(精品)2线性代数(第二章).ppt

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1、线性代数线性代数第二章第二章:行列式行列式第一第一节节 行列式的定行列式的定义义例例:二元一次方程二元一次方程组组当当时时,有惟一解有惟一解定义定义:为为二阶行列式二阶行列式.则解可表为则解可表为:阶行列式的阶行列式的递归定义递归定义.定义定义（余子式）（余子式）中，划去中，划去 位置位置上元素上元素所在的第所在的第行和第行和第列列 元素，余下的元素元素，余下的元素 在在阶阶矩矩阵阵按原按原顺顺序序组组成的成的 阶阶矩矩阵阵:的行列式的行列式称为称为 的的余子式余子式.称称 为为的的代数余子式代数余子式.例如例如 则则 阶阶行列式的定行列式的定义为义为:上式也称为行列式按第一行展开上式也称为行

2、列式按第一行展开.如如 3 阶阶行列式行列式为为:也也记记:例例:下三角行列式下三角行列式 的根的根.例例:求方程求方程第二第二节节 行列式的性行列式的性质质与与计计算算定理定理 2.1（展开定理）（展开定理）对对于于 成立成立 阶阶行列式行列式或或(行列式按第行列式按第 行展开行展开)(行列式按第行列式按第 列展开列展开)当行列式的某行或列有较多的零时当行列式的某行或列有较多的零时,展开较方便展开较方便.定理定理 2.2即即:证明证明:(用用归纳法归纳法)对对二二 阶阶行列式成立行列式成立:假假设对设对 阶阶行列式成立行列式成立;对对 阶阶行列式行列式由由(归纳假设归纳假设)故故例例:定理定

3、理 2.3(1)注注:关于行成立的行列式性质关于行成立的行列式性质,关于列也成立关于列也成立.行列式的行列式的“加法加法”:(2)（注意：只拆一行，其余行不变）（注意：只拆一行，其余行不变）例如例如:定理定理 2.4:任意对换行列式的两行（或两列）元素，任意对换行列式的两行（或两列）元素，其值变号其值变号.证明证明:(用用归纳法归纳法,只证只证“行行”情形情形)对对阶阶行列式成立行列式成立:假假设对设对 阶阶行列式成立行列式成立对对 阶阶行列式行列式假设交换假设交换 两行后两行后得行列式得行列式即即阶）阶）阶）阶）由归纳假设知由归纳假设知 于是于是如如推论推论 1 行列式有两行（或两列）元素对

4、应相同，行列式有两行（或两列）元素对应相同，行列式为零行列式为零.推论推论 2 行列式中若有两行（或两列）对应元素成行列式中若有两行（或两列）对应元素成 比例比例，其值为零其值为零.性性质质 2.5:将某一行（列）元素的将某一行（列）元素的 倍加到另一倍加到另一行（列）行（列）的对应元素上，行列式的值不变的对应元素上，行列式的值不变.例如例如 记号记号:注意注意:(以以3阶为例阶为例)1.2.(注意注意“加到加到”与与“加上加上”的区别的区别)几个特殊的行列式：几个特殊的行列式：1.2.3.范德蒙范德蒙(Vandermonde)行列式行列式其中其中连连乘乘积积号是号是对满对满足足的所有因子的所

5、有因子的乘的乘积积.证证明明:用用归纳归纳法法证证明明.结论结论成立。假成立。假设结论对设结论对阶阶成立，成立，现证现证明明时结论时结论成立成立.第一列上三角化，用后一行减去前一第一列上三角化，用后一行减去前一 将将 时时,当当 行的行的 倍倍按第一列展开；在余下的按第一列展开；在余下的阶阶行列式中，行列式中，分别提取公因子分别提取公因子于是于是 上式右端的行列式已是一个上式右端的行列式已是一个根据根据归纳归纳法假法假设设，得，得阶阶范德蒙范德蒙行列式行列式.当当 n=3时时,.例如例如 .如如 行列式的计算行列式的计算 1.用行列式性质将行列式化为用行列式性质将行列式化为特殊行列式特殊行列式

6、计算计算 (特殊行列式特殊行列式:上三角行列式上三角行列式,范德蒙行列式等范德蒙行列式等.)例例1 计算行列式计算行列式 的值的值.解解 例例2 计算行列式计算行列式 的值的值.解解 例例3 计算行列式计算行列式 的值的值,其中其中 解解 2.直接利用展开定理计算行列式直接利用展开定理计算行列式.(适用于某行或列有较多零时适用于某行或列有较多零时)例例4 计算计算 n 阶行列式阶行列式 的值的值.解解 3.行行(列列)和相等的行列式和相等的行列式.例例5 计算计算 n 阶行列式阶行列式 的值的值.解解:将第将第2列到第列到第n列加到第列加到第1列列第第2行到行到第第n行减行减第一行第一行4.箭

7、头型行列式箭头型行列式.例例6 计算行列式计算行列式 6.递推公式法递推公式法.找出找出 与与 或或 与与 之间的之间的递推公式递推公式.例例7 计算行列式计算行列式 的值的值.解解:将行列式按第将行列式按第1列展开列展开例例8 计算行列式计算行列式 的值的值.(三对角行列式三对角行列式)解解:将行列式按第将行列式按第1列展开列展开例例9 计计算算 阶阶三三对对角角行列式的行列式的值值，解解 将行列式将行列式按第一列展开，注意到按第一列展开，注意到 可得可得递递推关系：推关系：其中其中 于是得到于是得到即即 成一等差数列，其公差成一等差数列，其公差故成立故成立例例 证明证明 证明证明:第二、第

8、三列元素分别加到第一列元素，再第二、第三列元素分别加到第一列元素，再提取第一列的公因子提取第一列的公因子 2 若若 为为 阶矩阵阶矩阵,则则E-mail: 密码密码:xiandai 习题一的解答已放在此邮箱习题一的解答已放在此邮箱.习题的参考答案与提示可在习题的参考答案与提示可在线性代数学习指导线性代数学习指导（洪毅主编）（洪毅主编）中找到中找到.第四节第四节 克莱姆克莱姆(Cramer)(Cramer)法则法则引理引理 证证明明 (只只证证1)由展开定理，由展开定理，对对按第按第行展开，有行展开，有为为 阶矩阵阶矩阵 上式中对第上式中对第 行元素行元素的任意取的任意取值值都成立都成立.现现取

9、第取第 行的元素行的元素值为值为即取即取 例例 设设 求：求：1）2）解：解：1）代数余子式是第）代数余子式是第3列的，列的，它们的系数是第它们的系数是第1列的，从而，列的，从而，因为因为=0+0=0,故故 =逆矩阵公式逆矩阵公式定义定义 阶矩阵阶矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵为为公式公式:若若 可逆可逆,则则注注:在作题时常用在作题时常用.例例:的伴随矩阵为的伴随矩阵为设设 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 求求解解对任何矩阵对任何矩阵成立成立,于是于是例例:求求设设 为三阶矩阵为三阶矩阵,解解 克莱姆法则克莱姆法则线性方程组线性方程组 的系数行列式为的系数行列式为 定理定理（Cramer法法则则）如果）如果元元线线性方程性方程组组的的则则方程方程组组的解存在的解存在,唯一唯一,的系数行列式为的系数行列式为 且解为且解为 其中其中 证证明明 记记 则则方程方程组为组为此方程此方程组组有唯一解有唯一解:由由 可逆可逆,因因 知矩知矩阵阵故有故有例例 利用利用Cramer法法则则，求下列方程，求下列方程组组的解的解.解解 系数行列式系数行列式由由Cramer法法则则,解存在唯一解存在唯一.