椭圆 双曲线 经典结论总结11.doc

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1、椭圆 双曲线 经典结论总结11椭圆 双曲线 经典结论总结11椭圆双曲线经典结论总结数学王老师课堂内部资料内部学习使用手机：13606340917QQ：1193858004一切线问题（一）x0xy0yx2y221.11.若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000222ababx2y22.若P0(x0,y0)在双曲线221（a0,b0）上，则过P0的双曲线的切线方程是abx0xy0y21.2ab二.切线问题（二）x2y23.若P0(x0,y0)在椭圆221外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点abxxyy弦P1P2的直线方程是02021.abx2y24.若P0(x0,y

2、0)在双曲线221（a0,b0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点abxxyy为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02021ab三.面积x2y25.椭圆221(ab0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点abF1PF2，则椭圆的焦点角形的面积为SF1PF2b2tan.2x2y26.双曲线221（a0,bo）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点abb2F1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为SF1PF2tan2四.焦半径x2y27.椭圆221（ab0）的焦半径公式：ab|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0),F2(c,0)M(x0,y0).x2y28

3、.双曲线221（a0,bo）的焦半径公式：(F1(c,0),F2(c,0)ab当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a五.中点弦x2y29.AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则abb2kOMkAB2，ab2x0即KAB2.ay0x2y210.AB是双曲线221（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中abb2x0b2x0点，则KOMKAB2，即KAB2。ay0ay0六.离心率x2y211.设椭圆221（ab0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长

4、轴端点）为椭圆上任意ab一点，在PF1F2中，记F1PF2,PF1F2,F1F2P，则有since.sinsinax2y212.设双曲线221（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线ab上任意一点，在PF1F2中，记F1PF2,PF1F2,F1F2P，则有since.sinsina七.焦半径之积x2y213.设P点是椭圆221（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记ab2b2.F1PF2，则(1)|PF1|PF2|1cosx2y214.设P点是双曲线221（a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记ab2b2.F1PF2，则(1)|PF1|P

5、F2|1cos扩展阅读：解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1r2=ed2。（2）双曲线有两种定义。第一定义中，x0y02k02ab（3）y2=2px（p0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.【典型例题】例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点P的坐标为_(2)抛物线C:y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦

6、点F的距离和最小,则点Q的坐标为。分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则PHPF，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。（2）B在抛物线内，如图，作QRl交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。解：（1）（2，2）连PF，当A、P、F三点共线时，HPFAQBr1r22a，当r1r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与

7、圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点为M(x0,y0)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：APPHAPPF最小，此时AF的方程

8、为y420(x1)即y=22(x-1),代入y2=4x得311,2)，它为直线AF2P(2,22)，（注：另一交点为(与抛物线的另一交点，舍去）（2）（1,1）4过Q作QRl交于R，当B、Q、R三点共线时，BQQFBQQR最小，此时Q点的纵坐标为1，x2y2（1）221(ab0)与直线相交于A、abB，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有代入y2=4x得x=x0y02k0。2ab11，Q(,1)44点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。x2y2（2）221(a0,b0)与直线l相交于abx2y21的右焦点，A(1,1)为例2、F是椭圆43椭圆内一定点

9、，P为椭圆上一动点。（1）PAPF的最小值为（2）PA2PF的最小值为分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF或准线作出来考虑问题。解：（1）4-5设另一焦点为F，则F(-1,0)连AF,PFF0yAFPHx分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线（如图中的A、M、C共线，B、D、M共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的MCMD）。解：如图，MCMD，yMDC5xA0BACMAMBDB即6MAMB2MAMB8（*）点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b2=15x2y21轨迹方程为PAPFPA2aPF2a(PFPA)2aAF45161

10、5当P是FA的延长线与椭圆的交点时,点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出PAPF取得最小值为4-5。（2）3作出右准线l，作PHl交于H，因a=4，b=3，c2=1，a=2，c=1，e=PF22(x1)2y2(x1)2y24，再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！例4、ABC中，B(-5,0),C(5,0),且1，2sinC-sinB=1PH,即2PFPH23sinA,求点A的轨迹方程。5分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系。PA2PFPAPH当A、P、H

11、三点共线时，其和最小，最小值为a2xA413c例3、动圆M与圆C1:(x+1)2+y2=36内切,与圆C2:(x-1)+y=4外切,求圆心M的轨迹方程。222解：sinC-sinB=35sinA2RsinC-2RsinB=32RsinA53BC5ABAC即ABAC6（*）点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）2a=6，2c=10a=3，c=5，b=42915,y054当4x02+1=3即x0时M(52时，(y0)min此42x2y21（x3）所求轨迹方程为916点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中

12、点为M，求点M到x轴的最短距离。分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0)22(x1x2)2(x12x2)9则x1x22x022x1x22y025,)24yMAA1A20M1M2B1B2xB，2MM2AA2BB2AFBFAB3MM2313，即MM1，2425，当AB经过焦点F时取得最小值。454MM1M到x

13、轴的最短距离为点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于x0的函数，这是一种“设由得(x1-x2)21+(x1+x2)2=9即(x1+x2)2-4x1x21+(x1+x2)2=9由、得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得(2x0)202而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标

14、也不能直接得出。、-(8x02-4y0)1+(2x0)2=994y04x，214x09924y04x2(4x01)214x04x0120x2y21(2m5)过其左焦点例6、已知椭圆mm1且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、D、设f(m)=ABCD,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防（2）f(m)22m1112(1)2m12m1当m=5时，f(m)min1029423当m=2时，f(

15、m)max点评：此题因最终需求xBxC，而BC斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC中点为M(x0,y0),通过将B、C坐标代入作差，得x0y0k0，将mm1f(m)(xBxA)2(xDxC)22(xBxA)(xDXC)y0=x0+1，k=1代入得x0x010，mm12(xBxC)(xAxD)x0m2m，可见xBxC2m12m12(xBXC)当然，解本题的关键在于对f(m)ABCD的认识，通过线段在x轴的“投影”发现此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。解：（1）椭圆2xy1中，a2=m，b2=m-1，mm122f(m)xBxC是解此题的要点。c=1，左焦点F1(-1,0)则2yCF10F2D

16、BC:y=x+1,2代入椭圆方程即AB(m-1)x+my-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0(2m-1)x+2mx+2m-m=022x设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-2m(2m5)2m1f(m)ABCD2(xBxA)(xDxC)2(x1x2)(xAxC)2x1x222m2m1【同步练习】x2y21、已知：F1，F2是双曲线221的左、右ab焦点，过F1作直线交双曲线左支于点A、B，若x2y21上一点M的横坐标为5、已知双曲线9164，则点M到左焦点的距离是6、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是ABm，ABF2的周长

17、为（）7、已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点A、4aB、4a+mC、4a+2mp(-2，0)，则弦AB中点的轨迹方程是D、4a-m2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的8、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长距离小1，则P点的轨迹方程是为9、直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的交点个数只有（）一个，则k=A、y2=-16xB、y2=-32xC、y2=16xD、y=32x3、已知ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且ABAC，点B、C的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，则顶点A的轨迹方程是（）2x2y21上的动点，F1，10、设点P是椭圆259

18、F2是椭圆的两个焦点，求sinF1PF2的最大值。11、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l与此椭圆相交于A、B两点，且AB中点M为(-2，1)，AB43，求直线l的方程和椭圆方程。12、已知直线l和双曲线x2y21B、A、43x2y21(x0)43x2y21(x0)D、C、43x2y21(x0且y0)434、过原点的椭圆的一个焦点为F(1，0)，其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程是（）1292A、(x)y(x1)B、24x2y221(a0,b0)及其渐近线的交点从左到2ab右依次为A、B、C、D。求证：ABCD。519(x)2y2

19、(x1)241292C、x(y)(x1)D、2419x2(y)2(x1)【参考答案】1、C将x11代入y=2x2得y，轨迹方程是22AF2AF12a,BF2BF12a，x11(y)227、y2=x+2(x2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x，y)，则22y122x1,y22x2,y12y22(x1x2),AF2BF2AB4a,AF2BF2AB4a2m,选C2、C点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线y1y2(y1x1x2p=8开口向右，则方程为y2=16x，选C3、DABAC22，且ABAC点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线，即y0，故选D。4

20、、A设中心为(x，y)，则另一焦点为(2x-1，2y)，则原点到两焦点距离和为4得1(2x1)2(2y)24，(x1)2y2924又c4b22b21+cos=r1+r22r1r2，2r1r2r1r2r1r2的最大值为a212、证明：设A(x1，y1)，D(x2，y2)，AD中点为M(x0，y0)直线l的斜率为k，则x12y12212-得ab22x2y21a2b2182b21+cos的最小值为2，即1+cos25acos2x02y02k02ab77，0arccos则当2525,y1),C(x2,y2),BC中点为M(x0,y0)，设B(x1x12y1211202则ab122y1x22202ba1

21、2y02x1-得22k0ab2时，sin取值得最大值1，即sinF1PF2的最大值为1。x2y211、设椭圆方程为221(ab0)aba2c成等差数列，由题意：C、2C、ca2c即a22c2，4ccca2=2(a2-b2),a2=2b2椭圆方程为y2)22x12y12x2y21则2212bb2b2b222x12x2y12y20-得222bb22由、知M、M均在直线l:上，而M、M又在直线l上，2x2yk0a2b2若l过原点，则B、C重合于原点，命题成立若l与x轴垂直，则由对称性知命题成立若l不过原点且与x轴不垂直，则M与M重合ABCDxy1，设A(x1，y1)，B(x2，2b2b2椭圆与双曲线

22、的对偶性质总结椭圆1.点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角.2.PT平分PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.，4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.xyk0m2m22bb2k0k=1即2直线AB方程为y-1=x+2即y=x+3，代入椭圆方程即x2+2y2-2b2=0得x2+2(x+3)2-2b2=03x2+12x+18-2b2=0112212(182b2)243x2y25.若P30(x0,y0)在椭圆221上，则过P0的椭abx0xy0y2221.圆的切线方程是

23、2xy2ab1，直线解得b=12，椭圆方程为2412x2y26.若P0(x0,y0)在椭圆221外，则过Po作l方程为x-y+3=0abABx1x211椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xy0ya2b21.椭圆x2y27.a2b21(ab0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点F1PF2，则椭圆的焦点角形的面积为S2F1PF2btan2.8.椭圆x2y2a2b21（ab0）的焦半径公式：|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0),F2(c,0)M(x0,y0).9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和

24、AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MFNF.10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF.AB是椭圆x2y211.a2b21的不平行于对称轴的弦，M(x的中点，则kb20,y0)为ABOMkABa2，b2即Kx0ABa2y。0若P(xx2y212.00,y0)在椭圆a2b21内，则被Po所平x2分的中点弦的方程是0xy0yx20y0a2b2a2b2.13.若Px2y20(x0,y0)在椭圆a2b21内，则过Po的弦中点的轨迹方程是x2y2x0xy0ay2b2a2b2.双曲线1.点P处的切

25、线PT平分PF1F2在点P处的内角.2.PT平分PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直8径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）在双曲线x2y25.若P0(x0,y0)a2b21（a0,b0）上，则过P0的双曲线的切线方程是x0xa2y0yb21.Px2y26.若0(x0,y0)在双曲线a2b21（a0,b0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2y0yb21.双曲线x2y27.a2b21（a

26、0,bo）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点F1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为SF1PF2b2cot2.8.双曲线x2y2a2b21（a0,bo）的焦半径公式：(F1(c,0),F2(c,0)当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a.当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MFNF.10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于

27、点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF.x211.AB是双曲线y2a2b21（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中2点，则KOMKbx0ABa2y，即02Kbx0ABa2y。若Px2y212.0(x0,y0)在双曲线a2b21（a0,b0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是x220xa2y0yx0y0b2a2b2.13.若Px2y20(x0,y0)在双曲线a2b21（a0,b0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是x2a2y2x0xy0yb2a2b2.椭圆与双曲线的经典结论椭圆椭圆x2y21.a2b21（abo）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线

28、交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是x2y2a2b21.x22.过椭圆y2a2b21(a0,b0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且2kbx0BCa2y（常数）.0x2y23.若P为椭圆a2b21（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,PF1F2,PF2F1，则acactaco2n2.t设椭圆x2y24.a2b21（ab0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记F1PF2,PF1F2,F1F2P，则有sincsinsinae.x2y25.若椭圆a2b21（ab0）的左、右

29、焦9点分别为F1、F2，左准线为L，则当0e21时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.P为椭圆x2y26.a2b21（ab0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2a|AF2|PA|PF1|2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.7.椭圆(xx0)2(yy0)2a2b21与直线AxByC0有公共点的充要条件是A2a2B2b2(Ax0By0C)2.x28.已知椭圆ay22b21（ab0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）1|OP|21|OQ|21a21b2;（2）22的最大值为4a2b2|OP|+|OQ|a

30、2b2（;3）SOPQ的最小值是a2b2a2b2.x29.过椭圆y2a2b21（ab0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则|PF|MN|e2.已知椭圆x2ay210.2b21（ab0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),则a2b2a2b2ax0a.设P点是椭圆x2y211.a2b21（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2，则(1)PF2b2|1|PF2|1cos.(2)S2PF1F2btan2.2212.设A、B是椭圆xa2yb21（ab0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB,PBA,

31、BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|2ab2|cos|a2c2cos2.(2)tantan1e2.(3)2a2b2SPABb2a2cot.已知椭圆x2y213.a2b21（ab0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常

32、数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.1018.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.双曲线双曲线x2y21.a2b21（a0,b0）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2x2y2交点的轨迹方程是a2b21.x22.过双曲线y2a2b21（a0,bo）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kb2x0BCa2y（常数）.03.若P为双曲线x2y2a2b

33、21（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,PF1F2,PF2F1，则cacatan2cot2（或cacatacon22）.t4.设双曲线x2y2a2b21（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记F1PF2,PF1F2,F1F2P，则有sin(sinsin)cae.若双曲线x2y25.a2b21（a0,b0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1e21时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.P为双曲线x2y26.a2b21（a0,b0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双

34、曲线内一定点，则|AF2|2a|PA|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.x227.双曲线a2yb21（a0,b0）与直线AxByC0有公共点的充要条件是A2a2B2b2C2.已知双曲线x2y28.a2b21（ba0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ.（1）11|OP|2|OQ|21a21b2;（2）2|OP|2+|OQ|2的最小值为4ab2b2a2（;3）SOPQ的a2b2最小值是b2a2.x29.过双曲线y2a2b21（a0,b0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则|PF|MN|e2.22

35、10.已知双曲线xa2yb21（a0,b0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),则a2b2a2b2x0a或x0a.设P点是双曲线x2y211.a2b21（a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2，则(1)2b2|PF1|PF2|1cos.(2)SPF1F2b2cot2.11设A、B是双曲线x2y212.a2b21（a0,b0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，PAB,PBA,BPA，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|PA|2ab2|cos|a2c2cos2|.(2)tantan1e2.(3)2a2b2SPABb2a2

36、cot.13.已知双曲线x2y2a2b21（a0,b0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF的中点.14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.第 16 页 共 16 页