=(2 009)=f f(0)+(0)+f f(1)=log(1)=log2 21+log1+log2 22=1.2=1.C C题型三题型三 函数的图象问题函数的图象问题【例【例3 3】(2009(2009山东山东)函数函数 的图象大致为的图象大致为 ()()解析解析 函数有意义函数有意义,需使需使e ex x-e-e-x x0,0,其定义域为其定义域为 x x|x x00，排除，排除C C，D D，又因为又因为 所以当所以当x

16、x0 0时函数为减函数时函数为减函数.答案答案 A A【探究拓展探究拓展】(1)(1)图象信息题可以较为全面的考查考图象信息题可以较为全面的考查考 生的数学素质和能力生的数学素质和能力,解法灵活多样解法灵活多样,一定要灵活掌握一定要灵活掌握 图象的变换图象的变换;在利用图象求交点个数或方程解的个数在利用图象求交点个数或方程解的个数 时时,作图一定要准确，否则容易得到错误的结论作图一定要准确，否则容易得到错误的结论.(2)(2)若函数若函数f f(x x)满足满足:f f(x x+a a)=)=f f(b b-x x),),则图象关于直线则图象关于直线 x x=a a+b b对称对称;f f(a

17、 a+x x)=-)=-f f(b b-x x)，则图象关于点，则图象关于点 0)0)对称对称;函数函数y y=f f(1+(1+x x)的图象与函数的图象与函数y y=f f(1-(1-x x)的图的图 象象,关于关于y y轴对称轴对称.变式训练变式训练3 3 符号符号 x x 表示不超过表示不超过x x的最大整数的最大整数,如如=3,-1.1=-2=3,-1.1=-2，定义函数，定义函数 x x=x x-x x，给出下列四个，给出下列四个 命题命题:函数函数 x x 的定义域是的定义域是R R，值域为，值域为0,1;0,1;方程方程 有无数解；有无数解；函数函数 x x 是周期函数是周期函

18、数;函数函数 x x 是增函数是增函数.其中正确的命题序号有其中正确的命题序号有 （）A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 由题意作出函数由题意作出函数 x x=x x-x x 的图象如图所示的图象如图所示,结合图象可知结合图象可知,函数函数 x x 的定义域是的定义域是R,R,值域为值域为0,1),0,1),故故错误错误;方程方程 的解的个数即函数的解的个数即函数f f(x x)=)=x x 的的 图象与图象与 的图象的交点个数的图象的交点个数,交点有无数个交点有无数个,故故 正确；正确；正确，周期为正确，周期为1 1；由图象易知；由图象易知错误错误.答案答案 A A题型四题型四 函数的

19、综合应用函数的综合应用【例【例4 4】已知函数】已知函数y y=f f(x x)定义在实数集上，且对任意定义在实数集上，且对任意 x x,y yRR均有均有f f(x x+y y)=)=f f(x x)+)+f f(y y)，又对任意的，又对任意的x x0,0,都有都有 f f(x x)0,0,f f(3)=-6.(3)=-6.(1)(1)判断函数判断函数y y=f f(x x)的奇偶性；的奇偶性；(2)(2)证明函数证明函数y y=f f(x x)在在R R上为单调减函数；上为单调减函数；(3)(3)试求函数试求函数y y=f f(x x)在在 a a,b b(a a,b bZ,Z,且且ab

20、ab0)0)上的值上的值 域域.(1)(1)解解 令令x x=y y=0,=0,得得:f f(0)=(0)=f f(0)+(0)+f f(0),(0),f f(0)=0.(0)=0.再令再令y y=-=-x x,得：得：f f(0)=(0)=f f(x x-x x)=)=f f(x x)+)+f f(-(-x x),),f f(x x)+)+f f(-(-x x)=0,)=0,于是函数于是函数y y=f f(x x)为奇函数为奇函数.(2)(2)证明证明 对任意对任意x x,y yRR，f f(y y)+)+f f(x x-y y)=)=f f y y+(+(x x-y y)=)=f f(x

21、x)，f f(x x)-)-f f(y y)=)=f f(x x-y y）.设设x x1 1,x x2 2R,R,且且x x1 1x x2 2,则则f f(x x1 1)-)-f f(x x2 2)=)=f f(x x1 1-x x2 2),),显然显然x x1 1-x x2 20.0.而由题意可知，对任意的而由题意可知，对任意的x x0,0,都有都有f f(x x)0,0,f f(x x1 1)-)-f f(x x2 2)=)=f f(x x1 1-x x2 2)0,0,即即f f(x x1 1)f f(x x2 2),),函数函数y y=f f(x x)在在R R上为单调减函数上为单调减函

22、数.(3)(3)解解 由于函数由于函数y y=f f(x x)在在R R上为减函数，上为减函数，故故y y=f f(x x)在在 a a,b b 上为减函数，上为减函数，y y=f f(x x)在在 a a,b b 上的最大值为上的最大值为f f(a a),),最小值为最小值为f f(b).(b).又由于又由于f f(b b)=)=f f1+(1+(b b-1)=-1)=f f(1)+(1)+f f(b b-1)-1)=2=2f f(1)+(1)+f f(b b-2)=-2)=bf bf(1),(1),同理同理:f f(a a)=)=af af(1).(1).又又f f(3)=-6=3(3)=

23、-6=3f f(1)(1)，f f(1)=-2(1)=-2，f f(b b)=-2)=-2b b,f f(a a)=-2)=-2a a，因此函数因此函数y y=f f(x x)在在 a a,b b 上的值域为上的值域为-2-2b b,-2,-2a a.【探究拓展探究拓展】抽象函数的综合题一般难度较大】抽象函数的综合题一般难度较大,常涉常涉 及到多个知识点及到多个知识点,抽象思维程度较高抽象思维程度较高,解题时需要把解题时需要把 握好如下三点握好如下三点:一是注意定义域的应用一是注意定义域的应用;二是利用函二是利用函 数的奇偶性去掉函数符号数的奇偶性去掉函数符号“f f”前的前的“符号符号”;”

24、;三是三是 利用函数的单调性去掉函数符号利用函数的单调性去掉函数符号“f f”,”,然后再求解然后再求解.变式训练变式训练4 4 定义在定义在(-1,1)(-1,1)上的函数上的函数f f(x x)满足满足:对任对任 意意x x,y y(-1,1)(-1,1)都有都有f f(x x)+)+f f(y y)=)=f f(x x)0)0，当，当 x x(-1,0)(-1,0)时，有时，有f f(x x)0.)0.(1)(1)试判断函数试判断函数f f(x x)的奇偶性；的奇偶性；(2)(2)判断函数判断函数f f(x x)的单调性；的单调性；(3)(3)求证：求证：(1)(1)解解 令令x x=y

25、 y=0=0，得，得f f(0)=0,(0)=0,再令再令y y=-=-x x,得得f f(x x)+)+f f(-(-x x)=0)=0，所以函数所以函数f f(x x)是奇函数是奇函数.(2)(2)解解 设设-1-1x x1 1 x x2 20,0,则则x x1 1-x x2 20,00,0 x x1 1x x2 21,)f f(x x2 2),),所以所以f f(x x)在区间在区间(-1,0)(-1,0)上单调递减上单调递减,由奇函数的性质由奇函数的性质 可知可知,f f(x x)在区间在区间(0,1)(0,1)上也是单调递减的函数上也是单调递减的函数.所以函数所以函数f f(x x)

26、是定义域上的减函数是定义域上的减函数.(3)(3)证明证明【考题再现】【考题再现】(2009(2009北京北京)（1414分）设函数分）设函数f f(x x)=)=x x3 3-3-3axax+b b(a a0).0).(1)(1)若曲线若曲线y y=f f(x x)在点在点(2,(2,f f(2)(2)处与直线处与直线y y=8=8相切相切,求求 a a,b b的值；的值；(2)(2)求函数求函数f f(x x)的单调区间与极值点的单调区间与极值点.【解题示范解题示范】解解 (1)(1)f f(x x)=3)=3x x2 2-3-3a a,2 2分分 曲线曲线y y=f f(x x)在点在点

27、(2,(2,f f(2)(2)处与直线处与直线y y=8=8相切，相切，6 6分分(2)(2)f f(x x)=3()=3(x x2 2-a a)()(a a0),0),当当a a0 0时，时，f f(x x)0 0，函数，函数f f(x x)在在(-(-，+)+)上单上单 调递增，调递增，此时函数此时函数f f(x x)没有极值点没有极值点.8 8分分 当当a a0 0时，由时，由f f(x x)=0,)=0,得得x x=9 9分分 当当x x(-,)(-,)时时,f f(x x)0)0，函数函数f f(x x)单调递增，单调递增，10 10分分 当当x x 时，时，f f(x x)0 0，

28、函数，函数f f(x x)单调递减，单调递减，11 11分分 当当x x(,+)(,+)时，时，f f(x x)0 0，函数，函数f f(x x)单调递增，单调递增，12 12分分 此时此时 是是f f(x x)的极大值点的极大值点,是是f f(x x)的极小值点的极小值点.14.14分分1.1.定义法是论证函数单调性的基本方法定义法是论证函数单调性的基本方法,而用导数法而用导数法 论证则更快捷、省力、省时论证则更快捷、省力、省时.2.2.要正确理解奇函数和偶函数的定义要正确理解奇函数和偶函数的定义,首先定义域要首先定义域要 关于原点对称关于原点对称,其次在定义域内应满足其次在定义域内应满足:

29、f f(x x)=-)=-f f(-(-x x)或或f f(x x)=)=f f(-(-x x).).3.3.奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于偶函数的图象关于y y轴轴 对称对称,反之亦然反之亦然.因此也可以根据函数图象的对称性因此也可以根据函数图象的对称性,判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性.4.4.函数最值函数最值(极值极值)的求解类比于函数值域问题的求的求解类比于函数值域问题的求 解解,方法颇多方法颇多,导数法尤为重要导数法尤为重要.一、选择题一、选择题1.(20091.(2009天津天津)设设 则则 ()()A.A.a ab bc c B.B.a ac

30、cb b C.C.b bc ca a D.D.b ba ac c解析解析 a ac cb b.B B2.(20082.(2008山东山东)函数函数y y=ln cos=ln cos x x 的图象是的图象是 （）解析解析 y y=ln cos=ln cos x x为偶函数为偶函数,且函数图象在且函数图象在 上单上单调递减调递减.A A3.(20083.(2008安徽安徽)在同一平面直角坐标系中，函数在同一平面直角坐标系中，函数 y y=g g(x x)的图象与的图象与y y=e=ex x的图象关于直线的图象关于直线y y=x x对称对称,而函数而函数 y y=f f(x x)的图象与的图象与y

31、 y=g g(x x)的图象关于的图象关于y y轴对称，若轴对称，若f f(m m)=-1,=-1,则则m m的值为的值为 （）A.-e B.C.e D.A.-e B.C.e D.解析解析 由题意知由题意知y y=g(=g(x x)应为应为y y=e=ex x的反函数的反函数,即即y y=g g(x x)=)=ln ln x x,而而y y=f f(x x)与与y y=g g(x x)=ln)=ln x x图象之间关于图象之间关于y y轴对称轴对称,故可得故可得y y=f f(x x)=ln(-)=ln(-x x),),又又f f(m m)=-1,)=-1,所以所以ln(-ln(-m m)=-

32、1,)=-1,得得-m m=e=e-1-1,即即m m=.=.B B4.(20094.(2009山东山东)定义在定义在R R上的函数上的函数f f(x x)满足：满足：f f(x x)=)=则则f f(3)(3)的值为的值为 （）A.-1 B.-2 C.1 D.2 A.-1 B.-2 C.1 D.2 解析解析 由已知得由已知得f f(-1)=log(-1)=log2 25,5,f f(0)=log(0)=log2 24=2,4=2,f f(1)=(1)=f f(0)-(0)-f f(-1)=2-log(-1)=2-log2 25,5,f f(2)=(2)=f f(1)-(1)-f f(0)=-

33、log(0)=-log2 25,5,f f(3)=(3)=f f(2)-(2)-f f(1)=-log(1)=-log2 25-(2-log5-(2-log2 25)=-2.5)=-2.B B5.5.已知函数已知函数f f(x x)的反函数为的反函数为g g(x x)=1+2lg)=1+2lg x x(x x0),0),则则 f f(1)+(1)+g g(1)(1)等于等于 （）A.0 B.1 A.0 B.1 C.2 D.4 C.2 D.4 解析解析 由于由于f f(1)(1)就是就是g g(x x)=1)=1中的对应中的对应x x值值,即即1=1+2lg 1=1+2lg x x，知，知x x

34、=1,=1,f f(1)=1.(1)=1.又又g g(1)=1+2lg(1)=1+2lg 1,1,g g(1)=1,(1)=1,f f(1)+(1)+g g(1)=2.(1)=2.C C6.6.设设a a1,1,若对于任意的若对于任意的x xa a,2,2a a,都有都有y ya a,a a2 2 满满 足方程足方程logloga ax x+log+loga ay y=3,=3,这时这时a a的取值集合为的取值集合为 （）A.A.a a|1|1a a2 B.2 B.a a|a a22 C.C.a a|2|2a a3 D.2,33 D.2,3解析解析 因为因为logloga ax x+log+l

35、oga ay y=3=3，所以，所以xyxy=a a3 3,即即 又当又当x xa a,2,2a a 时时,y ya a，a a2 2,B B二、填空题二、填空题7.7.设设a a1,1,函数函数f f(x x)=log)=loga ax x在区间在区间 a a,2,2a a 上的最大值与上的最大值与 最小值之差为最小值之差为 则则a a=_.=_.解析解析 因为因为a a1,1,函数函数f f(x x)=log)=loga ax x在区间在区间 a a,2,2a a 上的最上的最 大值与最小值分别为大值与最小值分别为logloga a2 2a a,log,loga aa a=1,=1,它们的

36、差为它们的差为 则则logloga a2=2=a a=4.=4.4 48.8.设函数设函数 的值为的值为 _._.解析解析 因为因为 所以所以f f(2)=2(2)=22 2+2-2=4,+2-2=4,则则9.9.如果函数如果函数f f(x x)=)=a ax x(a ax x-3-3a a2 2-1)(-1)(a a0,0,a a1)1)在区间在区间0,0,+)+)上是增函数上是增函数,那么实数那么实数a a的取值范围是的取值范围是_._.解析解析 f f(x x)=)=a ax x(2(2a ax x-3-3a a2 2-1)ln-1)ln a a,由题意知由题意知f f(x x)0)0对

37、对x x0,+)0,+)恒成立恒成立.当当a a1 1时，时，ln ln a a0 0，所以，所以2 2a ax x-3-3a a2 2-10-10对对x x0,0,+)+)恒成立，则恒成立，则3 3a a2 222a ax x-1,-1,在在0,+)0,+)上恒成立上恒成立.a a2 2 与与a a1 1矛盾矛盾.无解无解.当当0 0a a1 1时，时，ln ln a a0 0，所以所以2 2a ax x-3-3a a2 2-10-10对对x x0,+)0,+)恒成立，恒成立，则则3 3a a2 222a ax x-1-1在在x x0,+)0,+)上恒成立上恒成立.10.10.已知函数已知函

38、数f f(x x)()(x xR)R)满足：满足：f f(x x+1)=+1)=f f(x x)+)+f f(x+x+2),2),且且 f f(1)=1,(1)=1,f f(2)=2 010.(2)=2 010.则则f f(1)+(1)+f f(2)+(2)+f f(3)+(3)+f f(2 009)=(2 009)=_._.解析解析 f f(x x+1)=+1)=f f(x x)+)+f f(x x+2),+2),f f(x x+2)=+2)=f f(x x+1)+1)+f f(x x+3),+3),由由得，得，f f(x x)=-)=-f f(x x+3),+3),则则f f(x x+3)

39、=-+3)=-f f(x x+6)+6)，所以所以f f(x x+6)=+6)=f f(x x),),即即f f(x x)是以是以6 6为周期的函数，为周期的函数，由由f f(x x)=-)=-f f(x x+3)+3)可得可得 f f(1)+(1)+f f(2)+(2)+f f(3)+(3)+f f(4)+(4)+f f(5)+(5)+f f(6)=0,(6)=0,又又2 009=6334+5,2 009=6334+5,所以所以f f(1)+(1)+f f(2)+(2)+f f(3)+(3)+f f(2 009)(2 009)=f f(1)+(1)+f f(2)+(2)+f f(3)+(3)

40、+f f(4)+(4)+f f(5)=(5)=f f(3)=2 009.(3)=2 009.2 0092 009三、解答题三、解答题11.11.已知函数已知函数f f(x x)的定义域为的定义域为R,R,对任意实数对任意实数m m、n n都有都有(1)(1)判断函数判断函数f f(x x)的单调性，并证明你的结论的单调性，并证明你的结论;(2)(2)若对任意实数若对任意实数x x,不等式不等式f f(axax2 2+axax+1)+1)f f(2(2x x2 2+2+2x x)恒恒 成立成立,求实数求实数a a的取值范围的取值范围.解解(1)(1)不妨设不妨设m mn n,则则n n-m m0

41、,0,f f(n n)=)=f f m m+(+(n n-m m)=)=f f(m m)+)+f f(n n-m m)+)+=f f(m m)+)+f f(n n-m m)+0+)+0+=f f(m m)+)+f f(n n-m m)+)+函数函数f f(x x)在实数集在实数集R R上是增函数上是增函数.(2)(2)由由(1)(1)可知函数可知函数f f(x x)在在实数集实数集R R上是上是增增函数，函数，又又f f(axax2 2+axax+1)+1)f f(2(2x x2 2+2+2x x)恒成立，恒成立，所以所以axax2 2+axax+12+12x x2 2+2+2x x,即即(a

42、 a-2)-2)x x2 2+(+(a a-2)-2)x x+10+10恒成立恒成立(x xR),R),当当a a=2,=2,上式显然成立，上式显然成立，当当a a22，即，即a a-2-20 0时，时，=(=(a a-2)-2)2 2-4(-4(a a-2)=(-2)=(a a-2)(-2)(a a-6)0,-6)0,a a2,6,2,6,又又a a-2-20,0,所以所以a a(2,6.(2,6.综上综上可知：可知：a a2,6.2,6.12.(200912.(2009全国全国)设函数设函数f f(x x)=)=x x3 3-(1+-(1+a a)x x2 2+4+4axax +24+24

43、a a,其中常数其中常数a a1.1.(1)(1)讨论函数讨论函数f f(x x)的单调性；的单调性；(2)(2)若当若当x x00时，时，f f(x x)0 0恒成立，求恒成立，求a a的取值范围的取值范围.解解(1)(1)因为因为f f(x x)=)=x x2 2-2(1+-2(1+a a)x x+4+4a a=(=(x x-2)(-2)(x x-2-2a a),),由由a a1 1知，当知，当x x2 2时时,f f(x x)0 0，故故f f(x x)在区间在区间(-,2)(-,2)上是增函数；上是增函数；当当2 2x x2 2a a时时,f f(x x)0,0,故故f f(x x)在

44、区间在区间(2,2(2,2a a)上是上是 减函数；减函数；当当x x2 2a a时时,f f(x x)0,0,故故f f(x x)在区间在区间(2(2a a,+),+)上是增上是增 函数函数.综上综上,当当a a1 1时时,f f(x x)在区间在区间(-,2)(-,2)和（和（2 2a a,+),+)上是上是 增函数增函数,在区间在区间(2(2，2 2a a)上是减函数上是减函数.(2)(2)由由(1)(1)知知,当当x x00时时,f f(x x)在在x x=2=2a a或或x x=0=0处取得最小处取得最小 值值.f f(2(2a a)=(2)=(2a a)3 3-(1+-(1+a a)(2)(2a a)2 2+4+4a a22a a+24+24a a=a a3 3+4+4a a2 2+24+24a a,所以所以f f(0)=24(0)=24a a,由已知知由已知知即即 解得解得1 1a a6,6,故故a a的取值范围是的取值范围是(1,6).(1,6).返回