椭圆双曲线结论总结.docx

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1、 椭圆双曲线结论总结11 椭圆 双曲线 经典结论总结11 椭圆双曲线经典结论总结 数学王教师课堂内部资料内部学习使用 手机：13606340917：1193858004 一切线问题（一） x0xy0yx2y221.11.若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000222ababx2y22.若P0(x0,y0)在双曲线221（a0,b0）上，则过P0的双曲线的切线方程是 abx0xy0y21.2ab 二.切线问题（二） x2y23.若P0(x0,y0)在椭圆221外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点 abxxyy弦P1P2的直线方程是02023. abx2y24.若P

2、0(x0,y0)在双曲线221（a0,b0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点 abxxyy为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02023 ab 三.面积 x2y25.椭圆221(ab0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点 abF1PF2，则椭圆的焦点角形的面积为SF1PF2b2tan. 2x2y26.双曲线221（a0,bo）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点 abb2F1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为SF1PF2tan2 四.焦半径 x2y27.椭圆221（ab0）的焦半径公式： ab|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0),F2(c,

3、0)M(x0,y0).x2y28.双曲线221（a0,bo）的焦半径公式：(F1(c,0),F2(c,0) ab当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a. 当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a 五.中点弦 x2y29.AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则 abb2kOMkAB2， ab2x0即KAB2. ay0x2y210.AB是双曲线221（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中 abb2x0b2x0点，则KOMKAB2，即KAB2。 ay0ay0 六.离心率 x2y211.设

4、椭圆221（ab0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意 ab一点，在PF1F2中，记F1PF2,PF1F2,F1F2P，则有 since. sinsina x2y212.设双曲线221（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线 ab上任意一点，在PF1F2中，记F1PF2,PF1F2,F1F2P，则有 since. sinsina 七.焦半径之积 x2y213.设P点是椭圆221（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记 ab2b2.F1PF2，则(1)|PF1|PF2|1cosx2y214.设P点是双曲线221（a0,b0）上异于实轴端点

5、的任一点,F1、F2为其焦点记 ab2b2.F1PF2，则(1)|PF1|PF2|1cos 扩展阅读：解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结 A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第肯定义中，r1+r2=2a。其次定义中，r1=ed1r2=ed2。 （2）双曲线有两种定义。第肯定义中， x0y02k02ab（3）y2=2px（p0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)

6、与到准线的距离和最小,则点P的坐标为_ (2)抛物线C:y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为。分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则PHPF，因而易发觉，当A、P、F三点共线时，距离和最小。（2）B在抛物线内，如图，作QRl交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。解：（1）（2，2） 连PF，当A、P、F三点共线时，HPFAQBr1r22a，当r1r2时，留意r2的最小值为c-a：第 二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应留意其次定义的应用，经常将半径与“点到准线距离”相互转化。（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，许多

7、抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应留意不要无视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作

8、差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，详细有： APPHAPPF最小，此时AF的方程为y420(x1)即y=22(x-1),代入y2=4x得 311,2)，它为直线AF2P(2,22)，（注：另一交点为( 与抛物线的另一交点，舍去） （2）（ 1,1）4过Q作QRl交于R，当B、Q、R三点共线时，BFBR最小，此时Q点的纵坐标为1， x2y2（1）221(ab0)与直线相交于A、 abB，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有 代入y2=4x得x= x0y02k0。2ab11，Q(,1)44点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”相互转化的一个典型例题，请认真体会。

9、 x2y2（2）221(a0,b0)与直线l相交于 ab x2y21的右焦点，A(1,1)为例2、F是椭圆43椭圆内肯定点，P为椭圆上一动点。 （1）PAPF的最小值为（2）PA2PF的最小值为分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF或准线作出来考虑问题。解：（1）4-5设另一焦点为F，则F(-1,0)连AF,PFF0yAFPHx分析：作图时，要留意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C共线，B、D、M共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的MCMD）。 解：如图，MCMD，yMDC5xA0BACMAMBDB即6MAMB2MAMB8（*）点

10、M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15 x2y21轨迹方程为PAPFPA2aPF2a(PFPA)2aAF451615当P是FA的延长线与椭圆的交点时, 点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出 PAPF取得最小值为4-5。 （2）3 作出右准线l，作PHl交于H，因a=4，b=3，c2=1，a=2，c=1，e= PF2 2 (x1)2y2(x1)2y24，再移项，平 方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！ 例 4、ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 1，2sinC-sinB= 1PH,即2PFPH23sinA,求点A

11、的轨迹方程。5分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系。 PA2PFPAPH 当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为 a2xA413c 例3、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)+y=4外切,求圆心M的轨迹方程。 222 解：sinC-sinB= 35sinA 2RsinC-2RsinB= 32RsinA53BC5ABAC 即ABAC6（*） 点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）2a=6，2c=10a=3，c=5，b=4 2915,y054当4x02+1=3即x0时M(52时，(y0)min此

12、 42x2y21（x3）所求轨迹方程为 916点评：要留意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明白轨迹（双曲线右支）例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。 （2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0) 22(x1x2)2(x12x2)9则x1x22x

13、022x1x22y025,)24yMAA1A20M1M2B1B2xB，2MM2AA2BB2AFBFAB3MM2313，即MM1，2425，当AB经过焦点F时取得最小值。454MM1M到x轴的最短距离为 点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设 由得(x1-x2)21+(x1+x2)2=9 即(x1+x2)2-4x1x21+(x1+x2)2=9由、得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得(2x0) 202 而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，奇妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转

14、化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。、 -(8x02-4y0)1+(2x0)2=9 94y04x，214x09924y04x2(4x01)21 4x04x0120 x2y21(2m5)过其左焦点例6、已知椭圆 mm1且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、D、设f(m)=ABCD,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。 分析：此题初看很简单，对f(m)的构造不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A

15、在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，马上可得防 （2）f(m)22m1112(1) 2m12m1当m=5时，f(m)min1029423当m=2时，f(m)max点评：此题因最终需求xBxC，而BC斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC中点为M(x0,y0),通过将B、C坐标代入作差，得 x0y0k0，将mm1f(m)(xBxA)2(xDxC)22(xBxA)(xDXC) y0=x0+1，k=1代入得x0x010，mm12(xBxC)(xAxD) x0m2m，可见xBxC 2m12m12(xBXC) 固然，解此题的关键在于对f(m)A

16、BCD的熟悉，通过线段在x轴的“投影”发觉此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。 解：（1）椭圆 2 xy1中，a2=m，b2=m-1，mm122f(m)xBxC是解此题的要点。 c=1，左焦点F1(-1,0) 则2 yCF10F2DBC:y=x+1,2 代入椭圆方程即 AB(m-1)x+my-m(m-1)=0 得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0(2m-1)x+2mx+2m-m=0 22 x设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=- 2m(2m5) 2m1 f(m)ABCD2(xBxA)(xDxC)2(x1x2)(xAxC)2x1x22 2m2m1 【同步练习】 x2y

17、21、已知：F1，F2是双曲线221的左、右 ab焦点，过F1作直线交双曲线左支于点A、B，若 x2y21上一点M的横坐标为5、已知双曲线 9164，则点M到左焦点的距离是 6、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 ABm，ABF2的周长为（） 7、已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点 A、4aB、4a+mC、4a+2m p(-2，0)，则弦AB中点的轨迹方程是 D、4a-m 2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的 8、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长 距离小1，则P点的轨迹方程是 为 9、直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的

18、交点个数只有 （） 一个，则k= A、y2=-16xB、y2=-32xC、y2=16xD、y=32x 3、已知ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且ABAC，点B、C的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，则顶点A的轨迹方程是（） 2 x2y21上的动点，F1，10、设点P是椭圆 259F2是椭圆的两个焦点，求sinF1PF2的最大值。 11、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l与此椭圆相交于A、B两点，且AB中点M为(-2，1)，AB43，求直线l的方程和椭圆方程。 12、已知直线 l 和双曲线 x2y21B、A、43x

19、2y21(x0)43x2y21(x0)D、C、43x2y21(x0且y0)434、过原点的椭圆的一个焦点为F(1，0)，其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程是 （） 1292A、(x)y(x1)B、 24x2y221(a0,b0)及其渐近线的交点从左到2ab右依次为A、B、C、D。求证：ABCD。 5 19(x)2y2(x1) 241292C、x(y)(x1)D、 2419x2(y)2(x1) 【参考答案】 1、C 将x 11 代入y=2x2得y，轨迹方程是22 AF2AF12a,BF2BF12a， x 11(y)227、y2=x+2(x2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x

20、，y)，则 22y122x1,y22x2,y12y22(x1x2),AF2BF2AB4a,AF2BF2AB4a2m,选C 2、C 点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线 y1y2(y1x1x2p=8开口向右，则方程为y2=16x，选C 3、D ABAC22，且ABAC 点A的轨迹为椭圆在y轴右方的局部、又A、B、C三点不共线，即y0，应选D。 4、A 设中心为(x，y)，则另一焦点为(2x-1，2y)，则原点到两焦点距离和为4得 1(2x1)2(2y)24，(x1)2y2924又c 4b22b21+cos=r1+r22r1r2，2r1r2r1r2r1r2的最大值为a2 12、证明：设A

21、(x1，y1)，D(x2，y2)，AD中点为M(x0，y0)直线l的斜率为k，则 x12y12212-得ab22x2y21a2b2182b21+cos的最小值为2，即1+cos 25acos2x02y02k02ab77，0arccos则当2525 ,y1),C(x2,y2),BC中点为M(x0,y0)，设B(x1x12y1211202则ab122y1x22202ba12y02x1-得22k0 ab2时，sin取值得最大值1， 即sinF1PF2的最大值为1。 x2y211、设椭圆方程为221(ab0) aba2c成等差数列，由题意：C、2C、ca2c即a22c2，4ccca2=2(a2-b2)

22、,a2=2b2椭圆方程为y2) 22x12y12x2y21则221 2bb2b2b222x12x2y12y20-得222bb22由、知M、M均在直线l:上，而M、M又在直线l上， 2x2yk0a2b2若l过原点，则B、C重合于原点，命题成立若l与x轴垂直，则由对称性知命题成立若l不过原点且与x轴不垂直，则M与M重合ABCD xy1，设A(x1，y1)，B(x2，2b2b2椭圆与双曲线的对偶性质总结 椭圆 1.点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角.2.PT平分PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦PQ为直径的圆

23、必与对应准线 相离. ， 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. xyk0m2m22bb2k0k=1即2直线AB方程为y-1=x+2即y=x+3，代入椭圆方程即x2+2y2-2b2=0得x2+2(x+3)2-2b2=0 3x2+12x+18-2b2=0 112212(182b2)243x2y25.若P30(x0,y0)在椭圆221上，则过P0的椭 ab x0xy0y2221.圆的切线方程是2xy2ab1，直线解得b=12，椭圆方程为 2412x2y26.若P0(x0,y0)在椭圆221外，则过Po作 l方程为x-y+3=0abABx1x211 椭圆的两条切线切点为P1、P2，

24、则切点弦P1P2的 直线方程是 x0xy0ya2b21.椭圆x2y27.a2b21(ab0)的左右焦点分别为 F1，F2，点P为椭圆上任意一点F1PF2，则 椭圆的焦点角形的面积为S2F1PF2btan2. 8.椭圆x2y2a2b21（ab0）的焦半径公式： |MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0), F2(c,0)M(x0,y0). 9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点， A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MFNF. 10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，

25、A2P和A1Q交于点N，则MFNF. AB是椭圆x2y211.a2b21的不平行于对称轴的弦， M(x的中点，则kb20,y0)为ABOMkABa2， b2即Kx0ABa2y。 0若P(xx2y212.00,y0)在椭圆a2b21内， 则被Po所平x2分的中点弦的方程是0xy0yx20y0a2b2a2b2. 13.若Px2y20(x0,y0)在椭圆a2b21内， 则过Po的弦中点的轨迹方程是x2y2x0xy0ay2b2a2b2. 双曲线 1.点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内 角. 2.PT平分PF1F2在点P处的内角，则焦点在 直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的

26、两个端点. 3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直 8 径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支） 在双曲线x2y25.若P0(x0,y0)a2b21（a0,b 0）上，则过P0的双曲线的切线方程是x0xa2y0yb21.Px2y26.若0(x0,y0)在双曲线a2b21（a0,b 0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是 x0xa2y0yb21.双曲线x2y27.a2b21（a0,bo）的左右焦点 分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点 F1PF2， 则双曲线的焦点角形的面积为SF1PF2b2co

27、t2. 8.双曲线x2y2a2b21（a0,bo）的焦半径公 式：(F1(c,0),F2(c,0) 当 M(x0,y0)在右支上时， |MF1|ex0a,|MF2|ex0a. 当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a 9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、 Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MFNF. 10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两 点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF. x211.AB是双曲线y2a2b21（a0,b0）的不

28、 平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中 2点 ，则 KOMKbx0ABa2y，即 02Kbx0ABa2y。 若Px2y212.0(x0,y0)在双曲线a2b21（a0,b 0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是 x220xa2y0yx0y0b2a2b2.13.若Px2y20(x0,y0)在双曲线a2b21（a0,b 0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是 x2a2y2x0xy0yb2a2b2.椭圆与双曲线的经典结论 椭圆 椭圆x2y21.a2b21（abo）的两个顶点为 A1(a,0),A2(a,0)， 与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是 x2y2a2

29、b21.x22.过椭圆y2a2b21(a0,b0)上任一点 A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交 椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且 2kbx0BCa2y（常数）.0x2y23.若P为椭圆a2b21（ab0）上异于 长轴端点的任一点,F1,F 2 是焦点,PF1F2, PF2F1， 则 acactaco2n2.t设椭圆x2y24.a2b21（ab0）的两个焦点 为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记F1PF2, PF1F2, F1F2P，则有 sincsinsinae. x2y25.若椭圆a2b21（ab0）的左、右焦 9 点分别为F1、F2，左准线为L

30、，则当0e 21时，可在椭圆上求一点P，使得PF1 是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. P为椭圆x2y26.a2b21（ab0）上任一 点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内肯定点，则 2a|AF2|PA|PF1|2a|AF1|,当且 仅当A,F2,P三点共线时，等号成立. 7.椭圆(xx0)2(yy0)2a2b21与直线AxByC0有公共点的充要条件是 A2a2B2b2(Ax0By0C)2. x28.已知椭圆ay22b21（ab0），O为坐标 原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ. （1）1|OP|21|OQ|21a21b2;（2）2 2 的最大值为4a2b2|OP|+|OQ|a2b2（

31、;3）SOPQ的最小值是a2b2a2b2. x29.过椭圆y2a2b21（ab0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则 |PF|MN|e2. 已知椭圆x2ay210.2b21（ab0）,A、B、 是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x 轴相交于点P(x0,0),则 a2b2a2b2ax0a. 设P点是椭圆x2y211.a2b21（ab0）上异 于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记 F1PF2，则(1) PF2b2|1|PF2|1cos.(2) S2PF1F2btan2. 2212.设A、B是椭圆 xa2yb21（ab0）的长轴两端点，P是椭圆上的一

32、点， PAB,PBA,BPA，c、e分别是椭圆的 半焦距离心率，则 有(1)|PA|2ab2|cos|a2c2cos2.(2)tantan1e2.(3) 2a2b2SPABb2a2cot.已知椭圆x2y213.a2b21（ab0）的右准线 l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直 线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF的中点. 14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长 轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准 线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直. 16.椭圆焦三角形中,内点到一

33、焦点的距离与以 该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连 线段分成定比e. 10 18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆 中心的比例中项. 双曲线 双曲线x2y21.a2b21（a0,b0）的两个 顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行 的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2 x2y2交点的轨迹方程是a2b21. x22.过双曲线y2a2b21（a0,bo）上任 一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补 的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC

34、有定向且kb2x0BCa2y（常数）. 03.若P为双曲线x2y2a2b21（a0,b0） 右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,PF1F2,PF2F1，则 cacatan2cot2（或 cacatacon22）.t4.设双曲线x2y2a2b21（a0,b0）的两 个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记 F1PF2, PF1F2,F1F2P，则有 sin(sinsin)cae. 若双曲线x2y25.a2b21（a0,b0）的左、 右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1e21时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d 与PF2的

35、比例中项. P为双曲线x2y26.a2b21（a0,b0）上 任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内肯定点，则|AF2|2a|PA|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立. x227.双曲线 a2yb21（a0,b0）与直线AxByC0有公共点的充要条件 是A2a2B2b2C2. 已知双曲线x2y28.a2b21（ba0），O 为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ.（1） 11|OP|2|OQ|21a21b2;（2）2|OP|2 +|OQ|2 的最小值为4ab2b2a2（;3）SOPQ的a2b2最小值是b2a2. x29.过双曲线y2a2b21（

36、a0,b0）的右 焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P， 则 |PF|MN|e2.2210.已知双曲线 xa2yb21（a0,b0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直 平分线与x轴相交于点P(x0,0),则 a2b2a2b2x0a或x0a. 设P点是双曲线x2y211.a2b21（a0,b 0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2，则(1) 2b2|PF1|PF2|1cos.(2) SPF1F2b2cot2. 11 设A、B是双曲线x2y212.a2b21（a0,b 0）的长轴两端点，P是双曲线上的一 点，PAB, PBA,BPA，c、

37、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有 (1)|PA|2ab2|cos|a2c2cos2|. (2)tantan1e2.(3) 2a2b2SPABb2a2cot.13.已知双曲线x2y2a2b21（a0,b0）的 右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF的中点.14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切 线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线 交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径相互垂直. 16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距 离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心 将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点 到双曲线中心的比例中项. 友情提示：本文中关于椭圆 双曲线 经典结论总结11给出的范例仅供您参考拓展思维使用，椭圆 双曲线 经典结论总结11：该篇文章建议您自主创作。