(精品)线性代数.ppt

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1、1.线性代数的产生线性代数的产生2.行列式理论行列式理论3.矩阵代数矩阵代数4.线性方程组线性方程组5.线性代数的进一步深入线性代数的进一步深入发展发展二次型二次型6.线性代数的扩展线性代数的扩展从从解方程到群论的产生解方程到群论的产生8.3线性代数线性代数线性代数的产生线性代数的产生由于研究关联着多个因素的量所引起的问题，由于研究关联着多个因素的量所引起的问题，则需要考察多元函数。如果所研究的关联性是线则需要考察多元函数。如果所研究的关联性是线性的，那么称这个问题为线性问题。历史上线性性的，那么称这个问题为线性问题。历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，代数的第一个问题是关于解

2、线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩而线性方程组理论的发展又促成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线性方为我们线性代数教材的主要部分。最初的线性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。另外，刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。另外，近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促近现代数学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。使了线性代数的进一步发展。关孝和行列式理论行列式出现

3、于线性方程组的求解，它最行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具。行列式是由莱布尼茨一种非常有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。和日本数学家关孝和发明的。1693年年4月，月，莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给莱布尼茨在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作著作解伏题元法解伏题元法中也提出了行列式的概中也提出了行列式的概念与算法。念与算法。

4、莱布尼茨莱布尼茨(德，德，1646-1716年年)1750年，瑞士数学家克莱姆年，瑞士数学家克莱姆(G.Cramer,1704-1752)在其著作在其著作线性代数线性代数分析导引分析导引中，对行列式的定义和展开法则给中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后，们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后，数学家贝祖数学家贝祖(E.Bezout,1730-1783)将确定行将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性

5、方数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。程组有非零解。总之，在很长一段时间内，行列式只是作总之，在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。一门理论加以研究。克莱姆贝祖在行列式的发展史上，第一个对行列在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离的人，是式理论与线性方程组求解相分离的人，是法国数学家范德蒙法国数学家范德蒙(AT.Va

6、ndermonde,1735-1796)。范德蒙。范德蒙自幼在父亲的指道下学习音乐，但对数学自幼在父亲的指道下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。特别地，他给出了用二阶子式和院院士。特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则。就对它们的余子式来展开行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。奠基人。1772年，拉普拉斯在一篇论文年，拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了中证明了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。他的展开行列式的方法。

7、范德蒙拉普拉斯继范德蒙之后，在行列式的理论继范德蒙之后，在行列式的理论方面，又一位做出突出贡献的就是另方面，又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西。一位法国大数学家柯西。1815年，柯年，柯西在一篇论文中给出了行列式的第一西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的乘法定理。主要结果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一个把行列式的元素排成另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法；引进了行列方阵，采用双足标记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列式特征方程的术语；给出了相似行列式概念；改进了拉普

8、拉斯的行列式展式概念；改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等。开定理并给出了一个证明等。柯西19世纪的半个多世纪中，对行列式理世纪的半个多世纪中，对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹姆士论研究始终不渝的作者之一是詹姆士.西西尔维斯特尔维斯特(J.Sylvester,1814-1894)。他。他是一个活泼、敏感、兴奋、热情，甚至容是一个活泼、敏感、兴奋、热情，甚至容易激动的人，然而由于是犹太人的缘故，易激动的人，然而由于是犹太人的缘故，他受到剑桥大学的不平等对待。西尔维斯他受到剑桥大学的不平等对待。西尔维斯特用火一般的热情介绍他的学术思想，他特用火一般的热情介绍他的学术思想，他的重要

9、成就之一是改进了从一个次和一个的重要成就之一是改进了从一个次和一个次的多项式中消去次的多项式中消去x的方法，他称之为配的方法，他称之为配析法，并给出形成的行列式为零时这两个析法，并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要条件这一结多项式方程有公共根充分必要条件这一结果，但没有给出证明。果，但没有给出证明。西尔维斯特继柯西之后，在行列式理论方面最多产的人继柯西之后，在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比就是德国数学家雅可比(J.Jacobi,1804-1851)，他引进了函数行列式，即，他引进了函数行列式，即“雅可比行列式雅可比行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中

10、的作用，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式。雅可比的著名论给出了函数行列式的导数公式。雅可比的著名论文文论行列式的形成和性质论行列式的形成和性质标志着行列式系统标志着行列式系统理论的建成。由于行列式在数学分析、几何学、理论的建成。由于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在促使行列式理论自身在19世纪也得到了很大发世纪也得到了很大发展。整个展。整个19世纪都有行列式的新结果。除了一世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行般行列式的大量定理

11、之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。列式的其他定理都相继得到。雅可比矩阵代数矩阵代数矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。而实际上，矩阵这个课题列区别于行列式而发明了这个术语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显在诞生之前就已经发展的很好了

12、。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。的概念，然而在历史上次序正好相反。西尔维斯特英国数学家凯莱英国数学家凯莱(A.Cayley,1821-1895)一般一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个

13、独立的数学概念提出来，并首先发表了作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。1858年，他发表了关于这一课题的第一篇论文年，他发表了关于这一课题的第一篇论文矩阵论的研究报告矩阵论的研究报告，系统地阐述了关于矩阵，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性

14、与可结合性。另念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果征值）以及有关矩阵的一些基本结果。凯莱出生凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一于一个古老而有才能的英国家庭，剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学，三年后他转从律学院大学毕业后留校讲授数学，三年后他转从律师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数师职业，工作卓有成效，并利用业余时间研究数学，发表了大量的数学论文。学，发表了大量的数学论文。凯莱1855年，埃尔米特年，埃尔米特(C.Hermite,1822-190

15、1)证明证明了别的数学家发现的一些矩阵了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872)、布、布克海姆克海姆(A.Buchheim)等证明了等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。念并给出了一些有关的结论。埃尔米特克莱伯施在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不的贡

16、献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。矩阵与合同矩阵的一些重要性质。1854年，约当研究了矩阵化为标准型年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。的问题。1892年，梅茨勒年，梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵

17、的幂级数的形式。傅念并将其写成矩阵的幂级数的形式。傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发无限阶矩阵问题，这主要是适用方程发展的需要而开始的。展的需要而开始的。矩阵本身所具有的性质依矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质，矩阵由最赖于元素的性质，矩阵由最初作为一种工具经过两个多初作为一种工具经过两个多世纪的发展，现在已成为独世纪的发展，现在已成为独立的一门数学分支立的一门数学分支矩阵矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。逆矩阵论等矩阵的现代理论。

18、矩阵及其理论现已广泛地应矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域。用于现代科技的各个领域。线性方程组线性方程组线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作九章算术九章算术方程方程章中已作了比较完整的论述。其中所述方法实质上章中已作了比较完整的论述。其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法。在西方，线性方程组的去未知量的方法，即高斯消元法。在西方，线性方程组的研究是在研究是在17世纪后期由莱布尼茨开创的。他曾研究含两世纪后期由莱布尼茨开创的。他曾研究

19、含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。麦克劳林在个未知量的三个线性方程组组成的方程组。麦克劳林在18世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果。克莱姆不久也程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果。克莱姆不久也发表了这个法则。发表了这个法则。18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了性方程组理论进行了一系列研究，证明了n元齐次线性方元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。程组有非零解的条件是系数行列式等于零。19世纪，英国数学家史密斯世纪，英

20、国数学家史密斯(H.Smith)和道奇和道奇森森(C-L.Dodgson)继续研究线性方程组理论，前者继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念，后引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念，后者证明了者证明了n个未知数个方程的方程组相容的充要条件个未知数个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同。这正是现代方程是系数矩阵和增广矩阵的秩相同。这正是现代方程组理论中的重要结果之一。组理论中的重要结果之一。大量的科学技术问题，最终往往归结为解大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。因此在线性方程组的数值解法线性方程组。因此在线性方程组的数值解法得到发展

21、的同时，线性方程组解的结构等理得到发展的同时，线性方程组解的结构等理论性工作也取得了令人满意的进展。现在，论性工作也取得了令人满意的进展。现在，线性方程组的数值解法在计算数学中占有重线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位。要地位。线性代数的进一步深入发展线性代数的进一步深入发展二次型二次型二次型也称为二次型也称为“二次形式二次形式”，数域，数域K上的上的n元二次齐次多项元二次齐次多项式称为数域式称为数域K上的上的n元二次型。二次型是我们线性代数教材的元二次型。二次型是我们线性代数教材的后继内容，为了我们后面的学习，这里对于二次型的发展历后继内容，为了我们后面的学习，这里对于二次型的发展历

22、史我们也作简单介绍。二次型的系统研究是从史我们也作简单介绍。二次型的系统研究是从18世纪开始世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。将的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。柯世纪引进的。柯西在其著作中给出结论：当方程是标准型时，二次曲面用二西在其著作中给出结论：当方程是标准型时，二次曲面用二次项的符号来进行分类。然而，那时并不太清楚，在化简成次项的符号来进行分类。然而，那时并不

23、太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了个变数的二次型的惯性定律，特回答了这个问题，他给出了个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅可比重新发现和证明。但没有证明。这个定律后被雅可比重新发现和证明。1801年，高斯在年，高斯在算术研究算术研究中引进了二次型的正定、负定、半中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。正定和半负定等术语。二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现

24、在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。而三个变线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特(J-N.P.Hachette)、蒙日和泊松蒙日和泊松(S.D.Poisson,1781-1840)建立的。建立的。柯西在别人著作的基础上，着手研究化简变数的二次型问题，并柯西在别人著作的基础上，着手研究化简变数的二次型问题，并证明了特征方程在直角坐标系的任何变换下不变性。后来，他又证明了特征方程在直角坐标系的任何变换下不变性

25、。后来，他又证明了个变数的两个二次型能用同一个线性变换同时化成平方和。证明了个变数的两个二次型能用同一个线性变换同时化成平方和。1851年，西尔维斯特在研究二次曲线和二次曲面的切触和相年，西尔维斯特在研究二次曲线和二次曲面的切触和相交时需要考虑这种二次曲线和二次曲面束的分类。在他的分类方交时需要考虑这种二次曲线和二次曲面束的分类。在他的分类方法中他引进了初等因子和不变因子的概念，但他没有证明法中他引进了初等因子和不变因子的概念，但他没有证明“不变不变因子组成两个二次型的不变量的完全集因子组成两个二次型的不变量的完全集”这一结论。这一结论。1858年，魏尔斯特拉斯对同时化两个二次型成平方和给出了

26、年，魏尔斯特拉斯对同时化两个二次型成平方和给出了一个一般的方法，并证明，如果二次型之一是正定的，那么即使一个一般的方法，并证明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根相等，这个化简也是可能的。魏尔斯特拉斯比较系统某些特征根相等，这个化简也是可能的。魏尔斯特拉斯比较系统的完成了二次型的理论并将其推广到双线性型。的完成了二次型的理论并将其推广到双线性型。线性代数的扩展线性代数的扩展从解方程到群论的产生从解方程到群论的产生求根问题是方程理论的一个中心课题。求根问题是方程理论的一个中心课题。16世纪，数学家们解决世纪，数学家们解决了三、四次方程的求根公式，对于更高次方程的求根公式是否存在，了三、四

27、次方程的求根公式，对于更高次方程的求根公式是否存在，成为当时的数学家们探讨的又一个问题。到了成为当时的数学家们探讨的又一个问题。到了18世纪下半叶，拉格世纪下半叶，拉格朗日提出了预解式概念，并预见到预解式和各根在排列置换下的形朗日提出了预解式概念，并预见到预解式和各根在排列置换下的形式不变性有关。但他最终没能解决高次方程问题。高次方程的根式式不变性有关。但他最终没能解决高次方程问题。高次方程的根式解的讨论，在挪威杰出数学家阿贝尔那里取得了很大进展。解的讨论，在挪威杰出数学家阿贝尔那里取得了很大进展。1824年，年，阿贝尔证明了次数大于四次的一般代数方程不可能有根式解。但问阿贝尔证明了次数大于四

28、次的一般代数方程不可能有根式解。但问题仍没有彻底解决，因为有些特殊方程可以用根式求解。因此，高题仍没有彻底解决，因为有些特殊方程可以用根式求解。因此，高于四次的代数方程何时没有根式解，是需要进一步解决的问题。这于四次的代数方程何时没有根式解，是需要进一步解决的问题。这一问题由法国数学家伽罗瓦全面透彻地给予解决。伽罗瓦一问题由法国数学家伽罗瓦全面透彻地给予解决。伽罗瓦(E.Galois,1811-1832)仔细研究了拉格朗日和阿贝尔的著作，建立仔细研究了拉格朗日和阿贝尔的著作，建立了方程的根的了方程的根的“容许容许”置换，提出了置换群的概念，得到了代数方置换，提出了置换群的概念，得到了代数方程用

29、根式解的充分必要条件是置换群的自同构群可解。程用根式解的充分必要条件是置换群的自同构群可解。置换群的概置换群的概念和结论是最终产生抽象群的第一个主要来源。念和结论是最终产生抽象群的第一个主要来源。1882-1883年，迪克年，迪克(W.vondyck,1856-1934)的论文把上述三个主要来的论文把上述三个主要来源的工作纳入抽象群的概念之中，建立了（抽象）群的定义。到源的工作纳入抽象群的概念之中，建立了（抽象）群的定义。到19世纪世纪80年代，数学家们终于成功地概括出抽象群论的公理体系。年代，数学家们终于成功地概括出抽象群论的公理体系。20世纪世纪80年年代，群的概念已经普遍地被认为是数学及

30、其许多应用中最基本的概念之一。代，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一。它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群等，分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群等，它们还具有与群结构相联系的其他结构，如拓扑、解析流形、代数簇等，并它们还具有与群结构相联系的其他结构，如拓扑、解析流形、代数簇等，并在结晶学、理论物理、量子化学以及编码学、自动机理论等方面，都有重要在结晶学、理论物理、量子化学以及编码学

31、、自动机理论等方面，都有重要作用。作用。抽象群产生的第二个主要来源则是戴德金抽象群产生的第二个主要来源则是戴德金(R.Dedekind,1831-1916)和克罗内克和克罗内克(L.Kronecker,1823-1891)的有限群及有限交换群的抽象定的有限群及有限交换群的抽象定义以及凯莱义以及凯莱(A.Kayley,1821-1895)关于有限抽象群的研究工作。另外，关于有限抽象群的研究工作。另外，克莱因克莱因(F.Clein,1849-1925)和庞加莱和庞加莱(J-H.Poincare,1854-1912)给给出了无限变换群和其他类型的无限群，出了无限变换群和其他类型的无限群，19世纪世纪70年代，李年代，李(M.S.Lie,1842-1899)开始研究连续变换群，并建立了连续群的一般理开始研究连续变换群，并建立了连续群的一般理论，这些工作构成抽象群论的第三个主要来源。论，这些工作构成抽象群论的第三个主要来源。