数学经典易错题会诊与高考试题预测4.pdf

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1、中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献经典易错题会诊与2012 届高考试题预测(四)考点 4 数列经典易错题会诊命题角度1 数列的概念命题角度2 等差数列命题角度3 等比数列命题角度4 等差与等比数列的综合命题角度5 数列与解析几何、函数、不等式的综合命题角度6 数列的应用探究开放题预测预测角度1 数列的概念预测角度2 等差数列与等比数列预测角度3 数列的通项与前n 项和预测角度4 递推数列与不等式的证明预测角度5 有关数列的综合性问题预测角度6 数列的实际应用预测角度7 数列与图形经典易错题会诊命题角度 1 数列的概念1(典型例题)已知数列 an满足a1=1,an=

2、a1+2a2+3a3+(n-1)an-1,(n 2)，则 an的通项 an=_.考场错解 an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1，an-1=a1+2a2+3a3+(n-2)an-2，两式相减得 an-an-1=(n-1)an-1，an=nan-1.由此类推：an-1=(n-1)an-2，a2=2a1，由叠乘法可得an=2!n 专家把脉 在求数列的通项公式时向前递推一项时应考虑n 的范围当 n=1 时，a1=21与已知 a1=1，矛盾 对症下药 n2 时，an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1当 n3 时，an-1=a1+2a2+3a3+(n-2)an-2-得an-an-1=(n

3、-1)an-1 当n 3 时，1nnaa=n，an=1nnaa21nnaa 22334aaaaa?=n 43a2=2!na2，a2=a1=1 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献当 n 2时，an=2!n.当 n=1 时，a1=1 故 an=).2(2!)1(1nnn 2 (典型例题)设数列 an的前 n 项和为 Sn,Sn=2)13(1na(对于所有n1)，且 a4=54，则 a1的数值是 _.考场错解 Sn=2)13(1na=31)31(1na,此数列是等比数列，首项是a1，公比是3，由a4=a134-1，a1=2 专家把脉 此题不知数列an的类型，并不能套用等

4、比数列的公式而答案一致是巧合 对症下药 a4=S4-S3=21a(34-1)-21a(33-1)=54，解得 a1=23.(典型例题)已知数列 an满足 a1=1，an=3n-1+an-1(n 2)(1)求 a2，a3；(2)求通项 an的表达式 考场错解 (1)a1=1，a2=3+1=4，a3=32+4=13 (2)由已知an=3n-1+an-1，即an-an-1=3n-1即 an成等差数列，公差d=3n-1故 an=1+(n-1)3n-1 专家把脉 (2)问中 an-an-1=3n-1，3n-1不是常数，它是一个变量，故不符合等差数列的定义 对症下药 (1)a1=1，a2=4，a3=32+

5、4=13(2)由已知 an-an-1=3n-1，故 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+3+1=213n.4(典型例题)等差数列 an中，a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于 ()A.160 B 180 C.200 D220 考场错解 由通项公式an=a1+(n+1)d.将 a2,a3，a18，a19，a20都表示成a1和 d.求 a1、d，再利用等差数列求和，选C 专家把脉 此方法同样可求得解但解法大繁，花费时间多，计算量大故而出错，应运用数列的性质求解就简易得多 对 症 下 药 B 由 公 式

6、m+n=2Pam+an=2ap?(只 适 用 等 差 数 列)即 可 求 解 由a1+a2+a3=-24，可得：3a2=-24 由 a18+a19+a20=78，可得：3a19=78 即 a2=-8，a19=26 又S20=2)(20201aa=10(a2+a19)=180 2(典型例题)若 an是等差数列，首项a1 0，a2003+a20040，a2003 a2004 0，则使前n项和 Sn0 成立的最大自然数n 是 ()A.4005 B4006 C.4007 D.4008 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献 考场错解 a2004+a20030，即2a1+200

7、2d+2003d0，(a1+2002d)(a1+2003d)0 即使 na1+2)1(nnd0 这样很难求出a1，d.从而求出最大的自然数 n.故而判断a20030，a20040 专家把脉 此题运用等差数列前n 项的性质及图象中应注意a20030，a20040，a2003+a20040，a2003a20040，且 an为等差数列an表示首项为正数，公差为负数的单调递减等差数列，且a2003是绝对值最小的正数，a2004是绝对值最大的负数(第一个负数)，且|a2003|a2004|在等差数列an中，a2003+a2004=a1+a40060，S4006=2)(400640061aa0 使 Sn0

8、 成立的最大自然数n 是 40063(典型例题)设无穷等差数列an的前 n 项和为 Sn.()若首项 a1=23，公差 d=1，求满足Sk2=(Sk)2的正整数 k;()求所有的无穷等差数列an；使得对于一切正整数中k 都有 Sk2=(Sk)2成立 考场错解 (1)当 a1=23,d=1 时，Sn=21n2+n，由 Sk2=(Sk)2得21k4+k2=2221kk，即 k=0或 k=4k 0故 k=4 ()由对一切正整数k 都有 Sk2=(Sk)2 成立即 k2a1+2)1(22kkd=(ka1+dkk2)1()2即(a1-21a)k2-adk2(k-1)+2dk2(k2-1)-42dk2(k

9、-1)2=0对切正整数k 恒成立故0,0,01211ddaaa求得 a1=0 或 1，d=0 等差数列an=0,0,0,，或 an=1，1，1，专家把脉 ()中解法定对一切正整数k 都成立而不是一切实数故而考虑取k的特值也均成立 对症下药 ()当 a1=23,d=1 时，Sn=na1+.212)1(232)1(2nnnnndnn由 Sk2=(Sk)2,得21k4+k2=(21k2+k)2，即 k3)141(k=0.又 k0，所以 k=4 ()设数列 an的公差为d，则在 Sk2=(Sk)2中分别取k=1,2,得)2.()2122(2344)1(,.)(,)(211211224211dadaaa

10、SSSS即由（1）得 a1=0或 a1=1.当 a1=0 时，代入（2）得 d=0 或 d=6.若 a1=0,d=0,则 an=0,sn=0,从而 Sk2=(Sk)2成立；若 a1=0,d=6,则 an=6(n-1),由 S3=18，（S3）2=324,S9=216 知 S9(S3)2，故所得数列不符合题意.当 a1=1 时,代入(2)得 4+6b=(2+d)2解得 d=0 或 d=2.若 a1=1,d=0,则an=1,Sn=n,从而 Sk2=(Sk)2成立；若 a1=1,d=2,则 an=2n-1,Sn=1+3+（2n-1）=n2,从而 Sk2=(Sk)2成立.综上,共有 3 个满足条件的无

11、穷等差数列:an：an=0,即 0，0，0，；an:an=1,中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献即 1，1，1，；an:an=2n-1,即 1，3，5，.4.(典型例题)已知数列 an 的各项都是正数,且满足:a0=1,an+1=21an(4-an),nN.(1)证明 anan+1 2,n N.(2)求数列 an 的通项公式an.考场错解 用数学归纳法证明：（1）1当 n=1 时，a0=1,a1=21a0（4-a0）=23,a0a1 2,命题正确.2假设n=k时有ak-1ak2.则n=k+1时，ak-ak+1=21ak-1(4-ak-1)-21ak(4-ak)=2

12、(ak-1-ak)-21(ak-1-ak)(ak-1+ak)=21(ak-1-ak)(4-ak-1-ak).而 ak-1-ak0.4-ak-1-ak0,ak-ak-10.又 ak-1=21ak(4-ak)=214-(ak-2)2 2.n=k+1时命题正确.由 1、2知，对一切nN时有 anan+12.(2)an+1=21an(4-an)=21-(an-2)2+4.2(an+1-2)=-(an-2)2an+1-2=21(an-2)2令 bn=an-2,bn=-(21)1+2+2n-1nb21又 b1=a1-2=-21.bn=-(21)2n+2n-1.即 an=2-(21)2n+2n-1.专家把脉

13、 在（）问中求bn的通项时，运用叠代法.最后到 b0而不是 b1.对症下药 （）同上，方法二：用数学归纳法证明：1当 n=1 时，a0=1,a1=21a0(4-a0)=23,0a0a1 2;2 假设 n=k 时有 ak-1ak2 成立，令f(x)=21x(4-x),f(x)在0，2上 单 调 递 增，所 以 由 假 设 有：f(ak-1)f(ak)f(2),即21ak-1(4-ak-1)21ak(4-ak)212(4-2),也即当 x=k+1 时 akak+12 成立，所以对一切nN,有 akak+12(2)下面来求数列的通项：an+1=21an(4-an)=21-(an-2)2+4,所以 2

14、（an+1-2）=-(an-2)2令bn=an-2,则 bn=-2121nb=-21(-2122nb)2=-21(21)2221nb=-（21）1+2+2n-1b2n，又 bn=-1,所以 bn=-(21)2n-1,即 an=2+bn=2-(21)2n-1 专家会诊1.要善于运用等差数列的性质：“若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq”；等差数列前n 项和符合二次函数特征.借助二次函数性质进行数形结合法解等差数列问题.2.会运用一般与特殊的逻辑思维,利用满足条件的特值求相关参数的值,学会分析问题和解决问题.考场思维训练中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献1

15、在等差数列 an中,若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 a9-31a11的值为 ()A.14 B.15 C.16 D.17 答案：C 分析：略。2 等差数列 an中,若其前 n 项的和 Sn=nm,前 m项的和 Sm=mn(mn,m,n N*),则 ()A.Sm+n4 B.Sm+nC.Sm+n=4 D.-4Sm+n-2 答案：B 分析：略。3 数列 an 是公差 d 0 的等差数列，其前n 项和为 Sn,且 a10=1,.21529aa()求an 的通项公式；答案：由已知a1+9d=1 因为 a29,0)(,0,15915921529215aaaaaaa即所以因为 d 0,所以

16、a9+a15=0,即 a1+11d=0 由解得.21,2111da.26nan所以()求 S的最大值；答案：解an=6-,02n得 n12,所以，数列 an 前 11，12 和最大，33)21(21112211121211SS()将 Sn表示成关于an的函数.答案：由a33214)212(23)212(,423,21226222nnnnnnnaaaaSnnSann所以又得4 在数列 an 中 a1=31,a2=185,且 log2(3a2-a1)log(3an+1-an),是公差为-1 的等差数列，又2a2-a1,2a3-a2,，2an+1-an,是等比数列，公比为q，|q|1,这个等比数列的

17、所有项之和等于31.(1)求数列 an 的通项公式;答案：设bn=log2(3an+1-an),因为 bn 是等差数列，d=-1.b-1=log2(3a2-a1)=log2.)1)(1(1131log)311853(112nnb?于是即 log2(3an+1-a)=-n,所以 3an+1-an=2-n中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献设 cn=2an+1-an,cn是等比数列，公比为q,|q|1,c1=2a2-a1=2?.9231185由即于是解得,)31.(32)31.(92.3131111nnncqqa.)31.(3221nnnaa由,解得).()31()21

18、(2nannn(2)计算nlim(a1+a2+an).答案：lim(a1+a2+an).1)211.(2313131)212121(lim2)3121()3121()3121(lim22222nnnnnn5 已知数列 an是公差 d0 的等差数列，其前n 项和为 Sn.(1)求证：点 P1(1,11S),P2(2,22S),Pn(n,nSn)在同一条直线l1上;1.答案：因为等差数列an 的公差 d0,所以.21,2)1(11dkakSdkkkaSkk当).,3,2(),(211)21(11,)(21111nkpkpddkadkakSkSkkkk是常数即是常数时所以 P2，P3，Pn都在过点

19、P1(1,a)且斜率为常数2d的直线 l1上.(2)过点 Q1(1,a1),Q2(2,a2)作直线 l1、l2,设 l1与 l2的夹角为，求证：tan 42答案：直线l2的方程为y-a1=d(x-),直线 l2的斜率为d.tan=.42|21|212|21222?dddddddddd当且仅当.2|,|2时等号成立即 ddd命题角度 3 等比数列中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献1(典型例题)数列 an 的前 n 项和记为Sn,已知 a1=1,aa+1=nSnn2(n=1,2,3).证明:()数列 nSn是等比数列；()Sn+1=4an.考 场 错 解()已知a1=

20、1,an+1=nSnn2,a2=3S1=3,S2=4 a3=24S2=24=8.S3=1+3+8=12.即43,22,11321SSS.故nSn 是公比为2的等比数列.()由()知11nSn=4,11nSn于是 Sn+1=4(n+1),11nSn=4an.又 a2=3.S2=a1+a2=4,因此对于任意正整数n1,都有 Sn+1=4an.专家把脉 ()中利用有限项判断数列类型是运用不完全归纳法,应给予证明.()中运用前推一项必须使 n 2.对症下药 ()an+1=Sn+1-Sn,an+1=nn2Sn,(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),整理得 nSn+1=2(n+1)=Sn,所以11nSn=

21、2nSn故nSn是以 2 为公比的等比数列.()由()知11nSn=4,11nSn(n2).于是 Sn+1=4(n+1),11nSn=4an(n 2).又 a2=3S1=3,故S1=a1+a2=4.因此对于任意整数n1,都有 Sn+1=4an.2.(典型例题)已知数列 an的前 n 项和为 Sn,Sn=31(an-1)(n N*).()求 a1,a2;()求证数列 an 是等比数列.考场错解 ()S1=31(a1-1),得 a1=-21,S2=31(a2-1),即 a1+a2=31(a2-1),得 a2=41.()an=Sn-Sn-1=31(an-1)-31(an-1-1),得211nnaa,

22、所以 an是首项为-21，公比为-21的等比数列.专家把脉 在利用 an=Sn-Sn-1公式时,应考虑 n2 时才能成立.对 症 下 药 ()由S1=31(a1-1),得a1=31(a1-1),a1=-21.又S2=31(a2-1),即a1+a2=31(a2-1),得 a2=41.()当n1 时,an=SnSn-1=31(an-1)-31(an-1-1),得1nnaa=-21,所以 an是首项为-21,公比为-21的等比数列.3.(典型例题)等比数列的四个数之和为16,中间两个数之和为5,则该数列的公比q 的取中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献值为 ()A.41或

23、 4 B.41或833415C.4 或-841533D.4 或41或833415或841533 考场错解 设这四个数为qaqa,3,aq,aq3.由题意得),2(5),1(164aqqaa由得 a=21,代入得 q=21或 q2=2.q2=41或 q2=4,故所求的公比为41或 4.故应选 A.专家把脉 上述解答设等比数列的公比为q2是不合理的.这相当于增加了四个数同号这个条件,而题设中的四个数不一定同号.因此,产生了漏解现象.对症下药 设这四个数为a,aq,aq2,aq3,则833415414,5,16232?或或解之得 qaqaqaqaqqaa或-841533.因此,应选 D.4.(典型例

24、题)设数列an的首项a1=a41,且an+1=,3,2,1,41,412112nabnanannnn记为奇数为偶数()求 a2,a3;()判断数列 bn是否为等比数列,并证明你的结论;()求nlim(b1+b2+b3+bn).考场错解 ()a2=a1+41=a+41,a3=21a2=21a81;()bn+1=a2n+1-4141.412221241121nnnnnnaaaabb.中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献()求nlim(b1+b2+b3+bn)=nlim411)411(1nb=3134)41(34411414111aaab.专家把脉 在求证 bn是等比数列

25、是时，222nnaa式子中，an 中 n 为偶数时，211nnaa是连续两项，并不能得出412nnaa.对症下药()a2=a1+41=a+41,a3=21a2=21a+81;()a4=a3+41=21a+83,所以a5=21a4=41a+163,所以b1=a1-41=a-41,b2=a3-41=21(a-41),b3=a5-41=41(a-41),猜想:bn 是公比为21的等比数列.证明如下:因为 bn+1=a2n+1-41=21a2n-41=21(a2n-1-41)=21bn,(n N*)所以 bn 是首项为a-41,公比为21的等比数列.()求nlim(b1+b2+b3+bn)=nlim)

26、.41(2211211)211(11abbn专家会诊1.证明等比数列时应运用定义证nnaa1为非 0 常数,而不能1nnaa(此时 n2).2.等比数列中q 可以取负值.不能设公比为q2.3.会运用等比数列性质,“若 m+n=p+k,则 aman=apak”.考场思维训练1 试在无穷等比数列21,41,81,中找出一个无穷等比的子数列(由原数列中部分项按原来次序排列的数列),使它所有项的和为41,则此子数列的通项公式为_.答案：an=;)81(n分析：略。2 已知等比数列 an 的首项为 8,Sn是其前 n项的和,某同学经计算得S2=20,S3=36,S4=65,后来该同学发现了其中一个数算错

27、了，则该数为（）AS1 B.S2 C.S3 D.S4 答案：C 分析：略。3 已知数列 an的首项为a1,公比为 q(q-1),用mnS表示这个数列的第n 项到第 m项共 m-n+1 项的和.()计算976431,SSS,并证明它们仍成等比数列;中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献答案：S13=a1(1+q+q2),S46=a1q3(1+q+q2)，S79=a1q6(1+q+q2),因为.,976431331646497成等比数列所以SSSqSSSS()受上面()的启发,你能发现更一般的规律吗?写出你发现的一般规律,并证明.答案：一般地.),2(),1(1(),1(

28、,)2(211211211成等比数列所以也成等比数列均为整数且mrrmppmnnnpmnnmppmppmrrmrmrrpmppmnmnnmrrmppmnnSSSnrpqSSSSqqqqaSqqqaSqqqqaSmnprnrPSSS4 已知数列 an 中,a1=65,an+1=31an+(21)n+1(n N*),数列 bn对任何 n N*都有 bn=an+1-21an.(1)求证 bn为等比数列;答案：bn+1=an+2nnnnnnnnbaaaaa31)21(31)21(3121)21(312111211若 bn=0,则 an+1=1)21(312121nnnnaaanna)21(3?为等比数

29、列即不满足条件故,31,2311nnnbbbab1=a2-9121)21(31211211aaa1)31(nnb(2)求bn的通项公式;(3)设数列 an的前 n 项和为 Sn,求xSnlim.答案：an+11)31(21nnnba又 an+1=1)21(31nna11)31(21)21(31nnnnaannna)31.(2)21.(3SN=3nn)31(271913121)21(814121中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献=311)31(131.2211)21(121.3nn=lim2)21.(3)31(nnSn=2 x5 已知数列 an的首项为a1=2,前

30、n 项和为Sn,且对任意的正整数n,an都是3Sn-4与2-25Sn-1的等差中项(n2).(1)求证:数列 an 是等比数列,并求通项an;答案：当n2 时，2an=3Sn-4+2,22125243)(2,251111nnnnnnnSSSSSSS得到即又.212111211,21,21,21,1,2nnnnnnnnnaaaaaSSSSaaaa得的等比数列是公比为所以数列而则有(2)证明21(log2Sn+log2Sn+2)log2Sn+1;答案：由,214,2122nnnnSa得.2222221.2222221)21(416)214()()21()21(516)214)(214(nnnnnn

31、nnnnSSS.log)log(log21)(12222212nnnnnnSSSSSS(3)若 bn=na4-1,cn=log2(na4)2,Tn、Rn分别为 bn 和cn 的前 n 项和.问:是否存在正整数n,使得 TnRn,若存在，请求出所有n 的值，若不存在请说明理由.答案：,22,2,1221nnRnTncbnnnnnn当 n=1、2、3 时，TnRn.2243)(1)11(2,622211111112111111nnnnCCCCCCCCnnnDnnnnnnnDnnn时当即.2221nnnnnnRTnn,4.命题角度 4 等差与等比数列的综合1.(典型例题)已知数列 an 的前 n 项

32、和 Sn=a2-(21)n-1-b2-(n+1)(21)n-1(n=1,2,),其中 a,b 是非零常数,则存在数列 xn、yn使得（）A.an=xn+yn,其中 xn 为等差数列，yn为等比数列Ban=xn+yn,其中 xn 和yn 都为等差数列中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献Can=xnyn,其中 xn为等差数列，yn为等比数列Dan=xnyn,其中 xn和yn都为等比数列 考场错解 a2-(21)n-1=xn，b2-(n-1)(21)n-1=yn,又 xn,yn成等比数列，故选D.专家把脉 应从数列 an 的前 n 项和 Sn的表达式入手，而不能从形式上主

33、观判断.对症下药 C.a1=S1=3aan=Sn-Sn-1=a2+(21)n-1-b2-(n+1)(21)n+1-a2+(21)n-2+b2-n(21)n-2=(bn-b-a)(21)n-1 (21)n-1 为等比数列,bn-a-b 为等差数列.2.(典型例题)已知数列 an 是首项为a 且公比 q不等于 1 的等比数列，Sn是其前 n 项和，a1,2a7,3a4成等差数列.()证明 12S3,S6,S12-S6成等比数列;()求和 Tn=a1+2a4+3a7+na3n-2.考场错解 ()由 a1,2a7,3a4成等差数列.得 4a7=a1+3a4,4aq6=a+3aq3.从而可求 q3=-4

34、1,或 q3=1.当 q3=-41时，3612SS=161，6612SSS=q6=161.故 12S3，S6，S12-S6成等比数列.当 q3=1时,3612SS=61，6612SSS=q6=1.故 12S3,S6,S12-S6不成等比数列.专家把脉 本题条件中已规定q 1.故应将 q=1 时舍去.对症下药 ()证明:由 a1,2a7,3a4成等差数列.得 4a7=a1+3a4,即 4aq6=a+3aq3.变形得(4q3+1)(q3-1)=0,所以 q3=-41或 q3=1(舍去)由3612SS=,1611211)1(121)1(33161qqqaqqa6612SSS=11)1(1)1(161

35、121612qqaqqaSS1+q6-1=q6=161,得3612SS=6612SSS.所以 12S3,S6,S12-S6成等比数列.()解法:Tn=a1+2a4+3a7+na3a-2=a+2aq3+3aq6+naq3(n-2),即Tn=a+2(-41)a+3(-41)2a+n(-41)n-1a.(-41)3a 得:-41Tn=-41a+2(-41)2a+3(-41)3a+n(-41)na -有：45Tn=a+(-41)a+(-41)2a+(-41)3a+(-41)n-1a-n(-41)na=中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献411411na-n(-41)na=5

36、4a-(54+n)(-41)na.所以 Tn=na5425162516(-41)na.3.(典型例题)如图，OBC的三个顶点坐标分别为（0，0）、（1，0）、（0，2），设 P1为线段 BC的中点，P2为线段 CO的中点，P3为线段OP1的中点，对于每一个正整数n,Pn+3为线段 PnPn+1的中点，令Pn的坐标为（xn,yn）,an=21yn+yn+1+yn+2.()求 a1,a2,a3及 an;()证明 yn+4=1-4ny,n N*,()若记 bn=y4n+4-y4n,n N*,证明 bn是等比数列.考场错解 （1）y1=y2=y4=1,y3=21,y5=43,可求得 a1=a2=a3=

37、2,由此类推可求得an=2()将21yn+yn+1+yn+2=2 同除以 2，得 yn+4=,221nnyyyn+4=1-44y.()bn+1=y4n+8-y4n+4=-41(y4n+4-y4n)=-41bn.nnbb1=-41.故bn是等比数列.专家把脉 第()问题运用不完全归纳法求出an的通项.理由不充分,第()问中nnbb1=-41.要考虑 b1是否为 0.即nnbb1有意义才更完整.对症下药 ()因为 y1=y2=y4=1,y3=21,y5=43,所以 a1=a2=a3=2.又由题意可知yn+3=21nnyy.an+1=21yn+1+yn+2+yn+3=21yn+1+yn+2+21nn

38、yy=21yn+yn+1+yn+2=an,an 为常数列.an=a1=2,nN*.()将等式21yn+yn+1+yn+2=2 两边除以2,得41yn+221nnyy=1,又 yn+4=221nnyy,yn+4=1-4ny.()bn+1=y4n+8-y4n+4=4144ny-414ny=-41(y4n+4-y4n)=-41 bn,又 b1=y8-y4=-41 0,bn是公比为-41的等比数列.4.(典型例题)在等差数列an 中,公差d 0,a2是a1与a4的等比中项.已知数列a1,a3,21,kkaa,akn,成等比数列,求数列 kn 的通项 kn.中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名

39、！爱心 责任 奉献 考场错解 an=a1+(n-1)d,22a=a1a4(a1+d)2=a1(a1+3d).d=a1,an=nd.a1=d.a3=3d.13da=3=q.dkankn.11dkanknnnkkkkaann11=q=3.kn是公比为3 的等比数列.kn=13n-1=3n-1.专家把脉 错因在把k1当作数列 an 的首项.k1=1.而实际上k1=9.对症下药 依题设得an=a1+(n-1)d,22a=a1a4,(a1+d)2=a1(a1+3d),整理得d2=a1d,d0,d=a1,得an=nd,所以,由已知得d,3d,k1d,k2d,kndn是等比数列.由 d 0,所以数列1,3,

40、k1,k2,kn,也是等比数列,首项为 1,公比为 q=13=3,由此得 k1=9.等比数列 kn的首项 k1=9,公比 q=3,所以 kn=9qn-1=3n+1(n=1,2,3,),即得到数列kn的通项 kn=3n+1.专家会诊1.赋值法在解等差、等比数列问题中是常用方法.从而求出系数的值及从中找出规律.2.等比数列中应注意考虑公比等于1 的特殊情况,等比数列中的公差为0 的特殊情况在解题时往往被忽视.3 在等差数列与等比数列中,经常要根据条件列方程(组)求解.要注意常两种情形的不同之处.考场思维训练1已知数列 an 满足 3an+1+an=4(n 1),且 a1=9,其前 n 项之和为 S

41、n，则满足不等式|Sn-n-6|1251的最小整数n 是（）A5 B.6 C.7 D.8 答案：C 设.7,7503(16,1)31(8,31,81),1)1()1(3,1),()(3111是最小整数可化为为公比的等比数列为首项是以则nSaaaaaannnnnnnnn2 已知等差数列an的首项为a,公差为 b;等比数列 bn 的首项为b,公比为 a,其中 a,b N+,且 a1b1a2b2a3.()求 a 的值;答案：.2).3(32.41.122,11112,1.2,2aaaaaabababbabbabaababbababaabbaa故时不合题意舍去或()若对于任意n N+,总存在 m N+

42、，使 am+3=bn,求 b 的值；答案：,2)1(5,3,2,)1(21.1?nnmnnmbbmbabbbma可得由中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献即 b(2n-1-m+1)=5,b=5.()在()中，记 cn 是所有 an中满足am+3=b,mN+的项从小到大依次组成的数列，又记 Sn为cn的前 n 项和，SnTn(n N+).答案：由(2)知 an=5n-3,bn=5.2n-1,).(,.0 121212)1(1 512121)1 5 12121)11(5 1212125,3.9,2).15(21,3)12(5,325,3253223212222111.1

43、?nTSTSnnnnnnnCCCnnnnTSnTSTSnnTnSCbannnnnnnnnnnnnnnnnnm便得综合以上时当3 设函数 f(x)=ax2+bx+c 的图像是以（2，0）为顶点且过点（1，1）的抛物线；数列an是以 d 为公差的等差数列，且a1=f(d-1),a3=f(d+1);数列 bn是以q(q 0)为公比的等比数列，且b1=f(q1-1),b3=f(q1+1).求数列anbn的通项公式；答案：解设f(x)=a(x-2)2过点(1,1),f(x)=(x-2)2 122212221323213122132321)33()33()33()31(,33,0)3111(:)11()1

44、1(,)31()11(341)3(42)3()1(,2)1()1(,)3()1(nnnbqbqqqqqqbbqqfbqqfbnadadddddaaddfaddfa又得又得4 知定义在R 上的函数f(x)和数列 an满足下列条件,a1=a,an=f(an-1)(n=2,3,4,),a2a1,f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,)其中a 为常数，k 为非零常数.(1)令 bn=aa+1-an(nN+),证明：数列 bn是等比数列；答案：证明:由.0)()()(,01212232121aakafafaabaab可得的等比数列是一个公比为数列因此时当由题设条件由数学归纳法

45、可证kbkaaaakaaafafaaabbnnaabnnnnnnnnnnnnnnnnn,)()()(2,)(011111111(2)求数列 an 的通项公式；中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献答案：解;由(1)知,bn=kn-1b1=kn-1(a2-a1)(n N)当 k1 时,b1+b2+?+bn-1=(a2-a1)2(111nkkn当 k=1时,b1+b2+?+bn+1=(n-1)(a2-a1)(n 2).而 b1+b2+?+bn-1=(a2-a1)+(a3-a2)+(a3-a2)+?+(an-an-1)=an-a1(n2)所以,当 k1 时 an-a1=(a

46、2-a1)2(111nkkn.上式对 n=1 也成立.所以,数列 an的通项公式为kkaafaann11)(1).2()(1(1)(121naanaaknn时当上式对 n=1 也成立,所以,数列 an的通项公式为an=a+(n+1)(f(a)-a)(nN?)(3)当|k|1 时，求nan.lim答案：解:当|k|1时 liman=limkaafakkaafan1)(11)(1 n n5 设实数a 0，数列 an是首项为a，公比为-a的等比数列，记bn=anlg|an|(n N*),Sn=b1+b2+bn,求证:当 a-1 时，对任意自然数n 都有 Sn=2)1(|lgaaa1+(-1)n+1(

47、1+n+na)an 答案：解:.)1()(1111nnnnnaaaqaa|lg)1(|)1(|lg)1(|lg2111anaaaaabnnnnnnnn|lg)1(|lg)1()1(|lg3|lg2|lg11222anaaanaaaaaaSnnnnnnnnnnnnnnaanaaaSanaanaaa1123211232)1()1()1(32|lg)1()1()1(32记aS=a1121322)1()1()1()2()1(2nnnnnnnaananaa+得1121232)1()1()1()1(nnnnnnnaaaaaaSaa-1,(1+a)S=1.111)1()1(1)1(nnnnanaaa中高考复

48、习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献)1()1(1)1(|lg)1()1)(1(1)1()1()1()1()1()1()1(122121121.111nnnnnnnnnnnananaaaSaananaaananaSaanaaaS?命题角度 5 数列与解析几何、函数、不等式的综合1（典 型 例 题）已 知 定 义 在R 上 的 函 数f(x)和 数 列 an 满 足 下 列 条 件：a1=a,an=f(aa-1)(n=2,3,4,),a2 a1,f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,),其中a 为常数，k 为非零常数.()令 bn=aa+1-an(

49、n N*),证明数列 bn是等比数列；()求数列 an 的通项公式；()当|k|1 时，求nan.lim 考场错解 ()证明:由 b1=a2-a10,可得：b2=a3-a2=f(a2)-f(a1)=k(a2-a1)0.由数学归纳法可证bn=an+1-an0(nN*).由题设条件，当n2时1111111)()()(nnnnnnnnnnnnnnaaaakaaafafaaaabb=k 故数列 bn 是公比为k 的等比数列.()由()知bn=kn-1(a2-a1)(n N*)b1+b2+bn-1=(a2-a1)kkn111.(n 2)而b1+b2+bn-1=a2-a1+a3-a2+an-an-1=an

50、-a1(n 2)an-a1=(a2-a1)kkn111(n 2)故 an=af(a)-a kkn111(n N*)an=a+(n-1)f(a)-a(nN*)()当|k|1 时nanlim=nlimkkaafan11)(1=a+kaaf1)(2.（典型例题）如图，直线l1:y=kx+1-k(k0，k21)与 l2相交于点 P.直线 l1与 x 轴交于点P1,过点 P1作 x 轴的垂线交于直线l2于点 Q1,过点 Q1作 y 轴的垂线交直线l1于点 P2，过点 P2作 x 轴的垂线交直线 l2于点 Q2，这样一直作下去，可得到一系列点P1，Q1，P2，Q2，点 Pn(n=1,2,)的横坐标构成数列