《线性代数》第二章向量空间 第2节.ppt

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1、第二节 向量组的线性相关性向量组的线性表示向量组的线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的线性相关与线性无关向量组线性相关的判定定理向量组线性相关的判定定理一、向量组的线性表示一、向量组的线性表示定义定义8由若干个同维数的列向量（或行向量）由若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合叫做所组成的集合叫做向量组向量组。设设是是n维向量组，维向量组，是一组实数是一组实数，的的线性组合线性组合。例如向量例如向量就是这就是这3个向量个向量的一个线性组合的一个线性组合。存在一组实数存在一组实数则称向量则称向量b是是向量组向量组使得使得也称向量也称向量b可由向量组可由向量组线性表示线性表示。都是都是n

2、维向量维向量,如果对向量如果对向量b的的线性组合线性组合，例如例如对向量对向量有有及及还有还有而且表示的方法不惟一而且表示的方法不惟一如果对给定向量组如果对给定向量组A：存在存在不全为零不全为零的实数的实数定义定义9否则否则称之为称之为线性无关线性无关。二、向量组的线性相关与线性无关二、向量组的线性相关与线性无关使得使得则称向量组则称向量组线性相关；线性相关；线性无关。线性无关。即当且仅当即当且仅当注注 意意（2）仅含两个向量的向量组，它线性相关的仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分充分必要必要条件是两向量的对应分量成比例。其几条件是两向量的对应分量成比例。其几何意义是两向量何意义是两向量共

3、线共线。三个向量线性相关的。三个向量线性相关的几何意义是三向量几何意义是三向量共面。共面。（3）任何任何含有零向量含有零向量的向量组都线性的向量组都线性相关。相关。(1)只只包含一个向量包含一个向量的向量组线性相关，当的向量组线性相关，当且仅当且仅当这个向量为零向量这个向量为零向量.反过来，由一个反过来，由一个非零向量构成的向量组必线性无关。非零向量构成的向量组必线性无关。由于由于即即例例试判断下列向量组的线性相关性试判断下列向量组的线性相关性解解若存在数若存在数使使即即因为其系数行列式因为其系数行列式D=于是方程组只有零解，于是方程组只有零解，线性无关线性无关。所以所以例例试试判断下列向量组

4、的线性相关性判断下列向量组的线性相关性解解考察考察按分量写出来，即为按分量写出来，即为（其中（其中a，b，c，d各不相同）各不相同）该方程组的系数行列式该方程组的系数行列式由于由于a，b，c，d各不相同，所以行列式不等于零各不相同，所以行列式不等于零即方程组只有零解，从而即方程组只有零解，从而线性无关线性无关。解解若存在数若存在数即即例例试判断下列向量组的线性相关性试判断下列向量组的线性相关性因为其系数行列式因为其系数行列式D=于是方程组有非零解，即有不全为零数使于是方程组有非零解，即有不全为零数使(*)成立成立线性相关线性相关。所以所以令令显然显然是它的一个解，计算可知是它的一个解，计算可知

5、因此因此线性相关。线性相关。由（由（a）代入（代入（b）（）（c）整理得整理得另另解解证明证明设有设有线性无关。线性无关。例例试证试证n维单位坐标向量组维单位坐标向量组即即解之得解之得所以所以线性无关线性无关。三、向量组线性相关的判定定理三、向量组线性相关的判定定理条件是条件是定理定理n个个n维向量维向量线性相关的充要线性相关的充要其中其中定理定理n维向量组维向量组线性相关的线性相关的充要条件充要条件是其中是其中至少至少有一个向量可由有一个向量可由其余向量线性表示。其余向量线性表示。证明证明必要性必要性若若即存在不全为零的数即存在不全为零的数使得使得线性相关，线性相关，不妨设不妨设于是于是即即

6、可由其余的向量可由其余的向量线性表示线性表示充分性充分性若有一个向量若有一个向量可由其余的向量线性表示可由其余的向量线性表示即即那么由系数那么由系数不全为零，不全为零，知向量组知向量组线性相关。线性相关。定理定理若若n维向量组维向量组A：线性相关，线性相关，则向量组则向量组B：线性相关。线性相关。反言之若反言之若向量组向量组B线性无关，则向量组线性无关，则向量组A也线性无关也线性无关证明证明由向量组由向量组A：线性相关，知线性相关，知存在不全为零的实数存在不全为零的实数使得使得于是于是而而不全为零不全为零故故向量组向量组B线性相关。线性相关。反之，假若向量组反之，假若向量组A线性相关，则由上述

7、证明知线性相关，则由上述证明知向量组向量组B线性相关，这与已知矛盾。线性相关，这与已知矛盾。于是向量组于是向量组A线性无关。线性无关。本本定理说明定理说明（1）若向量组有一个部分组线性相关）若向量组有一个部分组线性相关，则该向量组也线性相关。则该向量组也线性相关。（2）线性无关向量组的任一个部分组都线性无关。）线性无关向量组的任一个部分组都线性无关。定理定理设设n维向量组维向量组线性无关，而线性无关，而线性相关，则线性相关，则可由可由线性表出，且表示法唯一。线性表出，且表示法唯一。证明证明由由零的数零的数线性相关知，存在不全为线性相关知，存在不全为使得使得若若则则不全为零，而有不全为零，而有这

8、与这与线性无关相矛盾，线性无关相矛盾，从而从而于是于是即即可由可由线性表示线性表示。假若假若可有两种不同的表示方法，设可有两种不同的表示方法，设两式相减，得两式相减，得唯一性唯一性线性无关相矛盾，线性无关相矛盾，不全为零，则与不全为零，则与如果系数如果系数从而从而必全为零必全为零线性表示的方法是唯一的。线性表示的方法是唯一的。定理定理设有两向量组设有两向量组则有（则有（1）若向量组若向量组线性无关。线性无关。也线性无关也线性无关则向量组则向量组也线性相关。也线性相关。（2）若向量组若向量组线性相关，线性相关，则向量组则向量组证明证明（1）反证）反证假设假设则存在不全为零的数则存在不全为零的数使

9、得使得即即线性相关，线性相关，由其前由其前r个等式得：个等式得：即即这表明这表明r维向量组维向量组所以所以r+1维向量组维向量组线性无关。线性无关。线性相关，矛盾，线性相关，矛盾，(2)反证反证假设假设r维向量组维向量组由（由（1）推得）推得r+1维维向向量组量组线性无关；线性无关；线性无关，线性无关，与题设矛盾。所以与题设矛盾。所以向量组向量组线性相关。线性相关。证毕证毕此结论对此结论对m个个r维向量组添加维向量组添加m-r维分量的情形维分量的情形也成立。也成立。定理定理中任意中任意n+1个向量个向量必定必定线性相关线性相关证明证明方法二方法二证明证明若若线性相关，则线性相关，则线性相关，线

10、性相关，线性无关，则由于方程组线性无关，则由于方程组的系数行列式不为零，的系数行列式不为零，所以方程组有唯一解，即所以方程组有唯一解，即可由可由线性表示，从而知线性表示，从而知线性相关线性相关推论推论m个个n维向量（维向量（mn）必线性相关。必线性相关。例例设向量组设向量组线性无关，而线性无关，而线性相关，线性相关，试证（试证（1）可由可由不可不可由由线性表示，线性表示，线性表示，线性表示，（2）证明（证明（1）因为因为线性无关，线性无关，由定理由定理知，其部分组知，其部分组也线性无关，也线性无关，又因为又因为线性相关，线性相关，所以由定理知：所以由定理知：也即也即因此因此可由可由线性表示。线

11、性表示。可由可由线性表示，即线性表示，即证（证（2）用反证法）用反证法假设假设可由可由线性表示，即线性表示，即而由（而由（1）的证明知）的证明知将之将之代入上式得：代入上式得：此式说明：此式说明：可由可由线性表示，线性表示，从而可推出从而可推出线性相关，与题设矛盾。线性相关，与题设矛盾。不可不可由由线性表示。线性表示。故故.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；.线性相关与线性无关的概念；线性相关与线性无关的概念；2.线性相关与线性无关的判定方法：定义，线性相关与线性无关的判定

12、方法：定义，两个定理两个定理（难点难点）小小结结若存在一组数若存在一组数使得使得则则向量组向量组A线性相关线性相关B线性无关线性无关C部分线性相关部分线性相关D可能可能线性相关也可能线性无关线性相关也可能线性无关思思考考题题1.2.向量组向量组线性无关的充要条件是线性无关的充要条件是A都是零向量都是零向量B中任意两个向量的分量不成比例中任意两个向量的分量不成比例C中有一部分组线性无关中有一部分组线性无关D中任意向量均不可由其余向量中任意向量均不可由其余向量线性表示线性表示3.设有向量组设有向量组则则下列哪种说法正确下列哪种说法正确?A该向量组线性相关，则该向量组线性相关，则必可由必可由线性表示。线性表示。B该向量组线性无关，则其中任何该向量组线性无关，则其中任何m-1个向量必个向量必线性无关。线性无关。C若该向量组中任何两个向量都线性无关，则该向若该向量组中任何两个向量都线性无关，则该向量组必线性无关。量组必线性无关。D若若全为零，使全为零，使则该向量组必线性无关。则该向量组必线性无关。