数学经典易错题会诊与高考试题预测15.pdf

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1、中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献经典易错题会诊与2012 届高考试题预测（十五）考点 15 导数及其应用?导数的概念与运算?导数几何意义的运用?导数的应用?利用导数的几何意义?利用导数探讨函数的单调性?利用导数求函数的极值勤最值经典易错题会诊命题角度1导数的概念与运算1（典型例题）设f0(x)=sinx,f1(x)=f0(x),f2(x)=f1(x),fn+1(x)=fn(x),n N,则 f2005(x)()A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx 考场错解 选 A 专家把脉 由f 1(x)=f 0(x)=(sinx)=cosx,f2(x)=

2、(cosx)=-sinx,f3(x)=(-sinx)=-cosx,f4(x)=(-cosx)=sinx,f2005(x)=f2004(x)=f0(x0=sinx 前面解答思路是正确的，但在归纳时发生了错误。因 f4(x)=f0(x)=f8(x0=f2004(x),所以 f2005(x)=f1(x)=cosx.对症下药 选 C 2（典型例题）已知函数f(x)在 x=1 处的导数为3，f（x）的解析式可能为（）A f（x）=(x-1)3+32(x-1)B f(x)=2x+1 C f()=2(x-1)2 D f(x)-x+3 考场错解 选 B f(x)=2x+1,f(x)=(2x+1)=2x+1|x

3、=1=3.专家把脉 上面解答错误原因是导数公式不熟悉，认为（2x+1）=2x+1.正确的是（2x+1）=2,所以 x=1 时的导数是2，不是 3。对症下药 选 A f(x)=(x-1)3+3(x-1)f(x)=3(x-1)2+3,当 x=1 时,f (1)=3 3.(典型例题)已知 f(3)=2f(3)=-2，则3)(32lim3xxfxx的值为（）A-4 B0 C8 D不存在 考场错解 选 D x 3,x-3 0 3)(32lim3xxfxx不存在。专家把脉 限不存在是错误的，事实上，求00型的极限要通过将式子变形的可求的。对诊下药 选 C 3)(32lim3xxfxx=326)3()(3l

4、im3xxfxfx中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献=323)3()(32lim3xfxfx.8)2(32)3(323)3()(lim3fxfxfx4（05，全国卷）已知函数f(x)=e-x(cosx+sinx),将满足 f (x)=0 的所有正数x 从小到大排成数列；（2）记 Sn是数列 xnf(xn)的前项和。求nlimnSSSn21 考场错解 f (x)=e-x(cosx+sinx)+(e-x)(cosx+sinx)=e-x(-sinx+cosx)+e-x(cosx+sinx)=2e-xcosx 令 f (x)=0,x=n+2（n=1，2，3，）从而 xn=

5、n+2。f(xn)=e-(n+2)(-1)n)()(1nnxfxf=-e2.数列 f(xn)是公比为q=-e-的等比数列。专家把脉 上面解答求导过程中出现了错误，即（e-x）=e-x 是错误的，由复合函数的求导法则知（e-x）=e-x(-x)=-e-x才是正确的。对诊下药（1）证明：f (x)=(e-x)(cos+sinx)+e-x(cosx+sinx)=-e-x(cosx+sinx)+e-x(-sinx+cos)=-2e-xsinx.令 f (x)=0 得-2e-xsinx=0，解出 x=n,(n为整数，从而 xn=n(n=1,2,3,)，f(xn)=(-1)ne-nexfxfnn)()(1

6、,所以数列|f(xn)|是公比 q=-e-的等比数列，且首项f(x1)=-e-(2)Sn=x1f(x1)+x2f(x2)+xnf(xn)=nq(1+2q+nqn-1)aSn=q(q+2q2+nqn)=q(qqn11-nqn)从而 Sn=qq1(qqn11-nqn)2232221)1()1()1(2)1(qqqqnqqqnSSSnnn|q|=e-0 时，f(x)=ln(2x),f(x)=c f(x)=xx1)2(21?.5 已知函数f(x)=ln(x-2)-)0(22aaax为常数且(1)求导数 f (x)答案：f(x)=).2(21?xaxx(2)解不等式:f (x)0答案：令f(x)=).2

7、(021xaxx即.440202022aaxxaxxx的（i）当 a-1 时，x2+2x-a恒成立，x2.(ii)当 a-1 时，02,02axx的解集为 x|x1111axa或 当-18 时，11a2,x11a.综合得，当a8 时，f(x)0 的解集为（2，+）.当 a8 时，f(x)0 的解集为（11a，+）.命题角度2 导数几何意义的运用1.(典型例题)曲线 y=x3在点(1,1)的切线与 x 轴、直线x=2 所围成的三角形面积为_.考场错解 填 2 由曲线y=x3在点（1，1）的切线斜率为1，切线方程为y-1=x-1,y=x.中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任

8、奉献所以三条直线y=x,x=0,x=2所围成的三角形面积为S=21 2 2=2。专家把脉 根据导数的几何意义，曲线在某点处的切线斜率等于函数在这点处的导数，上面的解答显然是不知道这点，无故得出切线的斜率为1 显然是错误的。对症下药 填38。f (x)=3x2当 x=1 时 f (1)=3.由导数的几何意义知，曲线在点（1，1）处的斜率为3。即切线方程为y-1=3(x-1)得 y=3x-2.联立223xxy得交点（2，4）。又 y=3x-2 与 x 轴交于（32，0）。三条直线所围成的面积为S=21 4（2-32）=38。2（典型例题）设t0,点 P（t,0）是函数f(x)=x3+ax与 g(x

9、)=bx3+c的图像的一个公共点，两函数的图像在P点处有相同的切线。（1）用 t 表示 a、b、c；（2）若函数y=f(x)-g(x)在（-1，3）上单调递减，求t 的取值范围。考场错解（1）函数f(x)=x3+ax 与g(x)=bx2+c 的图像的一个公共点P(t,0).f(t)=g(t)t3+at=bt2+c.又两函数的图像在点P 处有相同的切线，f (t)=g (t)3t3+a=2bt.由得b=t,代入得a=-t2.c=-t3.专家把脉 上面解答中得b=t 理由不充足，事实上只由、两式是不可用t 表示 a、b、c，其实错解在使用两函数有公共点P，只是利用f(t)=g(t)是不准确的，准确

10、的结论应是f(t)=0，即 t3+at=0，因为 t0,所以 a=-t2.g(t)=0即 bt2+c=0,所以 c=ab 又因为 f(x)、g(x)在（t,0）处有相同的切线，所以 f (t)=g;(t).即 3t2+a=2bt,a=-t2,b=t.因此 c=ab=-t2t=-t3.故 a=-t2,b=t,c=-t3(2)解法 1 y=f(x)-g(x)=x3-t2x-tx2+t3y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).当 y=(3x+t)(x-t)0时,函数 y=f(d)-g(x)单调递减。由 y 0,若 t0,则 tx0,则-3txt.则题意，函数 y=f(x)-g(x)在(-1

11、,3)上单调递减，则（-1，3）（-3t,t）或（-1，3）（t，-3t）所以 t 3或-3t3。即 t-9 或 t 3。又当-9t0 故 f(x)在(-,-1)和(1,+)上都是增函数。若 x(-1,1),则 f(x)0f(x)在(-,-1)与(1，+)上是增函数。若 x-1,1时，f(x)0,故 f9x)在-1，1 上是减函数。f(-1)=2是极大值。f(1)=-2是极小值。（2）解：曲线方程为y=f(x)=x3-3x,点 A（0，16）不在曲线上。设切点M（x0,y0）,则点 M在曲线上，y0=x30-3x0.因 f(x0)=3x20-3.故切线的方程为y-y0=(3x20-3)(x-x

12、0).点 A（0，16）在曲线上，有16-（x20-0）=3(x20-1)(0-x0),化简得 x30=-8，得 x0=-2.专家会诊设函数 y=f(x),在点(x0,y0)处的导数为f (x0)，则过此点的切线的斜率为f(x0),在此点处的切线方程为y-y0=f (x0)(x-x0).利用导数的这个几何意义可将解析几何的问题转化为代数问题求解。考场思维训练1 曲线 y=2x-x3在点（1，1）处的切线方程为_.答案：x+y-2=0 解析:y=2-3x2.y|x=1=2-3=-1,切线方程为y-1=-(x-1).即 x+y-2=0.2 曲线 y=x3在点（a,a3）(a 0)处的切线与x 轴，

13、直线 x=a 所转成的三角形的面积为61，则a=_.答案：1 解析：曲线在（a,a3）处的切线斜率为3a2.中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献切线方程为y-a3=3a2(x-a).且它与 x 轴.x=a 的交点为（0,32a）、（a,a3）,S=.613213?aaa4=1,解得 a=1.3 已知函数f(x)=lnx,g(x)=21ax2+bx(a0)(1)若 b=2,且 h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求a 的取值范围。答案：b=2 时，h(x)=lnx-21ax2-2x,则 h(x)=x1-ax-2=-.122xxax函数 h(x)存在单调逆减区

14、间，h(x)0,则 ax2+2x-10 有 x0 的理.当 a0 时，ax2+2x-10 总有 0 的解.当 a0 总有 0 的解.则=4+4a0,且方程 ax2+2x-1=0至少有一正根，此时-1a0.综上所述,a 的取值范围是（-1，0）（0，+）（2）设函数 f(x)的图像 C1与函数 g(x)图像 C2交于点 P、Q，过线段 PQ的中点作x 轴的垂线分别交 C1、C2于点 M、N，证明 C1在点 M处的切线与C2在点 N处的切线不平行。答案：证法1.设点 P、Q 的坐标分别是（x1、y1），（x2,y2）,0 x11 时，r(t)0,所以 r(t)在1，+上单调递增，故r(t)r(1)

15、=0.中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献则 lnttt1)1(2.这与矛盾,假设不成立.故 C1在点 M 处的切线与C2在点 N 处的切线不平行,证法 1 得(x2+x1)(lnx2-lnx1)=2(x2-x1).因为 x10,所以(112xx)ln(112xx).令 t=12xx,得(t+1)lnt=2(t-1),t1 令 r(t)=(t+1)lnt-2(t-1),t1,则 r(t)=lnt+t1-1.因为(lnt-t1)=2211ttt-,所以 t1 时,(lnt+t1)0.故 lnt+t1在1,+上单调递增.从而 lnt+t1-10,即 r1(t)0.于是

16、r(t)在1，+上单调递增.故 r(t)r(1)=0.即（t+1）lnt2(t-1).与矛盾，假设不成立。故 C1在点 M 处的切与C2在点 N 处的线不平行.4 已知函数f(x)=|1-x1|,(x0)(1)证明：0a1;答案：由f(a)=f(b)得|1-a1|=|1-b1|.若 1-a1与 1-b1同号，可得1-a1=1-b1ba这与 0ab 矛盾.故 1-a1与 1-b1必异号，即a1-1=1-b1ba11=2.1,1,22abababbaab即故(2)点 P（x0,y0）(0 x01)求曲线 y=f(x)在点 P处的线与x 轴、y 轴的正方向所围成的三角形面积表达式（用x0表示）。答案

17、：0 x1时，y=f(x)=|1-x1|=x1-1.f (x0)=.10,1020 xx曲线 y=f(x)在点 P（x0,y0）处的切线方程为：y-y0=-201x(x-x0)即y=-.20020 xxxx切线与 x轴、y轴、正向的交点为(x0(2-a0),0)和（0，)2(100 xx）故所求三角形面积表达式为A（x0）=.)2(21)2(1)2(21200000 xxxxx?命题角度 3 导数的应用中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献1（典型例题）已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求 f(x)的单调递减区间；（2）若 f(x)在区间-2，2 上最

18、大值为20，求它在该区间上的最小值。考场错解 （1）f(x)=-3x2+6x+9,令 f (x)0,解得 x3,函数 f(x)的音调递减区间为（-，-1）（3，+）（2）令 f(x)=0,得 x=-1 或 x=3 当-2x-1时,f (x)0;当-1x0;当 x3 时，f (x)0.x=-1,是 f(x)的极不值点，x=3 是极大值点。f(3)=-27+27+27+a=20,a=-7.f(x)的最小值为f(-1)=-1+3-9+a=-14.专家把脉 在闭区间上求函数的最大值和最小值，应把极值点的函数值与两端点的函数值进行比较大小才能产生最大（小）值点，而上面解答题直接用极大（小）值替代最大（小

19、）值，这显然是错误的。对症下药 （1）f(x)=-3x2+6x+9,令 f (x)0,解得 x3.(2)因为 f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以 f(x)在-1，2 因为在（-1，3）上 f (x)0,所以 f(x)在-1，2 上单调递增，又由于 f(x)在-2，-1 上单调递减，因此 f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间-2，2 上的最大值和最小值，于是22+a=20,解得 a=-2.故 f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此,f-1=1+3-9-2=-7 即函数 f(x)在区间-2，2 上的最小值为-7。2（典型例题）已知函数f

20、(x)=ax3+3x2-x+1 在 R上是减函数，求a 的取值范围。考场错解 f (x)=3ax2+6x-1,因为 f(x)在 R上是减函数，所以 f (x)=3ax2+6x-10 对任何xR 恒成立。0123603aa解得 a0时，f(x)是减函数，但反之并不尽然，如f(x)=-x3是减函数，f(x)=3x2并不恒小于 0，（x=0 时 f(x)=0）.因此本题应该有f(x)在 R上恒小于或等于0。对症下药 函数 f(x)的导数：f (x)=3x2+6x-1.当 f(x)=3ax2+6x-10对任何 x R恒成立时，f(x)在 R 上是减函数。对任何xR,3ax2+6x-10 恒成立，a0

21、且=36+12a0a-3.所以当 a-3 时，由 f(x)-3 时，f(x)=3ax2+6x-10 在 R上至少可解得一个区间，所以当a-3 时，f(x)是在 R 上的减函数。综上，所求a 的取值范围是（-，-3）。3（典型例题）已知a R,讨论函数 f(x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数。考场错解 f (x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)=exx2+(a+2)x+(2a+1).令 f(x)=0 得 x2+(a+2)x+(2a+1)=0,(*)=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a.中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献当 a2-4a0

22、,即 a4 或 a0时，方程（*）有两个不相等的实数根x1、x2，因此函数f(x)有两个极值点。当 a2-4a=,即 a=或 a=0 时，方程（*）有两个相等实数根x1=x2。因此函数f(x)有一个极值点。当 a2-4a0,即 0a0 即 a4 时,方程 x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个不同的实根x1、x2,不妨设 x1x2.于是 f(x)=ex(x-x1)(x-x2),从而有下表X(-,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+)F(x)+0-0+F(x)f(x1)有极大值f（x2）有极小值即此时 f(x)有两个极值点。（2）当=0，即 a=0 或 a=4 时，方程 x2+(a+2)x

23、+(2a+1)=0 有两个相同的实根x1=x2于是 f(x)=ex(x1-x1)2.故当 x0;当 xx1时，f (x)0因此 f(x)无极值。（3）当 0，即 0a0,f (x)=exx2+(a+2)x+(2a+1)0,故 f(x)为增函数，此时 f(x)无极值点，因此，当a4 或 a1 时，方程f(x)=0，在 e-m-m,e2m-m 内有两个实根。考场错解 令 f(x)0,x ln(x+m).m ex-x m取小于或等于ex-x 的整数。专家把脉 上面解答对题意理解错误，原题“当m为何值时，f(x)0 恒成立”，并不是对x 的一定范围成立。因此，m ex-x 这个结果显然是错误的。对症下

24、药 （1）函数 f(x)=x-ln(x+m),x(-m,+)连续，且 f(x)=1-mx1,令 f (x)=0,得 x=1-m.当-mx1-m 时，f(x)1-m 时，f(x)0,f(x)为增函数。根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m 为极小值，而且对 x(-m,+)都有 f(x)f(1-m)=1-m，故当 1-m=f(xmin)0,即 m 1 时，f(x)0.即 m 1 且 m Z时，f(x)0.(2)证明：由（1）可知，当整数m1 时，f(1-m)=1-m0,又 f(x)为连续函数，且当m1时，f(e-m-m)与 f(1-m)异号，由所给定理知，存在唯一的x1(e-m-m;1-m),

25、使 f(x1)=0,而当 m1 时，f(e2m-m)=e2m-3m(1+1)2m-3m1+2m+2)12(2mm-3m0.中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献(m12m-11).类似地，当整数m1 时，f(x)=x-ln(x+m)在1-m,e2m-m上为连续增函数，且f(1-m)与 f(e2m-m)异号，由所给定理知，存在唯一的x+（1-m,e2m-m）使 f(x2)=0.故当整数m1 时，方程 f(x)=0 在 e-m-m,e2m-m内有两个实根。5（典型例题）用长为90cm，宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正形，然后把四边翻转9

26、0角，再焊接而成（如图，）问该容器高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？考场错解 设容器的高为x,容器的容积为V，则 V=（90-2x）（48-2x）x=4x3-276x2+4320 x V=12x2-552x+4320=0 得 x1=10,x2=36 又 x10 时，V 0,10 x0,x36 时,V 0 当 x=36 时，V有极大值V（36）0 故 V没有最大值。专家把脉 上面解答有两处错误：一是没有注明原函数定义域；二是验算f (x)的符号时，计算错误，x0;10 x36,V 36,V 0.对症下药 设容器的高为x，容器的容积为V。则 V=（90-2x）（48-2x）x =4x3-

27、276x2+4320 x (0 x24)V=12x2-552x+4320 由 V=12x2-552x+4320=0 得 x1=10,x2=36 x0,10 x36 时，V36 时 V 0.所以，当x=10 时 V有最大值V（10）=1960cm3又 V(0)=0,V(24)=0 所以当 x=10 时,V 有最大值V（10）=1960。所以该窗口的高为10cm，容器的容积最大，最大容积是1960cm3.专家会诊1证函数f(x)在（a,b）上单调，可以用函数的单调性定义，也可用导数来证明，前者较繁，后者较易，要注意若f(x)在（a、b）内个别点上满足f (x)=0(或不存在但连续)其余点满足 f(

28、x)0(或 f(x)0，则 f(x)=0有两个不相等的实x1和 x2(x10时，函数f(x)在(-，+)上有极值由 A=4m2-12m-160 得m4，因此，当m4时，Q是正确的综上，使P正确且 Q 正确时，实数m 的取值范围为(-，-1)(4，5)6，+2 已知函数f(x)=xx27240,1(1)求 f(x)的单调减区间和值域；答案：对函数F(x)求导，得f(x)=)2()72)(12()2(716422xxxxxx令 f(x)=0解得 x=21或 x=27当 x 变化时 f(x)、f(x)的变化情况如下表X(-,x0)X0(x0+)F(x)+0+中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜

29、提名！爱心 责任 奉献X 0(0,21)21(21,1)1 F(X)-0+-27-4-3 所以，当x(0，21)时 f(x)是减函数；当 x(21，1)时 f(x)是增函数当 x 0，1时 f(x)的值域为-4，3（2）设 a1,函数 g(x)=x3-3a2x-2a,x 0,1若对于任意x10，1，总存在x00,1,使得g(x0)=f(x1)成立，求a 的取值范围.答案：对函数g(x)求导，得g(x)=3(x2-a2)因为 a1 时，当 x(0，1)时，g(x)3(1-a2)0因此当x(0，1)时，g(x)为减函数，从而求x0，1时有 g(x)1-2a-3a2,-2a 任给 x10，1,f(x

30、1)-4，-3 存在 x0 0，1使得 g(x0)=f(x0)，则1-2a-3a2，2a-4，-3即1231.3242321aaaa解得3 已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.(1)求函数 f(x)的最大值；答案：函数的定义域为(-1，+),f(x)=x11-1，令 f(x)=0，解得 x=0，当-1x 0，当 x0 时 f(x)0，f(0)=0，故当且仅当a=0 时,f(x)取得最大值，最大值为0(2)设 0ab,证明 0g(a)+g(b)-2g(2ba)(b-a)答案：g(x)=xlnx，g(x)=lnx+1，设F(x)=g(a)+g(x)-2g(2xa)则F(x)=

31、g(x)-2g(2xa)=lnx-ln，当0 xO，F(x)a 时，F(x)0，因此 F(x)在(a，+)上为增函数从而x=a 时，F(x)有极小值F(a)因为 F(a)=0，ba所以 F(b)0 即 00，G(x)a，所以 G(b)0 即 g(a)+g(b)-2g(2xa)(b-a)ln24 设函数 f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中 aR,(1)若 f(x)在 x=3处取得极值，求实数a 的值。中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献答案：f(x)=6x26(a+1)x+60=6(x-aO(x-1)因 f(x)在 x=3 取得极值，所以f(3)=6

32、(3-a)(3-1)=0，解得 a=3经检验当a=3时 x=3 为 f)(x)的极值点（2）若 f(x)在（-，0）上为增函数，求a 的取值范围。答案：令f(x)=6(x-a)(x-1)=0得 x1=a,x2=1当 a0，所以 f(x)在(-，a)和(1，+)上为增函数故当 0 o1 时 f(x)在(-，0)上为增函数5 某企业有一条价值a 万元的流水生产线，要提高该流水生产线的生产能力，提高产品的增加值，就要对充水生产线进行技术改造，假设增加值y 万元与技改把风入x 万元之间的关系满足 y 与（a-x）x2成正比例；当 x=2a时，y=23a;0)(2xaxt,其中 t 为常数且t 0,2.

33、(1)设 y=f(x),求出 f(x)的表达式，并求其定义域；答案：f(x)=8a2x212x3=(0 xtta212，21t2)（2）求出增加值y 的最大值，并求出此时的技改投入x 值。答案：f(x)=16a2x-36x2，令 f(x)=0，得 x=32a，当21t1 时 f(x)=36(x2-94a2)32a)f(x)在0，tta212上是减数，当x=tta212t 时，ymas=f(tta212)=33)21(16tta,当 1t2 时f(x)=-36(x2-94a2)tta21232a 0 x0；xa32时 f(x)0 y=0 得 x=x0+0200202222xxxxS=210202

34、2xx(x20+2)(x00)中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献=020404441xxxS=41(3x20+4-204x)令 S=0得 x0=36又 0 x036时，S 0;360.当 x0=36时，S最小。把 x0=36代入得l 的方程为：26x+3y-8=0.2由原点O 向三次曲线y=x3-3ax2（a0）引切线，切于点P1（x1,y1）(O,P1两点不重合)，再由 P1引此曲线的切线，切于点P2（x2,y2）(P1，P2不重合)。如此继续下去，得到点列Pn(xn,yn)(1)求 x1;(2)求 xn与 xn+1满足的关系式；(3)若 a0，试判断xn与 a

35、 的大小关系并说明理由 解题思路 利用导数的几何意义写出切线方程，再通过切线方程找到xn、xn+1的递推关系，通过递推关系求出xn 的通项公式，最后按n 为奇数和偶数两种情况的讨论可得xn与 a 的大小关系。解答 （1）由 y=x3-3ax2,得 y=3x2-6ax 过曲线上点P1（x1,y1）的切线L1的斜率为 3x21-6ax1.L1的方程为y-(x31-3ax21)=(3x21-6ax1)(x-x1).又 L1过原点，故有：-（x31-3ax21）=-x1(3x21-6ax1)2x31=3ax21,x1=23a(2)过曲线上的点Pn+1(xn+1,yn+1)的切线方程是y-(x3n+1-

36、3ax2n+1)=(3x2n+1-6axn+1)(x-xn+1)Ln+1 过曲线上点Pn(xn,yn).故 x3n-3ax2n-(x3n+1,-3ax2n+1)=(3x2n+1-6axn+1)(xn-xn+1).即 x3n-x3n+1-3a(x2n-x2n+1)=(3x2n+1-6axn+1)(xn-xn+1).xn-xn+10,x2n+xnxn+1+x2n+1-3a(xn+xn+1)=3x2n+1-6axn+1.x2n+xnxn+1-2x2n+1-3a(xn+xn+1)=0(xn-xn+1)(xn+2xn+1-3a)=0.xn+2xn+1=3a.(3)由（2）得 xn+1=-axn2321x

37、n+1-a=-21(xn-a)中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献故数列 xn-a是以 x1-a=21a 为首数，公比为-21的等比数列。xn-a=2a(-21)n-1 当 n 为偶数时，xn-a=-a(-21)n0.xn0.xna.预测角度 2 利用导数探讨函数的单调性1已知 m R,研究函数f(x)=xemxmmx63)1(32的单调区间解题思路 先求 f (x),再令 f (x)0和 f (x)0,只需 g(x)的正负即可。（1）当 m=0时，g(x)=-3x-3.当 g(x)0 时，x0 当 g(x)-1,f(x)0 当 m=0时，f (x)的增区间为（-，

38、-1），减区间为（-1，+）。（2）当 m 0 时,g(x)有两个根：x1=-m3,x2=-1.当 mx2,在区间（-，-1）(-m3,+)上，g(x)0,即 f (x)0.f(x)在（-，-1）(-m3,+)上是增函数。在区间（-1，-m3）上，g(x)0，即 f (x)0.f(x)在（-1，-m3）上是减函数。当 0m3 时，x1x2.在区间（-，-m3）（-1，+）上 g(x)0,即 f (x)0，f(x)0.f(x)在（-m3，-1）上是增函数。m=3 时，x1=x2.在区间(-,-1)（-1，+）上 g(x)0，f (x)3时 x1x2。在区间(-,-1)（-m3，+）上，g(x)0

39、，f (x)0，即 f (x)0.f(x)在（-1，-m3）上是增函数。2.已知函数 f(x)=axxaxbx22234234在 x=1 处取极值，且函数 g(x)=axxaxbx2342134在区间（a-6,2a-3）内是减函数，求a 的取值范围。解答 f(x)=x3-bx2-(2+a)x+2a 由 f (1)=0 得 b=1-a.f (x)=x3+(1-a)x2-(2+a)x+2a=(x-1)(x+2)(x-a)若 a=1 时 f (x)=(x-1)2(x+2).x(-2,1)f (x)0 x(1,+),f(x)0.x=1 不是极值点。a1 又 b=1-a.g (x)=x3+(1-a)x2

40、-(a-1)x-a=(x-a)(x2+x+1).当 xa 时,g (x)0,g(x)在(-,a)上递减，（a-6,2a-3）(-,a)a-62a-3 a,-3a 3.综合，得a 的范围为（-3，1）（1，3）。3已知f(x)=ax3+bx2+cx+d 是定义在R 上的函数，其图像交x 轴于 A、B、C 三点，若点B的坐标为（2，0），且f(x)在-1，0 和4，5 上有相同的单调性，在0，2 和4，5 上有相反的单调性。（1）求 C的值；（2）在函数 f(x)的图像上是否存在一点M（x0,y0）使得 f(x)在点 M处的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。解题思路 根据

41、题设条件作出f(x)的图像知,f(x)有两个极值点，一个为 x=0，另一个极值点在 2，4 之间，借助这个结论可判定在点M处的切线的斜率能否等于3b，解答 （1）由题意可知f(x)在-1，0 和0，2 上具有相反的单调性。x=0 是 f(x)的一个极值点，故f (0)=0。即 3ax2+2bx+c=0 有一个解为x=0 c=0。（2）f(x)交 x 轴于点 B（2，0）。8a+4b+d=0,即 d=-4(b+2a).令 f (x)=0，则 3ax2+2bx=0,x1=0,x2=ab32f(x)在0，2 和 4，5 上具有相反的单调2-ab32 4，-6 ab-3。假设存在点M（x0,y0），使

42、得 f(x)在点 M处的切线斜率为3b，则 f (x0)=3b。即 3ax20+2bx0-3b=0。中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献=（2b）2-43a(-3b)=4b2+36ab=4ab(ab+9)又-6 ab-3,0.不存在点M（x0,y0），使得 f(x)在点 M处的切线斜率为3b。4已知函数f(x)=331x+21（b-1）x2+cx(b,c 为常数)（1）若 f(x)在 x(-,x1)及 x（x2+）上单调递增，且在x（x1,x2）上单调递减，又满足 0 x2-x11.求证 b2x1,试比较 t2+bt+c 与 x1的大小，并加以证明。解题思路 由 f

43、(x)的单调性可知x1、x2是 f (x)=0的两根，x2-x11 可证明（1），（2）可用作差比较法。解答 f(x)在 x（-，x1）及 x（x2,+）上单调递增，且在x（x1,x2）上单调递减，x=x1或 x=x2是函数 f(x)的极值点，即f(x1)=0，f(x2)=0。f (x)=x2+(b-1)x+c.x1、x2是方程 x2+(b-1)x+c=0的两根，得?cxxbxx21211又 0 x2-x11,(x2-x1)21,即(x1+x2)2-4x1x21.(1-b)2-4c1.b2x1,x2-x10,x1x1+10 t2+bt+cx1.预测角度 3 利用导数求函数的极值和最值1已知函数

44、f(x)=ax3+cx+d(a 0)是 R上奇函数，当x=-1 时，f(x)取得极值2。（1）求 f(x)的单调区间；（2）若对于x1、x2-1，1，不等式|f(x1)-f(x2)|m，求 m的最小值。解题思路 由题设条件易求得a、b、c 的值。因此由f (x)0 和 f (x)0，解得 x1 或 x-1.f (x)0，解得 1-x-1，试判断f(x)在0，1 上的单调性；（3）是否存在a，使得当x（0，1）时，f(x)有最大值-6。解题思路 （1）利用函数f(x)的奇偶性可求得x（0，1）时，f(x)的解析式；（2）可用导数法判断；（3）分 a-1 和 a-1 两种情况讨论f(x)的最大值。

45、解答 （1）设 x（0，1），则-x-1，0，f(-x)=-2ax+21x.f(x)是奇函数，f(x)=2ax-21x，x（0，1）。（2）f (x)=2a+32x=2(a+31x),a-1;x(0,1),31x1 a+31x0,即 f (x)0.f(x)在（0，1）上是单调递增的。（3）当 a-1 时，f(x)在（0，1）单调递增，fmax（x）=f(1)=-6。a=-25(不合题意舍去)当 a-1，令 f (x)=0，x=a13当 x（-，a13）时，f (x)0 x（a13，+）时，f (x)0 x=a13时，f(x)有最大值f（a13）。令 f(a13)=-6a=-22.此时 x=22

46、（0，1）。存在 a=-22,使 f(x)在（0，1）上有最大值-6。中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献3已知f(x)=-x3+ax,其中 aR,g(x)=2123x,且 f(x)g(x)在（0，1）上恒成立，求实数a的取值范围。解题思路 设 F(x)=f(x)-g(x)。由 f(x)g(x)在（0，1）上恒成立，即 F(x)0 在(0，1)上恒成立，F（xmin）0。或用分离参数法。解答 设 F(x)=f(x)-g(x)=-x3+ax+2123xf(x)g(x)在（0，1）上恒立F(x)0 在（0，1）上的最小值。a0,x=41.又 x(0,41)时，h(x)0

47、.x=41时，h(x)有最小值h(41)=-163a0.3 已知函数f(x)=xxalnln在（1，+）上为减函数，则a 的取值范围为（）中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献A0ae1 B01lnae恒成立，x.,1,eaaeae4 函数 y=2x3-3x2-12x+5 在 0，3 上的最大值、最小值分别是（）A5，-15 B5，-4 C-4，-15 D5，-16 答案：A 解析：f(x)=6x2-6x-12,令 f(x)=0 即 6x2-6-x-12=0.x2-x-2=0 x=2 或 x=-1,(舍)，当 x=2 时，y-=-15,x=0 时，y=5 时，y=-4

48、,最大值为 5，最小值为-15.5 设 f(x)、g(x)分别是定义在（-，0）（0，+）上的奇函数和偶函数，当 x0 时 f (x)g(x)+f(x)g(x)=0 且 g(3)=0,则不等式f(x)g(x)0的解集是（）A（-3，0）（3，+）B（-3，0）（0，3）C（-，-3）（3，+）D（-，-3）（0，3）答案：D 解析：f(x)g(x)是定义域上的奇函数.又 x0.g(3)=0.f(3)g(3)=0,又 f(m)g(x)在定义域上单调递增.f(x)g(x)0 的解集为（-3）(0,3).6 函数 f(x)=x3-2x+3 的图像在x=1 处的切线与圆x2+y2=8 的位置关系是（）

49、A相切 B相交且过圆心C相交但不过圆心 D相离答案：C解析：f(x)=3x2-2.f(1)=1,切线方程为y=x+1,点（0，0）到切线距离d=2221相交但不地圆心.7 函数 f(x)=xlnx,则 f(x)的单调递减区间是_.答案：(0,e1)解析：令f(x)=lnx+10,f(x)在 R 上为境函数.(2)当 m0 时，f(x)开口向下 0,说明存在区间使f(x)0.m0 时，f(x)在 R上不是增函数.当 0m9 时，f(x)开口向上且 0,说明 f(x)恒大于 0，0m9 时，f(x)开口向上且 0,说明存在砸锅间使f(x)0,0m9,f(x)在 R上不是增函数.综上怕述，所求m 的

50、取值范围是0，9.10 求函数 f(x)=)1ln(1lnxxxx在 21，3 上的最大值和最小值。答案：解：f(x)=.2)1(ln112)1(ln)1)(1(ln112)1(ln)1()ln(xxxxxxxxxxxxxxx令f(x)=0既2)1(lnxx=0，x=1.当 x=1时可得 f(x)0,当10当 x=1时可得 f(x)的极小值 f(1)=ln2 f(3)=.4ln3ln43f(21)=-31ln2-ln23=-31ln2-(ln3-ln2)=32ln2-ln3=f(2),ln2ln3,f(21)f(3).中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献f(x)的最