20182019学年高中数学第一章不等关系与基本不等式2.2绝对值不等式的解法学案北师大版选修45.pdf

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1、 1 2.2 绝对值不等式的解法 学习目标 1.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c，|axb|c，|xa|xb|c，|xa|xb|c.2.理解并掌握绝对值不等式的几种解法，并能根据不等式的结构特征选择适当方法求解 知识点一|axb|c(c0)和|axb|c(c 0)型不等式的解法 思考1|x|2 说明实数x有什么特征？答案 因为x在数轴上对应的点x到原点的距离大于等于2，所以x2 或x2.思考2 若|2x3|5，求x的取值范围 答案 x|1x4 梳理(1)含绝对值不等式|x|a与|x|a的解法|x|a axa，a 0，a0.|x|a R，a 0，x R且x0，a 0，xa

2、或xa，a 0.(2)|axb|c(c 0)和|axb|c(c 0)型不等式的解法|axb|ccaxbc，|axb|caxbc或axbc.知识点二|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c 0)型不等式的解法 思考 如何去掉|xa|xb|的绝对值符号？答案 采用零点分段法即令|xa|xb|0，得 x1a，x2b，(不妨设ab)|xa|xb|2xab，xa，ba，axb，2xab，xb.梳理|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键 2(2)以绝对值的“零点”为分界点，

3、将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键(3)通过构造函数，利用函数的图像求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需要考查函数的增减性)是解题关键 特别提醒：解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，去绝对值符号的关键是“零点分段”法 类型一|axb|c(c0)与|axb|c(c 0)型的不等式的解法 例 1 解下列不等式：(1)|5x2|8；(2)2|x2|4.解 (1)|5x2|85x28或 5x28x2 或x65，原不等式的解集为x x2或x65.(2)原不等式等价于|x2|2

4、，|x2|4，由得x22 或x22，x0 或x4，由得4x24，2x6.原不等式的解集为x|2x0 或 4x6 反思与感悟|axb|c和|axb|c型不等式的解法(1)当c 0 时，|axb|caxbc或axbc，|axb|ccaxbc；(2)当c 0 时，|axb|c的解集为R，|axb|c的解集为；(3)当c 0 时，|axb|c的解集为R，|axb|c的解集为.跟踪训练1 解下列不等式：(1)3|x 2|4；(2)|x 1|4|2.解 (1)方法一 原不等式等价于|x2|3，|x 2|4.由得x23 或x23，x1 或x5，3 由得4x 2 4，2x 6.原不等式的解集为x|2x1 或

5、5x 6 方法二 3|x 2|43x 2 4 或4x235x 6 或2x1.原不等式的解集为x|2x1 或 5x 6 (2)|x 1|4|2 2|x 1|4 22|x 1|6|x 1|2，|x 1|6 x 12或x 1 2，6x 1 6 x1或x 3，5x 7 5x1 或3x 7.不等式|x 1|4|2 的解集为x|5x1 或 3x 7 类型二|xa|xb|c(c 0)和|xa|xb|c(c 0)型不等式的解法 例 2 解关于x的不等式：|3x 2|x 1|3.解 方法一 分类(零点分段)讨论法|3x 2|0，|x 1|0 的根23，1 把实数轴分为三个区间，在这三个区间上根据绝对值的定义，代

6、数式|3x 2|x 1|有不同的解析表达式，因而原不等式的解集为以下三个不等式组解集的并集 因为当x23时，|3x 2|x 1|2 3x 1x 3 4x，所以当x23时，|3x 2|x 1|33 4x 3x 0.因此，不等式组 x23，|3x 2|x 1|3的解集为x|x 0 因为当23x 1 时，|3x 2|x 1|3x 2 1x 2x 1，所以当23x 1 时，|3x 2|x 1|3x 2.因此，不等式组 23x 1，|3x 2|x 1|3的解集为.因为当x1 时，|3x 2|x 1|3x 2x 1 4x 3，所以当x1 时，|3x 2|x 1|34x 3 3x32.因此，不等式组 x1，

7、|3x 2|x 1|3的解集为x x32.于是原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集，4 即 x|x0 x x32x x 0或x32.方法二 构造函数f(x)|3x 2|x 1|3，则原不等式的解集为x|f(x)0 f(x)4x，x23，2x 4，23x 1，4x 6，x1.作出函数f(x)的图像，如图 它是分段线性函数，函数的零点是0 和32.由图像可知，当x(，0)32，时，有f(x)0.所以原不等式的解集是(，0)32，.反思与感悟|xa|xb|c(c0)，|xa|xb|c(c 0)型不等式的三种解法：分区间(零点分段)讨论法、图像法和几何法分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何

8、法和图像法直观，但只适用于数据较简单的情况 跟踪训练2 解不等式|x 7|x2|3.解 方法一|x 7|x 2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到对应点7 的距离与到对应点2的距离的差，先找到这个差等于3 的点，即x1.由图易知不等式|x 7|x2|3的解为x1，即x(，1 方法二 令x 7 0，x 2 0，得x7，x 2.当x7 时，不等式变为x 7x23，93成立，x7.当7x2 时，不等式变为x 7x23，即 2x2，x1，7x1.5 当x 2 时，不等式变为x 7x23，即93 不成立，x.原不等式的解集为(，1 方法三 将原不等式转化为|x 7|x 2|30，构造函数y|x 7|x

9、2|3，即y 12，x7，2x 2，7x2，6，x 2.作出函数的图像，由图像可知，当x1 时，y0，即|x 7|x 2|30，所以，原不等式的解集为(，1 类型三 含绝对值不等式的恒成立问题 例 3 已知函数f(x)|2x 1|2xa|.(1)当a3 时，求不等式f(x)6 的解集；(2)若关于x的不等式f(x)a恒成立，求实数a的取值范围 解 (1)当a3 时，f(x)|2x 1|2x 3|，f(x)6 等价于|2x 1|2x 3|60，令g(x)|2x 1|2x 3|6，令|2x 1|0，|2x 3|0，得x112，x232.g(x)4x 4，x12，2，12x32，4x 8，x32.作

10、出yg(x)的图像，如图，6 f(x)6 的解集为 1,2 (2)f(x)|2x 1|2xa|(2x 1)(2xa)|a 1|，f(x)min|a 1|.要使f(x)a恒成立，只需|a 1|a成立即可 由|a 1|a，得a 1a或a 1a，a12，a的取值范围是，12.引申探究 若f(x)|2x 1|2xa|且f(x)a恒成立，求a的取值范围 解 f(x)|2x 1|2xa|(2x 1)(2xa)|a 1|，f(x)max|a 1|.f(x)a恒成立，|a 1|a，当a0 时，aa 112，当a 0 时，|1|0，无解，当a0，且a 2xa 2，由|x2 4|1，得3x5或5x3.a25，a2

11、3，即 0a5 2，或 a23，a25，无解 二、填空题 6不等式|ab|a|b|1 成立的充要条件是_ 答案|a|b|解析|ab|a|b|1|ab|a|b|a|b|0 (|a|b|)|ab|(|a|b|)0(|a|b|)而|ab|a|b|，|ab|(|a|b|)0.|a|b|0，即|a|b|.7若关于x的不等式|ax 2|3 的解集为x 53x13，则a _.答案 3 解析|ax 2|3，1ax 5.当a 0 时，1ax5a，与已知条件不符；当a 0 时，x R，与已知条件不符；当a 0 时，5ax1a，又不等式的解集为x 53x13，故a3.8已知函数f(x)|xa|a，g(x)4x2，若

12、存在x0 R 使g(x0)f(x0)，则a的取值范围是_ 答案，178 11 解析 若存在x0 R 使g(x0)f(x0)，则x2|xa|a40有解 当xa时，x2x40，显然有解；当xa时，x2x 2a40，由 1 4(2a4)0，解得a178.9已知函数f(x)|2x 1|x 3，若f(x)5，则x的取值范围是_ 答案 1,1 解析 由题意可知，|2x 1|x35，即|2x1|2x，所以 2x10，2x12x或 2x 1 0，1 2x2x，解得12x1 或1x12，故x的取值范围是x|1x1 10已知集合A x|x 4|x 1|5，B x|ax 6且AB(2，b)，则ab _.答案 7 解

13、析|x 4|x 1|表示数轴上一点到1,4 两点的距离之和，根据1,4 之间的距离为3，可得到与1,4 距离和为5 的点是0,5，所以|x 4|x 1|5 的解集是x|0 x5，所以a2，b 5.11已知函数f(x)|x 1|2xa|的最小值为3，则实数a _.答案 4 或 8 解析 当a2 时，f(x)3xa 1，x1，x 1a，1xa2，3xa 1，xa2.当a 2 时，f(x)3xa 1，xa2，xa 1，a2x1，3xa 1，x1，12 由可得f(x)minf(a2)|a2 1|3，解得a4 或 8.三、解答题 12已知函数f(x)|2xa|2x 3|，g(x)|x 1|2.(1)解不

14、等式|g(x)|5；(2)若对任意x1 R，都存在x2 R，使得f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围 解 (1)由|x 1|2|5，得5|x 1|2 5，即7|x 1|3，得不等式的解集为x|2x 4 (2)因为对任意x1 R，都存在x2 R，使得f(x1)g(x2)成立，所以y|yf(x)y|yg(x)又f(x)|2xa|2x3|(2xa)(2x 3)|a 3|，g(x)|x 1|22，所以|a3|2，解得a1 或a5.故实数a的取值范围为 1，)(，5 13已知ab 1，对任意的a，b(0，)，1a4b|2x 1|x 1|恒成立，求x的取值范围.解 因为a 0，b 0 且ab 1，

15、所以1a4b(ab)1a4b 5ba4ab9，当且仅当a13，b23时，等号成立，故1a4b的最小值为9，因为对任意的a，b(0，)，使1a4b|2x 1|x 1|恒成立，所以|2x 1|x1|9，当x1 时，2x9，所以7x1；当1x12时，3x9，所以1x12；当x12时，x29，所以12x11.综上所述，x的取值范围是 7,11 四、探究与拓展 13 14(2018全国)设函数f(x)5|xa|x 2|.(1)当a 1 时，求不等式f(x)0 的解集；(2)若f(x)1，求a的取值范围 解 (1)当a 1 时，f(x)5|x 1|x 2|2x 4，x1，2，1x2，2x 6，x 2.可得

16、f(x)0 的解集为x|2x3(2)f(x)1 等价于|xa|x2|4.而|xa|x2|a 2|，且当(xa)(x2)0时等号成立 故f(x)1 等价于|a2|4.由|a2|4可得a6 或a2.所以a的取值范围是(，62，)15设函数f(x)|x 1|x 2|.(1)画出函数yf(x)的图像；(2)若不等式|ab|ab|a|f(x)(a0，a，b R)恒成立，求实数x的取值范围 解 (1)当x1 时，f(x)(x 1)(x 2)2x 3；当 1x2 时，f(x)(x 1)(x 2)1；当x 2 时，f(x)(x 1)(x 2)2x 3.所以f(x)2x 3，x1，1，1x2，2x 3，x 2.图像如图所示 (2)由|ab|ab|a|f(x)，得|ab|ab|a|f(x)又因为|ab|ab|a|abab|a|2，所以2f(x)，14 解不等式2|x 1|x 2|，得12x52.即实数x的取值范围是12，52