对数概念和运算.pdf

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1、.对数概念及其运算知识点 1 对数1.对数的定义如果aa 0,a 1的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。在对数函数logaN b中，a的取值范围是a 0,且a 1，N的取值范围是N 0，b的取值范围是bR。【注意】根据对数的定义可知（1）零和负数没有对数，真数为正数，即N 0（2）在对数中必须强调底数a 0且a 12.常用对数（1）定义：以 10 为底的对数叫做常用对数，log10N记做lgN。（2）常用对数的性质10 的整数指数幂的对数就是幂的指数，即lg10 n n是整数3.自然对数（1）定义：以e 2.71828为底的对数叫

2、做自然对数，logeN通常记为InN。（2）自然对数与常用对数之间的关系：依据对数换底公式，可以得到自然对数与常用对数之间的关系：InN nlg Nlg N，即InN 2.303lgN。lge0.43434.指数式与对数式的互化（1）符号logaN既是一个数值，也是一个算式，即已知底数和在某一个指数下的幂，求其b指数的算式。对数式logaN b的a、N、b在指数式a N中分别是底数、指数和幂。（2）充分利用指数式和对数式的互换，讲述四条规则：在logaN b中，必须N 0，这是由于在实数范围内，正数任何次幂都是正数，因而ab N中的N总是正数，须强调零和负数没有对数。因为a 1，所以loga1

3、 0。因为a a,所以logaa 1。b因为a N，所以logaN b，所以al0gaN10 N。【例 1】下列说法错误的是（）(A)负数和零没有对数（B）任何一个指数式都可以化为对数式（C）以 10 为底的对数叫做常用对数（D）以e为底的对数叫做自然对数.下载可编辑.【例 2】（1）把下列指数式写成对数式111111x3;64;522742165xx（2）把下列对数式写成指数式：log39 2;lg0.001 3;log21 5。32知识点 2对数的运算对数的运算性质如果a 0且a 1，M 0，N 0，那么，(1)logaMN logaM logaN;（2）logaM logaM logbN

4、;Nn（3）logaM nlognMnR；（4）logaMnnlogaMm,nR,m 0。m用语言文字叙述对数运算法则为两个正数的积的对数等于这两个对数的和；两个正数的商的对数等于这两个正数的对数的差；一个正数的n次方的对数，等于这个正数的对数的n倍。【例 3】下列各式与lgab相等的是（）c(A)lgablgcBlgalgblgcClgalgblgcDlgablgc【例 4】计算：1lg0.012;2log442324;3log23log25;4log53log55log52.4.下载可编辑.知识点 3换底公式1.换底公式logbN logaNa 0,a 1,b 0,b 1,N 0logab

5、2.换底公式的推论1logab 1a 0,a 1,b 0,b 1logbam,b 0mba 0,a 12logab loga3logambnnlogaba 0,a 1,b 0,m 0m【例 5】计算：1log832;2log254log85;3log43log83log32log92;4log2log52log79111log3log5;5125893log5log743【例 6】（1）已知lg2 a,lg3 b,用a,b表示lg45的值；b（2）已知log189 a,18 5,用a,b表示log3645的值。.下载可编辑.反函数的概念知识点反函数1.定义对函数y fxxD，设它的值域为A，如

6、果对A中任意一个值y，在D 中总有唯一确定的x值与它对应，且满足y fx，这样得到的x关于y的函数叫做y fx的反函数，记作x f1y，习惯上，自变量常用x来表示，而函数用y表示，所以把它改写为:y f1xx A.2.反函数存在的条件函数y fx存在反函数的充要条件是函数y fx是定义域到值域上的一一映射所确定的函数。注意：单调函数必有反函数。3.反函数与原函数的关系（1）反函数和原函数互为反函数：如果函数y fx有反函数y f1x，那么函数y f1x的反函数是y fx，则y fx与y f1x互为反函数；（2）反函数和原函数的定义域与值域互换定义域值域函数y fx A C反函数y f C A1

7、x（3）互为反函数的函数的图像间的关系函数y fx的图像和它的反函数y f的图像与x f11x的图像关于直线y x对称。函数y fxy的图像是同一个函数图像。4.求反函数的步骤（1）求函数y fx的值域（若值域显然，解题时常略去不写）。（2）反解：由y fx写出（3）改写：在x f1x关于y的关系式；f1x；y中，将x，y互换得到y（4）标明反函数的定义域，即（1）中求出的值域。【例 1】下列函数没有反函数的是：y 3x25;y 1；2x 1.下载可编辑.2x 3(x 0)y 32x1 2;y 3xx 0（A）（B）（C）（D）【例 2】求下列函数的反函数：（1）y 2x1(x 2)；x22（

8、2）y x 4x15 x 2；（3）y x2 xx 1;x210 x 1（4）y 2x1 x 0【例 3】求函数y x 1x 1的反函数.2.下载可编辑.对数概念及运算与反函数总结1、对数的运算法则（将高一级运算向低级运算转化）M logaM logaNN1n（3）logaM nlogaM（4）loganM logaMn（1）logaMN logaM logaN（2）loga2、一个正数的对数是由首数加尾数组成的3、几个常用的对数结论loga1 0logaa 1logaan nalogab blogamannnnlogamb logablogablogba 1mmlogcblgblogcalga4、换底公式：logab 5、常用对数与自然对数6、对数的运算：以同底为基本要求，注意质因数分解，未知数在指数位置即为求对数7、研究反函数是否存在：从函数的单调性出发8、反函数的定义域：与原函数的值域相同，必须研究原函数值域求得9、求反函数的基本步骤，分段函数的反函数分段求得10、原函数与反函数的图像关于y x对称11、f f1x xx Rff1fx xx D12、反函数具有保奇性，并且保持单调性不变13、函数y fx a与y f1x a不是互为反函数关系14、互为反函数的公共点不一定在y x上.下载可编辑.