全等三角形截长补短.pdf

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1、1/16 2010 年暑假 初二数学第 9 讲 教师版 page 1 of 16 板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 全等三角形的性质及判定 会识别全等三角形 掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题 会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等 寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角(3)有公共边的，公共边常是

2、对应边(4)有公共角的，公共角常是对应角(5)有对顶角的，对顶角常是对应角(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键 全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角

3、三角形全等 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线 奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础 知识点睛 中考要求 第九讲 全等三角形中的截长补短 2/16 2010 年暑假 初二数学第 9 讲 教师版 page 2 of 16 板块一、截长补短【例1】(06年北京中考题)已知ABC中，60A，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明 DOECBA 4321FDOECBA【解

4、析】BECDBC，理由是：在BC上截取BFBE，连结OF，利用SAS证得BEOBFO，12，60A，1901202BOCA，120DOE，180ADOE，180AEOADO，13180 ，24180 ，12，34 ，利用AAS证得CDOCFO，CDCF，BCBFCFBECD 【例2】如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作60DMN，射线MN重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL 的判定是整个直角三角形的

5、重点 难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化 重、难点 例题精讲 3/16 2010 年暑假 初二数学第 9 讲 教师版 page 3 of 16 与DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?NEBMADGNEBMAD【解析】猜测DMMN.过点M作MGBD交AD于点G，AGAM，GDMB 又120ADMDMA，120DMANMB ADMNMB，而120DGMMBN，DGMMBN，DMMN 【例3】如图 2-9 所示

6、已知正方形 ABCD 中，M 为 CD 的中点，E 为 MC 上一点，且BAE=2DAM求证：AE=BC+CE 【解析】分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和(BCCE)，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等(2)通过添辅助线先在求证中长线段(AE)上截取与线段中的某一段(如BC)相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段(CE)相等我们用(1)法来证明 证 延长AB到F，使BFCE，则由正方形性质知AFABBFBCCE 下面我们利用全等三角形来证明AEAF为此，连接EF交边BC于G由于对顶角BGFCGE，所以RtBGF

7、CGE AAS，从而12BGGCBCFGEG，BGDM 于是RtRtABGADM SAS，所以12BAGDAMBAEEAG ，AG是EAF的平分线 过G引GHAE于H 因为AG是EAF 的平分线，所以 GB=GH，从而 RtGBFRtGHE(HL)，所以F=HEG，则 AF=AE(底角相等的三角形是等腰三角形)，即 AE=BC+CE 说明 我们也可以按分析(2)的方法来证明结论，为此可先作BAE 的平分线 AG 交边 BC 于 G，再作GHAE 于 H，通过证明ABGAHG 知 AB=AH=BC下面设法证明 HE=CE 即可，请同学们自证 【例4】(“希望杯”竞赛试题)如图，ADAB，CBAB

8、，DM=CM=a，AD=h，CB=k，AMD=75，BMC=45，4/16 2010 年暑假 初二数学第 9 讲 教师版 page 4 of 16 则 AB 的长为 ()A.a B.k C.2kh D.h MDCBAEMDCBA【解析】过点 D 作 BC 的垂线，垂足为 E.AMD=75，BMC=45 DMC=60 DM=CM CD=DM ADAB，DEBC，CBAB，AMD=75 ADM=EDC ADMCDE AD=DE 故 ABED 为正方形，AB=AD=h，选 D.【例5】已知：如图，ABCD 是正方形，FAD=FAE.求证：BE+DF=AE.FEDCBAMFEDCBA【解析】延长 CB

9、 至 M，使得 BM=DF，连接 AM.AB=AD，ADCD，ABBM，BM=DF ABMADF AFD=AMB，DAF=BAM ABCD AFD=BAF=EAF+BAE=BAE+BAM=EAM AMB=EAM AE=EM=BE+BM=BE+DF.【例6】以ABC的AB、AC为边向三角形外作等边ABD、ACE，连结CD、BE相交于点O 求证：OA平分DOE 5/16 2010 年暑假 初二数学第 9 讲 教师版 page 5 of 16 FABCDEOOEDCBA【解析】因为ABD、ACE是等边三角形，所以ABAD，AEAC，CAE60BAD，则BAEDAC，所以BAEDAC，则有ABEADC

10、，AEBACD，BEDC 在DC上截取DFBO，连结AF，容易证得ADFABO，ACFAEO 进而由AFAO得AFOAOF；由AOEAFO 可得AOFAOE，即OA平分DOE 【例7】(北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题)如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长 NMDCBA EABCDMN【解析】如图所示，延长AC到E使CEBM.在BDM与CDE中，因为BDCD，90MBDECD，BMCE，所以BDMCDE，故MDED.因为120BDC，60MDN，所以60BDMNDC.又因为BDMC

11、DE，所以60MDNEDN.在MND与END中，DNDN，60MDNEDN，DMDE，所以MNDEND，则NEMN，所以AMN的周长为2.【例8】如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长 6/16 2010 年暑假 初二数学第 9 讲 教师版 page 6 of 16 DNMCBAFEABCMNDEABCDMN【解析】如图所示，过D作DE交BC于E，使得BEBM；过D作DF交BC于F，使得CFCN.因为120BDC，BDC为等腰三角形，所以30DBC，又因为ABC为正三角形，所以60ABC.

12、注意到DBCMBD，BMBE，BDBD，所以DBEDBM，可知AMCE.同理，DCFDCN，ANBF.则有DEDM，DFDN，MDBEDB，NDCFDC.又因为60MDN，120BDC，则180MDBNDC.而120120EDCEDBMDB，120120BDFFDCNDC，故24060EDCBDFMDBNDC，因此60FDE，则FDENDM，MNEF，进而可知AMN的周长为1.另解：如图所示，在AB上取一点E，使得BEAN.在DAN和DBE中，DADB，ANBE，DANDBE，因此DANDBE，从而DNDE.在DMN和DME中，DNDE，MDMD，60MDN，180MDEDEMDME 180E

13、BDEDBMADMDA 1803030EDBMDA 120EDBMDA 12060EDBNDA 1206060EDBEDB.因此DMNDME，从而MNME，进而可知AMN的周长为1 【巩固】(全国数学联合竞赛试题)如图所示，在ABC中，ABAC，D是底边BC上的一点，E是线段AD 上的一点，且2BEDCEDBAC ，求证2BDCD.7/16 2010 年暑假 初二数学第 9 讲 教师版 page 7 of 16 EDCBA GHFEDCBA【解析】如图所示，作BED的平分线交BC于F，又过A作AHEF交BE于G，交BC于H，则知12EAGDEFBEFAGEBAC ，从而GEAE.又12AGEB

14、EDCED，则AGBCEA.由ABEBAEBEDBACCAEBAE 可得ABGCAE.注意到ABCA，故有ABGCAE，从而BGAE，AGCE，于是BGGE.又由AHEF，有BHHF，12GHEF，且AHHDEFFD.而CEDFED，从而1122CDECAGAHGHAHHDFDEFEFEFEFFD，即1111122222CDHDFDHFFDBFFDBD，故2BDCD.【例9】五边形 ABCDE 中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证：AD 平分CDE CEDBAABDEFC【解析】延长 DE 至 F，使得 EF=BC，连接 AC.ABC+AED=180，AEF+AED=

15、180 ABC=AEF AB=AE，BC=EF ABCAEF EF=BC，AC=AF BC+DE=CD CD=DE+EF=DF ADCADF ADC=ADF 即 AD 平分CDE.【巩固】(2009 浙江湖州)若P为ABC所在平面上一点，且120APBBPCCPA，则点P叫做ABC 的费马点 8/16 2010 年暑假 初二数学第 9 讲 教师版 page 8 of 16 若点P为锐角ABC的费马点，且60ABC，34PAPC，则PB的值为_；如图，在锐角ABC外侧作等边ACB，连结BB 求证：BB过ABC的费马点P，且BBPAPBPC BCBAEPABCB【解析】2 3 证明：在BB上取点P

16、，使120BPC，连结AP，再在PB上截取PEPC，连结CE 120BPC，60EPC，PCE为正三角形，PCCE，60PCE，120CEB，ACB为正三角形，ACB C，60ACB，60PCAACEACEECB，PCAECB，ACPB CE，120APCB CE，PAEB，120APBAPCBPC，P为ABC的费马点，BB过ABC的费马点P，且BBEBPBPEPAPBPC 板块二、全等与角度 【例10】如图，在ABC中，60BAC，AD是BAC的平分线，且ACABBD，求ABC的度数.DCBA EDCBA【解析】如图所示，延长AB至E使BEBD，连接ED、EC.由ACABBD知AEAC，而6

17、0BAC，则AEC为等边三角形.注意到EADCAD，ADAD，AEAC，故AEDACD.从而有DEDC，DECDCE，故2BEDBDEDCEDECDEC .所以20DECDCE，602080ABCBECBCE.9/16 2010 年暑假 初二数学第 9 讲 教师版 page 9 of 16 EDCBA【另解】在AC上取点E，使得AEAB，则由题意可知CEBD.在ABD和AED中，ABAE，BADEAD，ADAD，则ABDAED，从而BDDE，进而有DECE，ECDEDC，AEDECDEDC 2 ECD.注意到ABDAED，则：1318012022ABCACBABCABCABCBAC，故80AB

18、C.【点评】由已知条件可以想到将折线ABD“拉直”成AE，利用角平分线AD可以构造全等三角形.同样地，将AC拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想.上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.【例11】在等腰ABC中，ABAC，顶角20A，在边AB上取点D，使ADBC，求BDC.DCBA EDCBA【解析】以AC为边向ABC外作正ACE，连接DE.在ABC和EAD中，ADBC，ABEA，2060EADBACCAE 80ABC，则ABCEAD.由此可得EDEAEC，所以E

19、DC是等腰三角形.由于20AEDBAC，则602040CEDAECAED，从而70DCE，706010DCADCEACE，则201030BDCDACDCA.【另解 1】以AD为边在ABC外作等边三角形ADE，连接EC.在ACB和CAE中，6020CAEACB，AEADCB，ACCA，因此ACBCAE，从而CABACE，CEABAC.在CAD和CED中，ADED，CECA，CDCD，10/16 2010 年暑假 初二数学第 9 讲 教师版 page 10 of 16 故CADCED，从而ACDECD，2CABACEACD ，故10ACD，因此30BDC.EDCBA NDCBA【另解 2】如图所示

20、，以BC为边向ABC内部作等边BCN，连接NA、ND.在CDA和ANC中，CNBCAD，20CAD，ACNACBBCN 806020，故CADACN，而ACCA，进而有CDAANC.则10ACDCAN，故30BDCDACDCA.【点评】上述三种解法均是向三边作正三角形，然后再由三角形全等得到边长、角度之间的关系.【例12】(“勤奋杯”数学邀请赛试题)如图所示，在ABC中，ACBC，20C，又M在AC上，N在BC上，且满足50BAN，60ABM，求NMB.NMCBA PABCMNK【解析】过M作AB的平行线交BC于K，连接KA交MB于P.连接PN，易知APB、MKP均为正三角形.因为50BAN，

21、ACBC，20C，所以50ANB，BNABBP，80BPNBNP，则40PKN，180608040KPN，故PNKN.从而MPNMKN.进而有PMNKMN，1302NMBKMP.11/16 2010 年暑假 初二数学第 9 讲 教师版 page 11 of 16 DNMCBA【另解】如图所示，在AC上取点D，使得20ABD，由20C、ACBC可知80BAC.而20ABD，故80ADB，BABD.在ABN中，50BAN，80ABN，故50ANB，从而BABN，进而可得BNBD.而802060DBNABCABD ，所以BDN为等边三角形.在ABM中，180180806040AMBABMBAM，80

22、4040DBMADBAMB，故DMBDBM，从而DMDB.我们已经得到DMDNDB，故D是BMN的外心，从而1302NMBNDB.【点评】本题是一道平面几何名题，加拿大滑铁卢大学的几何大师 Ross Honsberger 将其喻为“平面几何中的一颗明珠”.本题的大多数解法不是纯几何的，即使利用三角函数也不是那么容易.【例13】在四边形ABCD中，已知ABAC，60ABD，76ADB，28BDC，求DBC的度数.CDBA ECDBA【解析】如图所示，延长BD至E，使DEDC，由已知可得：18018076104ADEADB，7628104ADCADBBDC，故ADEADC.又因为ADAD，DEDC

23、，故ADEADC，因此AEAC，EACD，EADCAD.又因为ABAC，故AEAB，ABCACB.而已知60ABD，12/16 2010 年暑假 初二数学第 9 讲 教师版 page 12 of 16 所以ABE为等边三角形.于是60ACDEEAB ，故18016CADADCACD，则28CABEABCADEAD，从而1(180)762ABCCAB，所以16DBCABCABD.【例14】(日本算术奥林匹克试题)如图所示，在四边形ABCD中，12DAC，36CAB，48ABD，24DBC，求ACD的度数.DCBA PDCBA【解析】仔细观察，发现已知角的度数都是12的倍数，这使我们想到构造60角

24、，从而利用正三角形.在四边形ABCD外取一点P，使12PAD且APAC，连接PB、PD.在ADP和ADC中，12PADCAD，APAC，ADAD，故ADPADC.从而APDACD.在ABC中，36CAB，72ABC，故72ACB，ACAB，从而APAB.而12123660PABPADDACCAB ，故PAB是正三角形，60APB，PAPB.在DAB中，123648DABDACCABDBA ，故DADB.在PDA和PDB中，PAPB，PDPD，DADB，故PDAPDB，从而1302APDBPDAPB，则30ACD.【例15】(河南省数学竞赛试题)在正ABC内取一点D，使DADB，在ABC外取一点

25、E，使DBEDBC，且BEBA，求BED.13/16 2010 年暑假 初二数学第 9 讲 教师版 page 13 of 16 DECBA DECBA【解析】如图所示，连接DC.因为ADBD，ACBC，CDCD，则ADCBDC，故30BCD.而DBEDBC，BEABBC，BDBD，因此BDEBDC，故30BEDBCD.【例16】(北京市数学竞赛试题)如图所示，在ABC中，44BACBCA，M为ABC内一点，使得30MCA，16MAC，求BMC的度数.MCAB ODMCAB【解析】在ABC中，由44BACBCA 可得ABAC，92ABC.如图所示，作BDAC于D点，延长CM交BD于O点，连接OA

26、，则有30OACMCA，443014BAOBACOAC，301614OAMOACMAC，所以BAOMAO.又因为90903060AODOADCOD，所以120AOMAOB .120BOM 而AOAO，因此ABOAMO，故OBOM.由于120BOM，则180302BOMOMBOBM，故180150BMCOMB.【巩固】如图所示，在ABC中，已知80BAC，60ABC，D为三角形内一点，且10DAB，20DBA，求ACD的度数.14/16 2010 年暑假 初二数学第 9 讲 教师版 page 14 of 16 DCBA GEFDCBA【解析】如图所示，延长BD交AC于E，则80AEBBAE，AB

27、BE.在BC上截取BFBA，连接FA，则ABF为等边三角形.在AC上截取AGAB，连接GB、GD、GF，由边角边公理知AFGBAE.在BEF中，因BEBF，40EBF，则70BEF，易得30FEGADE.由角边角公理知FEGADE，于是EGDE.注意到40EBCECB，故ECEB.又由边角边公理知EDCEGB，从而ECDEBG.在ABG中，因ABAG，80BAG，则50ABG，从而30EBG，故30ACD.【习题1】点M，N在等边三角形 ABC的AB边上运动，BD=DC，BDC=120，MDN=60，求证MN=MB+NC 21EABCDMNNMDCBA 【解析】(旋转、等腰三角形、等边三角形、

28、线段证明)家庭作业 15/16 2010 年暑假 初二数学第 9 讲 教师版 page 15 of 16 延长 NC 至 E，使得 CE=MB BDC 是等腰三角形，且BDC=120 DBC=DCB=30 ABC 是等边三角形 ABC=ACB=BAC=60 MBD=ABC+DBC=ACB+DCB =DCN=DCE=90 在 RtDBM 和 RtDCE 中，BD=DC，MB=CE，RtDMBRtDCE.DE=DM，1=2.又 1+NDC=60 2+NDC=END=60.在MDN 与EDN 中，ND=ND，MDN=EDN=60，DE=DM MNDEND MN=EN=NC+MB 【习题 2】(南斯拉

29、夫数学奥林匹克试题，黄冈市数学竞赛试题)在ABC内取一点M，使得MBA30，10MAB.设80ACB，ACBC，求AMC.MCBA EHABCM【解析】如图所示，ABC的高CH与直线BM交于点E，则AEBE.而301020EAMEABMAB，1402ACEACB，(9040)3020EACCAHEAB，103040AMEMABMBA，由两角夹一边法则可知AMEACE，因此AMAC，1(180)702AMCACMCAM.16/16 2010 年暑假 初二数学第 9 讲 教师版 page 16 of 16 【备选 1】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与ABC外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系？NCDEBMANCDEBMA 【解析】猜测DMMN.在AD上截取AGAM，DGMB，45AGM 135DGMMBN，ADMNMB，DGMMBN，DMMN【点评】老师在讲解此题时，一定要注意引申，如正五边形，正六边形等 月测备选