对数和对数运算.pdf

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1、 课题 2.2.1 对数和对数运算【新课学习】一.对数 问题一：庄子：一尺之棰,日取其半,万世不竭.（1）取 4 次,还有多长？（2）取多少次,还有 0.125 尺？问题二：假设 2002 年我国国民生产总值为 a 亿元,如果每年平均增长 8%,那么经过多少年国民生产总值是2002 年的 2 倍？抽象出：1.(21)4？2.(21)x0.125x=?问题三：2x=10 x=?都是已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数（一）对数的概念 若Nax)1,0(aa，则x叫做以a为底N的对数（Logarithm），记作：

2、Nxalog 其中a 底数，N 真数，Nalog 对数式 说明：1 注意底数的限制0a，且1a；2 xNNaaxlog；并解决问题 3 3 注意对数的书写格式（二）探究对数的性质（1）负数和零没有对数；N 0；（2）1 的对数是零：01loga；（3）底数的对数是 1：1logaa；（4）对数恒等式：NaNalog；（5）nanalog（三）两种特殊的对数：常用对数10loglgNN记为；自然对数 eloglnNN记为；（无理数 e=2.718 28）二.对数的的运算 1.回顾 负数与零没有对数；01loga，1logaa 对数恒等式NaNalog(4)指数运算法则)()(),()(),(Rn

3、baabRnmaaRnmaaannnmnnmnmnm 2积、商、幂的对数运算法则：如果 a 0，a 1，M 0，N 0 有：)()()(3R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1NlogMlog(MN)loganaaaaaaa 证明：设alogM=p,alogN=q 由对数的定义可以得：M=pa，N=qa MN=paqa=qpa alogMN=alogqpa alogMN=p+q，即证得alogMN=alogM+alogN 设alogM=p，alogN=q 由对数的定义可以得 M=pa，N=qa qpqpaaaNM qpNMalog qpNMalog 即证得NMNMaaalog

4、loglog 设alogM=P 由对数定义可以得 M=pa,nMnpa alognM=np，即证得alognM=nalogM 说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式 简易语言表达：“积的对数=对数的和”有时逆向运用公式：如110log2log5log101010 真数的取值范围必须是),0(：)5(log)3(log)5)(3(log222 是否成立？)10(log2)10(log10210是否成立？对公式容易错误记忆，要特别注意：NMMNaaaloglog)(log NMNMaaal o gl o

5、g)(l o g 4.对数换底公式：(1)aNNmmalogloglog (a0,a 1，m0,m 1,N0)证明：设 alog N=x,则 xa=N 两边取以 m 为底的对数：NaxNammmxmloglogloglog 从而得：aNxmmloglog aNNmmalogloglog(2).两个常用的推论:1loglogabba，1logloglogacbcba bmnbanamloglog（a,b0 且均不为 1）证：1lglglglgloglogbaababba；bmnambnabbamnnamloglglglglglog【经典例题】例 1 将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式：（1

6、）54=625;（2）2-6=641;（3）(31)m=5.73;(4)log2116=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.例 2 求下列各式中 x 的值:og64x=32;（2）logx8=6;（3）lg100=x;（4）-lne2=x.例 3 用xalog，yalog，zalog表示下列各式：（1）zxyloga 332log)3(2)logzyxzyxaa（4）zyxa3log 例 4 计算（1）25log5，（2）1log5.0，（3）)24(log572，（4）5100lg 例 5计算：(1);50lg2lg)5(lg2 (2);25log20lg100(3)

7、.18lg7lg37lg214lg 例 6，已知a9log18，518 b.45log36求 例 7 设16loglog8log4log4843m，求 m 的值 【针对训练】一.教材 64 页练习 1,2,3,4 二.求下列各式中 x 的值log4x=21;logx27=43;log5（log10 x）=1 三.教材 68 页练习 1,2,3,4【练习检测】1.把下列各题的指数式写成对数式:(1)4216;（2）30=1;（3）4x2;（4）2x0.5;(5)54=625;(6)3-2=91;(7)(41)-2=16.2.把下列各题的对数式写成指数式:(1)log527;(2)log87;(3

8、)log43;(4)log731;(5)log216=4;(6)log3127=-3;(7)logx3=6;(8)logx64=-6;(9)log2128=7;(10)log327=a.3.求下列各式中 x 的值:(1)log8x=32;(2)logx27=43;(3)log2（log5x）=1;(4)log3（lgx）=0.4.计算(1)求 log84 的值;(2)已知 loga2=m,loga3=n,求 a2m+n的值.5.已知 a3log2，b7log3,用 a,b 表示56log42 6.求值.25log20lg100 7.以下四个命题中,属于真命题的是（）（1）若 log5x=3,则

9、 x=15（2）若 log25x=21,则 x=5（3）若 logx5=0,则 x=5（4）若 log5x=3,则 x=1251 A.（2）（3）B.（1）（3）C.（2）（4）D.（3）（4）8.对于 a0,a1,下列结论正确的是（）（1）若 M=N,则 logaM=logaN （2）若 logaM=logaN,则 M=N （3）若 logaM2=logaN2,则 M=N （4）若 M=N,则 logaM2=logaN2 A.（1）（3）B.（2）（4）C.（2）D.（1）（2）（4）9 计算：3log12.05,4log16log327【归纳小结】1、对数的概念 一般地，如果函数10aaN

10、ax且那么数x叫做以a为底N的对数，记作 logaxN，其中 a 叫做对数的底数，N叫做真数。2 对数与指数的互化 bNNaablog 3.对数的基本性质 负数和零没有对数；01loga；1logaa 对数恒等式：NaNalog；nanalog 4.积、商、幂的对数运算法则：如果 a 0，a 1，M 0，N 0 有：)()()(3R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1NlogMlog(MN)loganaaaaaaa 5.对数换底公式：(1)aNNmmalogloglog (a0,a 1，m0,m 1,N0)6.两个常用结论:1.1loglogabba，1logloglogacbcba2.bmnambnabbamnnamloglglglglglog【课后作业】教材 74 页 A1,2,3,4,5,11,B1