学案函数、基本初等函数的图像与性质.ppt

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1、1.1.理解函数的概念，特别是定义域、值域、对应法理解函数的概念，特别是定义域、值域、对应法 则则.2.2.准确理解函数的性质准确理解函数的性质,奇偶性、单调性、周期性奇偶性、单调性、周期性.3.3.灵活掌握函数图象的变换，平移、对称、翻折、灵活掌握函数图象的变换，平移、对称、翻折、旋转等旋转等.4.4.理解二次函数、并能熟练解决二次函数的有关问理解二次函数、并能熟练解决二次函数的有关问 题题.5.5.理解指数函数、对数函数、幂函数的概念及性质理解指数函数、对数函数、幂函数的概念及性质,并能利用性质解决数学问题并能利用性质解决数学问题.6.6.了解分段函数，并能简单应用了解分段函数，并能简单应

2、用.学案学案6 6 函数、基本初等函数的图象与性质函数、基本初等函数的图象与性质1.(20091.(2009全国全国)设函数设函数f f(x x)的定义域为的定义域为R R，若，若f f(x x+1)+1)与与f f(x x-1)-1)都是奇函数，则都是奇函数，则 （）A.A.f f(x x)是偶函数是偶函数 B.B.f f(x x)是奇函数是奇函数 C.C.f f(x x)=)=f f(x x+2)D.+2)D.f f(x x+3)+3)是奇函数是奇函数解析解析 由函数由函数y y=f f(x x+1)+1)是奇函数知，是奇函数知，f f(x x+1)=-+1)=-f f(-(-x x+1)

3、,+1),由函数由函数y y=f f(x x-1)-1)是奇函数知，是奇函数知，f f(x x-1)=-1)=-f f(-(-x x-1).-1).由由知，知，f f(-(-x x)=-)=-f f(2+(2+x x),),由由知，知，f f(-(-x x)=-)=-f f(x x-2),-2),f f(2+(2+x x)=)=f f(x x-2),-2),即即f f(x x+4)=+4)=f f(x x).).函数函数y y=f f(x x)是以是以4 4为周期的函数，为周期的函数，由由知，知，f f(x x-1+4)=-1+4)=-f f(-(-x x-1+4).-1+4).f f(x x

4、+3)=-+3)=-f f(-(-x x+3),+3),函数函数f f(x x+3)+3)是奇函数是奇函数.答案答案 D D2.(20092.(2009全国全国)函数函数 的图象（的图象（）A.A.关于原点对称关于原点对称 B.B.关于直线关于直线y y=-=-x x对称对称 C.C.关于关于y y轴对称轴对称 D.D.关于直线关于直线y y=x x对称对称解析解析 由于定义域为（由于定义域为（-2-2，2 2）关于原点对称，又）关于原点对称，又 f f(x x)=-)=-f f(-(-x x),),故函数为奇函数故函数为奇函数,图象关于原点对称图象关于原点对称.A A3.3.（2009200

5、9天津）设函数天津）设函数 则不等则不等 式式f f(x x)f f(1)(1)的解集是的解集是 （）A.(-3,1)(3,+)B.(-3,1)(2,+)A.(-3,1)(3,+)B.(-3,1)(2,+)C.(-1,1)(3,+)D.(-,-3)(1,3)C.(-1,1)(3,+)D.(-,-3)(1,3)解析解析 由已知，函数先增后减再增由已知，函数先增后减再增 当当x x00，f f（x x）22，f f（1 1）=3=3，令令f f(x x)=3,)=3,解得解得x x=1,=1,x x=3.=3.当当x x0)f f(1)=3,(1)=3,解得解得-3-3x x13.3.A A4.(

6、20094.(2009广东广东)已知甲、乙两车由同一起点同时出已知甲、乙两车由同一起点同时出 发，并沿同一路线发，并沿同一路线(假定为直线假定为直线)行驶行驶.甲车、乙车的甲车、乙车的 速度曲线分别为速度曲线分别为v v甲甲和和v v乙乙(如图所示如图所示).).那么对于图中那么对于图中 给定的给定的t t0 0和和t t1 1,下列判断中一定正确的是下列判断中一定正确的是 （）A.A.在在t t1 1时刻，甲车在乙车前面时刻，甲车在乙车前面 B.B.t t1 1时刻后，甲车在乙车后面时刻后，甲车在乙车后面 C.C.在在t t0 0时刻，两车的位置相同时刻，两车的位置相同 D.D.t t0 0

7、时刻后，乙车在甲车前面时刻后，乙车在甲车前面解析解析 由图象可知，曲线由图象可知，曲线v v甲甲比比v v乙乙在在0 0t t0 0、0 0 t t1 1与与x x 轴所围成图形面积大，则在轴所围成图形面积大，则在t t0 0、t t1 1时刻，甲车均在时刻，甲车均在 乙车前面乙车前面.A A题型一题型一 求函数的定义域和值域求函数的定义域和值域【例【例1 1】(1)(2009(1)(2009江西江西)函数函数 的定义的定义 域为域为 ()()A.-4,1 B.-4,0)A.-4,1 B.-4,0)C.(0,1 D.-4,0)(0,1 C.(0,1 D.-4,0)(0,1(2)(2)若函数若函

8、数y y=f f(x x)的值域是的值域是 则函数则函数F F(x x)=)=f f(x x)+)+的值域是的值域是 （）A.B.A.B.C.D.C.D.解析解析 (1)(1)由题意知由题意知 解得解得-4-4x x00或或000,0,得得11t t3;3;由由y y0,0,0,都有都有 f f(x x)0,0,f f(3)=-6.(3)=-6.(1)(1)判断函数判断函数y y=f f(x x)的奇偶性；的奇偶性；(2)(2)证明函数证明函数y y=f f(x x)在在R R上为单调减函数；上为单调减函数；(3)(3)试求函数试求函数y y=f f(x x)在在 a a,b b(a a,b

9、bZ,Z,且且abab0)0)上的值上的值 域域.(1)(1)解解 令令x x=y y=0,=0,得得:f f(0)=(0)=f f(0)+(0)+f f(0),(0),f f(0)=0.(0)=0.再令再令y y=-=-x x,得：得：f f(0)=(0)=f f(x x-x x)=)=f f(x x)+)+f f(-(-x x),),f f(x x)+)+f f(-(-x x)=0,)=0,于是函数于是函数y y=f f(x x)为奇函数为奇函数.(2)(2)证明证明 对任意对任意x x,y yRR，f f(y y)+)+f f(x x-y y)=)=f f y y+(+(x x-y y)

10、=)=f f(x x)，f f(x x)-)-f f(y y)=)=f f(x x-y y）.设设x x1 1,x x2 2R,R,且且x x1 1x x2 2,则则f f(x x1 1)-)-f f(x x2 2)=)=f f(x x1 1-x x2 2),),显然显然x x1 1-x x2 20.0.而由题意可知，对任意的而由题意可知，对任意的x x0,0,都有都有f f(x x)0,0,f f(x x1 1)-)-f f(x x2 2)=)=f f(x x1 1-x x2 2)0,0,即即f f(x x1 1)f f(x x2 2),),函数函数y y=f f(x x)在在R R上为单调

11、减函数上为单调减函数.(3)(3)解解 由于函数由于函数y y=f f(x x)在在R R上为减函数，上为减函数，故故y y=f f(x x)在在 a a,b b 上为减函数，上为减函数，y y=f f(x x)在在 a a,b b 上的最大值为上的最大值为f f(a a),),最小值为最小值为f f(b).(b).又由于又由于f f(b b)=)=f f1+(1+(b b-1)=-1)=f f(1)+(1)+f f(b b-1)-1)=2=2f f(1)+(1)+f f(b b-2)=-2)=bf bf(1),(1),同理同理:f f(a a)=)=af af(1).(1).又又f f(3)

12、=-6=3(3)=-6=3f f(1)(1)，f f(1)=-2(1)=-2，f f(b b)=-2)=-2b b,f f(a a)=-2)=-2a a，因此函数因此函数y y=f f(x x)在在 a a,b b 上的值域为上的值域为-2-2b b,-2,-2a a.【探究拓展探究拓展】抽象函数的综合题一般难度较大】抽象函数的综合题一般难度较大,常涉常涉 及到多个知识点及到多个知识点,抽象思维程度较高抽象思维程度较高,解题时需要把解题时需要把 握好如下三点握好如下三点:一是注意定义域的应用一是注意定义域的应用;二是利用函二是利用函 数的奇偶性去掉函数符号数的奇偶性去掉函数符号“f f”前的前

13、的“符号符号”;”;三是三是 利用函数的单调性去掉函数符号利用函数的单调性去掉函数符号“f f”,”,然后再求解然后再求解.变式训练变式训练4 4 定义在定义在(-1,1)(-1,1)上的函数上的函数f f(x x)满足满足:对任对任 意意x x,y y(-1,1)(-1,1)都有都有f f(x x)+)+f f(y y)=)=f f(x x)0)0，当，当 x x(-1,0)(-1,0)时，有时，有f f(x x)0.)0.(1)(1)试判断函数试判断函数f f(x x)的奇偶性；的奇偶性；(2)(2)判断函数判断函数f f(x x)的单调性；的单调性；(3)(3)求证：求证：(1)(1)解

14、解 令令x x=y y=0=0，得，得f f(0)=0,(0)=0,再令再令y y=-=-x x,得得f f(x x)+)+f f(-(-x x)=0)=0，所以函数所以函数f f(x x)是奇函数是奇函数.(2)(2)解解 设设-1-1x x1 1 x x2 20,0,则则x x1 1-x x2 20,00,0 x x1 1x x2 21,)f f(x x2 2),),所以所以f f(x x)在区间在区间(-1,0)(-1,0)上单调递减上单调递减,由奇函数的性质由奇函数的性质 可知可知,f f(x x)在区间在区间(0,1)(0,1)上也是单调递减的函数上也是单调递减的函数.所以函数所以函

15、数f f(x x)是定义域上的减函数是定义域上的减函数.(3)(3)证明证明【考题再现】【考题再现】(2009(2009北京北京)设函数设函数f f(x x)=)=x x3 3-3-3axax+b b(a a0).0).(1)(1)若曲线若曲线y y=f f(x x)在点在点(2,(2,f f(2)(2)处与直线处与直线y y=8=8相切相切,求求 a a,b b的值；的值；(2)(2)求函数求函数f f(x x)的单调区间与极值点的单调区间与极值点.【解题示范解题示范】解解 (1)(1)f f(x x)=3)=3x x2 2-3-3a a,2 2分分 曲线曲线y y=f f(x x)在点在点

16、(2,(2,f f(2)(2)处与直线处与直线y y=8=8相切，相切，6 6分分(2)(2)f f(x x)=3()=3(x x2 2-a a)()(a a0),0),当当a a0 0时，时，f f(x x)0 0，函数，函数f f(x x)在在(-(-，+)+)上单上单 调递增，调递增，此时函数此时函数f f(x x)没有极值点没有极值点.8 8分分 当当a a0 0时，由时，由f f(x x)=0,)=0,得得x x=9 9分分 当当x x(-,)(-,)时时,f f(x x)0)0，函数函数f f(x x)单调递增，单调递增，10 10分分 当当x x 时，时，f f(x x)0 0，

17、函数，函数f f(x x)单调递减，单调递减，11 11分分 当当x x(,+)(,+)时，时，f f(x x)0 0，函数，函数f f(x x)单调递增，单调递增，12 12分分 此时此时 是是f f(x x)的极大值点的极大值点,是是f f(x x)的极小值点的极小值点.14.14分分1.1.定义法是论证函数单调性的基本方法定义法是论证函数单调性的基本方法,而用导数法而用导数法 论证则更快捷、省力、省时论证则更快捷、省力、省时.2.2.要正确理解奇函数和偶函数的定义要正确理解奇函数和偶函数的定义,首先定义域要首先定义域要 关于原点对称关于原点对称,其次在定义域内应满足其次在定义域内应满足:

18、f f(x x)=-)=-f f(-(-x x)或或f f(x x)=)=f f(-(-x x).).3.3.奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于偶函数的图象关于y y轴轴 对称对称,反之亦然反之亦然.因此也可以根据函数图象的对称性因此也可以根据函数图象的对称性,判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性.4.4.函数最值函数最值(极值极值)的求解类比于函数值域问题的求的求解类比于函数值域问题的求 解解,方法颇多方法颇多,导数法尤为重要导数法尤为重要.一、选择题一、选择题1.(20091.(2009天津天津)设设 则则 ()()A.A.a ab bc c B.B.a ac

19、cb b C.C.b bc ca a D.D.b ba ac c解析解析 a ac cb b.B B2.(20082.(2008山东山东)函数函数y y=ln cos=ln cos x x 的图象是的图象是 （）解析解析 y y=ln cos=ln cos x x为偶函数为偶函数,且函数图象在且函数图象在 上单上单调递减调递减.A A3.(20083.(2008安徽安徽)在同一平面直角坐标系中，函数在同一平面直角坐标系中，函数 y y=g g(x x)的图象与的图象与y y=e=ex x的图象关于直线的图象关于直线y y=x x对称对称,而函数而函数 y y=f f(x x)的图象与的图象与y

20、 y=g g(x x)的图象关于的图象关于y y轴对称，若轴对称，若f f(m m)=-1,=-1,则则m m的值为的值为 （）A.-e B.C.e D.A.-e B.C.e D.解析解析 由题意知由题意知y y=g(=g(x x)应为应为y y=e=ex x的反函数的反函数,即即y y=g g(x x)=)=ln ln x x,而而y y=f f(x x)与与y y=g g(x x)=ln)=ln x x图象之间关于图象之间关于y y轴对称轴对称,故可得故可得y y=f f(x x)=ln(-)=ln(-x x),),又又f f(m m)=-1,)=-1,所以所以ln(-ln(-m m)=-

21、1,)=-1,得得-m m=e=e-1-1,即即m m=.=.B B4.(20094.(2009山东山东)定义在定义在R R上的函数上的函数f f(x x)满足：满足：f f(x x)=)=则则f f(3)(3)的值为的值为 （）A.-1 B.-2 C.1 D.2 A.-1 B.-2 C.1 D.2 解析解析 由已知得由已知得f f(-1)=log(-1)=log2 25,5,f f(0)=log(0)=log2 24=2,4=2,f f(1)=(1)=f f(0)-(0)-f f(-1)=2-log(-1)=2-log2 25,5,f f(2)=(2)=f f(1)-(1)-f f(0)=-

22、log(0)=-log2 25,5,f f(3)=(3)=f f(2)-(2)-f f(1)=-log(1)=-log2 25-(2-log5-(2-log2 25)=-2.5)=-2.B B5.5.已知函数已知函数f f(x x)=log)=logsin 1sin 1(x x2 2+axax+3)+3)在区间在区间(-,1)(-,1)上递上递 增，则实数增，则实数a a的取值范围是的取值范围是 ()()A.(-4,-2 B.-4,-2 A.(-4,-2 B.-4,-2 C.(-4,+)D.(-,-2 C.(-4,+)D.(-,-2解析解析 0 0sin 11,1,sin 11,1,即即a a

23、-2,-2,又又1 12 2+a a1+30,1+30,a a-4,-4,a a-4-4，-2.-2.B B6.6.设设a a1,1,若对于任意的若对于任意的x xa a,2,2a a,都有都有y ya a,a a2 2 满满 足方程足方程logloga ax x+log+loga ay y=3,=3,这时这时a a的取值集合为的取值集合为 （）A.A.a a|1|1a a2 B.2 B.a a|a a22 C.C.a a|2|2a a3 D.2,33 D.2,3解析解析 因为因为logloga ax x+log+loga ay y=3=3，所以，所以xyxy=a a3 3,即即 又当又当x

24、xa a,2,2a a 时时,y ya a，a a2 2,B B二、填空题二、填空题7.7.设设a a1,1,函数函数f f(x x)=log)=loga ax x在区间在区间 a a,2,2a a 上的最大值与上的最大值与 最小值之差为最小值之差为 则则a a=_.=_.解析解析 因为因为a a1,1,函数函数f f(x x)=log)=loga ax x在区间在区间 a a,2,2a a 上的最上的最 大值与最小值分别为大值与最小值分别为logloga a2 2a a,log,loga aa a=1,=1,它们的差为它们的差为 则则logloga a2=2=a a=4.=4.4 48.8.

25、设函数设函数 的值为的值为 _._.解析解析 因为因为 所以所以f f(2)=2(2)=22 2+2-2=4,+2-2=4,则则9.9.如果函数如果函数f f(x x)=)=a ax x(a ax x-3-3a a2 2-1)(-1)(a a0,0,a a1)1)在区间在区间0,0,+)+)上是增函数上是增函数,那么实数那么实数a a的取值范围是的取值范围是_._.解析解析 f f(x x)=)=a ax x(2(2a ax x-3-3a a2 2-1)ln-1)ln a a,由题意知由题意知f f(x x)0)0对对x x0,+)0,+)恒成立恒成立.当当a a1 1时，时，ln ln a

26、a0 0，所以，所以2 2a ax x-3-3a a2 2-10-10对对x x0,0,+)+)恒成立，则恒成立，则3 3a a2 222a ax x-1,-1,在在0,+)0,+)上恒成立上恒成立.a a2 2 与与a a1 1矛盾矛盾.无解无解.当当0 0a a1 1时，时，ln ln a a0 0，所以所以2 2a ax x-3-3a a2 2-10-10对对x x0,+)0,+)恒成立，恒成立，则则3 3a a2 222a ax x-1-1在在x x0,+)0,+)上恒成立上恒成立.10.10.已知函数已知函数f f(x x)()(x xR)R)满足：满足：f f(x x+1)=+1)

27、=f f(x x)+)+f f(x+x+2),2),且且 f f(1)=1,(1)=1,f f(2)=2 010.(2)=2 010.则则f f(1)+(1)+f f(2)+(2)+f f(3)+(3)+f f(2 009)=(2 009)=_._.解析解析 f f(x x+1)=+1)=f f(x x)+)+f f(x x+2),+2),f f(x x+2)=+2)=f f(x x+1)+1)+f f(x x+3),+3),由由得，得，f f(x x)=-)=-f f(x x+3),+3),则则f f(x x+3)=-+3)=-f f(x x+6)+6)，所以所以f f(x x+6)=+6)

28、=f f(x x),),即即f f(x x)是以是以6 6为周期的函数，为周期的函数，由由f f(x x)=-)=-f f(x x+3)+3)可得可得 f f(1)+(1)+f f(2)+(2)+f f(3)+(3)+f f(4)+(4)+f f(5)+(5)+f f(6)=0,(6)=0,又又2 009=6334+5,2 009=6334+5,所以所以f f(1)+(1)+f f(2)+(2)+f f(3)+(3)+f f(2 009)(2 009)=f f(1)+(1)+f f(2)+(2)+f f(3)+(3)+f f(4)+(4)+f f(5)=(5)=f f(3)=2 009.(3)

29、=2 009.2 0092 009三、解答题三、解答题11.11.已知函数已知函数f f(x x)的定义域为的定义域为R,R,对任意实数对任意实数m m、n n都有都有(1)(1)判断函数判断函数f f(x x)的单调性，并证明你的结论的单调性，并证明你的结论;(2)(2)若对任意实数若对任意实数x x,不等式不等式f f(axax2 2+axax+1)+1)f f(2(2x x2 2+2+2x x)恒恒 成立成立,求实数求实数a a的取值范围的取值范围.解解(1)(1)不妨设不妨设m mn n,则则n n-m m0,0,f f(n n)=)=f f m m+(+(n n-m m)=)=f f

30、(m m)+)+f f(n n-m m)+)+=f f(m m)+)+f f(n n-m m)+0+)+0+=f f(m m)+)+f f(n n-m m)+)+函数函数f f(x x)在实数集在实数集R R上是增函数上是增函数.(2)(2)由由(1)(1)可知函数可知函数f f(x x)在在实数集实数集R R上是上是增增函数函数，又又f f(axax2 2+axax+1)+1)f f(2(2x x2 2+2+2x x)恒成立，恒成立，所以所以axax2 2+axax+12+12x x2 2+2+2x x,即即(a a-2)-2)x x2 2+(+(a a-2)-2)x x+10+10恒成立恒

31、成立(x xR),R),当当a a=2,=2,上式显然成立，上式显然成立，当当a a22，即，即a a-2-20 0时，时，=(=(a a-2)-2)2 2-4(-4(a a-2)=(-2)=(a a-2)(-2)(a a-6)0,-6)0,a a2,6,2,6,又又a a-2-20,0,所以所以a a(2,6.(2,6.综上综上可知：可知：a a2,6.2,6.12.(200912.(2009全国全国)设函数设函数f f(x x)=)=x x3 3-(1+-(1+a a)x x2 2+4+4axax +24+24a a,其中常数其中常数a a1.1.(1)(1)讨论函数讨论函数f f(x x

32、)的单调性；的单调性；(2)(2)若当若当x x00时，时，f f(x x)0 0恒成立，求恒成立，求a a的取值范围的取值范围.解解(1)(1)因为因为f f(x x)=)=x x2 2-2(1+-2(1+a a)x x+4+4a a=(=(x x-2)(-2)(x x-2-2a a),),由由a a1 1知，当知，当x x2 2时时,f f(x x)0 0，故故f f(x x)在区间在区间(-,2)(-,2)上是增函数；上是增函数；当当2 2x x2 2a a时时,f f(x x)0,0,故故f f(x x)在区间在区间(2,2(2,2a a)上是上是 减函数；减函数；当当x x2 2a

33、a时时,f f(x x)0,0,故故f f(x x)在区间在区间(2(2a a,+),+)上是增上是增 函数函数.综上综上,当当a a1 1时时,f f(x x)在区间在区间(-,2)(-,2)和（和（2 2a a,+),+)上是上是 增函数增函数,在区间在区间(2(2，2 2a a)上是减函数上是减函数.(2)(2)由由(1)(1)知知,当当x x00时时,f f(x x)在在x x=2=2a a或或x x=0=0处取得最小处取得最小 值值.f f(2(2a a)=(2)=(2a a)3 3-(1+-(1+a a)(2)(2a a)2 2+4+4a a22a a+24+24a a=a a3 3+4+4a a2 2+24+24a a,所以所以f f(0)=24(0)=24a a,由已知知由已知知即即 解得解得1 1a a6,6,故故a a的取值范围是的取值范围是(1,6).(1,6).返回