(精品)代数历史.ppt

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1、 代数学代数学章章 璞璞上海交通大学上海交通大学2007-12-26 主要内容主要内容o一点历史o粗略分类o问题案例o前景展望徐光启（徐光启（1562156216331633），上海徐家汇人），上海徐家汇人 农学、天文、数学家农学、天文、数学家 将将“GeometryGeometry”译成译成“几何几何”与利玛窦合译与利玛窦合译几何原本几何原本前前6 6卷卷 李善兰（李善兰（1811181118821882），浙江海宁人），浙江海宁人 数学、天文、植物学家数学、天文、植物学家 将将“AlgebraAlgebra”译成译成“代数代数”译译代数学代数学1313卷；与伟烈亚力卷；与伟烈亚力 合译合译

2、几何原本几何原本后后9 9卷卷“代数学代数学”的来历的来历古典代数学：中心问题古典代数学：中心问题Algebra(代数学)的原始含意：用字母代替数进行运算用字母代替数进行运算古典代数学（至19世纪上半叶）中心问题：求代数方程的根求代数方程的根古典代数学：代表性成就古典代数学：代表性成就古代巴比伦人:2次方程求根公式13世纪秦九绍:高次方程的近似解16纪意大利:3和4次方程求根公式18世纪初:复数系的建立复数系的建立18世纪未：Carl Friedrich Gauss (1777-1855)证明了 代数基本定理代数基本定理 不可逾越的困难不可逾越的困难4次方程解出之后200余年，许多数学家相信更

3、高次方程的求根公式仍存在，并寻找这样的公式Lagrange首次意识到不存在此公式Niels H.Abel(1802-1829)证明了5次方程无求根公式。但未及说明哪些方程根式可解Evariste Galois(1811-1832)17岁发现：代数方程的根式可解性是由这个方程的Galois群的可解性决定的.因此，5次及以上代数方程不存在求根公式。而古典代数学的其它难题（如尺规作图和倍方问题），此后也均可用Galois理论得到完全解决。从而古典代数学终结 古典代数学的终结古典代数学的终结 Galois的境遇的境遇1829:Galois论文由Cauchy审理，被遗失1830:由Fourier审理，不

4、久Fourier逝世1831:再由Poisson审:“完全不能理解”,要其详细说明1832-5-30夜Galois留下1份说明第2天便与情敌决斗而死1846:Liouville决定发表Galois的文章1870:Jordan全面清晰地阐明Galois工作 从此Galois的工作得到完全承认Hermann Weyl 的评价的评价“Galois的论述在好几十年中一直被看成是“天书”；但是，它后来对数学的整个发展产生愈来愈深远的影响。如果从它所包含思想之新奇和意义之深远来判断，也许是整个人类知识宝库中价值最为重大的一件珍品”对称和美对称和美 代数学新纪元代数学新纪元1843:Hamilton发现四元

5、数代数1846:Cayley引进抽象群和矩阵 1871:Dedekind引进理想1872:Klein发表群的几何学纲领1873:Lie创立Lie群1894:Cartan分类复半单Lie代数1896:Frobenius创立有限群表示论1904:Schur建立无限群表示代数学新纪元代数学新纪元1905:Wedderburn确定半单代数1911:Steinitz奠基域论1921:Noether奠基环论1931:Van der Waerden出版近世代数1942:Lefschetz出版代数拓扑 1946:Weil出版代数几何学基础1956:Cartan-Eilenberg出版同调代数至此，近世代数的最

6、主要的分支出现06?Order,lattices,ordered algebraic structures08?General algebraic systems 12?Field theory and polynomials13?Commutative rings and algebras14?Algebraic geometry15?Linear and multilinear algebra;matrix theory16?Associative rings and algebras17?Nonassociative rings and algebras18?Category theor

7、y;homological algebra19?K-theory20?Group theory and generalizations22?Topological groups,Lie groups43?Abstract harmonic analysis55?Algebraic topology81?Quantum theory15/95 AMSAMS分类中的代数学分支分类中的代数学分支交换代数交换代数结合代数结合代数Lie代数代数范畴论与同调代数范畴论与同调代数K-理论理论群论群论量子化代数量子化代数 AMSAMS分类中的代数学分支分类中的代数学分支ArXivArXiv分类中的代数学分支分

8、类中的代数学分支Algebraic Geometry(math.AG)Algebraic Topology(math.AT)Category Theory(math.CT)Commutative Algebra(math.AC)Group Theory(math.GR)K-Theory and Homology(math.KT)Mathematical Physics(math.MP)Operator Algebras(math.OA)Quantum Algebra(math.QA)Representation Theory(math.RT)Rings and Algebras(math.RA

9、)11/32 ArXivArXiv分类中的代数学分支分类中的代数学分支范畴论范畴论(math.CT)交换代数交换代数(math.AC)群论群论(math.GR)K-理论和同伦理论和同伦(math.KT)量子化代数量子化代数(math.QA)表示论表示论(math.RT)环与代数环与代数(math.RA)代数学的粗略分类 交换代数交换代数 代数表示论代数表示论 Kac Kac-Moody-Moody代数代数 同调代数与同调代数与K-理论理论 群论与群表示论群论与群表示论 量子群与代数群量子群与代数群 代数编码代数编码 环论与环论与Hopf代数代数 代数学研究各种代数结构及其表示和上同调；它们的组

10、合、计算等方面的性质；及其应用；它们之间的相互联系；以及和其它学科之间的联系 代数学的研究对象代数学的研究对象l 代数结构：带有若干二元运算、且满足特定条件的集合l 和谐：若有多种运算，则必有使这些运算“和谐”的公理l 基本的代数结构：群、环、域、(结合)代数、Lie代数l 其它重要结构多为这5种的强、弱、组合或变形。如：Lie (代数、量子)群、格、交换（Hopf、Kac-Moody、Poisson、Clifford、顶点算子、微分分次、Koszul、Calabi-Yau）代数，等等 注记与观察注记与观察l 结构的表示：容许结构作用的一个向量空间，这样的作用 与该结构的运算是“和谐”的l 表

11、示论：最初是想通过结构在不同表示上的作用效果达到理解 结构目的。现在，表示论成为代数学最活跃分支之一l 范畴论：将要研究的同类对象放在一起，看重对象之间的相互 联系和整体的性质、以及这个整体与别的整体的联系l 上同调：如果所要研究的一串对象可由特殊的态射联系起来成 为复形，则比较相邻态射的像和核便得到上同调作用、联系、比较、显示差别作用、联系、比较、显示差别l 构造；分类l 简单与复杂、特殊与一般:比较、联系l 部分对整体的影响，或相互确定l 计算各种上同调，并说明其意义l 结构、表示、上同调之间的联系l 不同结构之间、代数与其它学科之间联系与转换 等等代数学关心的基本问题代数学关心的基本问题

12、 Hopf代数皆有代数和余代数的结构，它的余乘映射和余单位映射均是代数同态、并且还存在一个所谓的反极映射。1980s Drinfeld发现量子群的基本结构是Hopf,而且产生Yang-Baxter方程的解。从而引起极大关注 案例案例l群代数与Lie代数的包络代数恰好是 余交换的Hopf代数l量子群和量子广义Kac-Moody代数 均是Hopf代数,且均有三角分解l有限维Hopf代数是Frobenius代数l有限维Hopf代数H的子Hopf代数的维数整除H的维数l阶少于3个素因子的群、和奇数阶群，均为可解群l特征0域上有限群G的不可约表示的维数整除G的维数lKaplanski猜想：特征0代数闭域

13、上半单Hopf代数H的不可约表示 的维数整除H的维数 若干相关的定理若干相关的定理 代数表示与量子群代数表示与量子群1970s Auslander解决Brauer猜想并奠定代数表示论。此后这一分支得到很大发展。1990sRingel 重新发现Hall代数；并和Green用有限域上遗传代数的Hall代数的子代数合成代数成功实现量子群；接着Van den Bergh 用Hall代数本身实现量子广义Kac-Moody代数。从而架起代数表示与量子化代数的桥梁 代数结构与表示代数结构与表示 的图的组合方法的图的组合方法使用图是抽象的代数具体化的重要手段。复 半单Lie 代数分类由Dynkin图表达。Ga

14、briel 和Ringel更是用图来表达代数的结构和代数的表示。有限型遗传代数的分类也同样完全由Dynkin图表达。图的组合方法极大地推进和丰富了代数学的研究成果 同调代数YM代数 数学物理量子群非交换几何CY代数三角范畴Lie代数Hopf代数Koszul包络代数PoissonHall代数上同调刚 性代数表示图论群表示 三角范畴三角范畴 图代数CYYMHopfPoisson稳定范畴导出范畴三三角角范范畴畴Serre对偶CY范畴商范畴Hall运算 Calabi-Yau范畴与周期性范畴与周期性顶点算子代数是共形场论和统计力学中重要的代数结构，是Borcherds等研究魔群和Moonshine模时开创的代数学是基础的学科然而它有重要的应用最典型的例子它是编码和密码学的基础顶点算子代数顶点算子代数代数学的应用代数学的应用代数和组合共进代数和组合共进连续与离散齐飞连续与离散齐飞确定和随机同妙确定和随机同妙基础与应用并重基础与应用并重物理和事理相融物理和事理相融人类与自然和谐人类与自然和谐 谢谢各位谢谢各位！并祝新年快乐！并祝新年快乐！