2019年数学新同步湘教版必修2第11章 11.1 算法的概念.doc

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1、111算法的概念算法的概念1算法的概念算法的概念在数学中，算法通常是指由在数学中，算法通常是指由有限多个步骤有限多个步骤组成的求解组成的求解某一类某一类问题的通用的方法问题的通用的方法2算法的特点算法的特点一般地，对一个问题的算法就是解决该问题的程序步骤的概要说明，它有以下三个特一般地，对一个问题的算法就是解决该问题的程序步骤的概要说明，它有以下三个特点：点：(1)这一程序必须是这一程序必须是确定的确定的各步骤的各步骤的本质本质与与次序次序被明确清楚地加以描述；被明确清楚地加以描述；(2)这一程序步骤必须是这一程序步骤必须是有效的有效的按此程序步骤最后必然能得到按此程序步骤最后必然能得到这一问

2、题正确的解；这一问题正确的解；(3)这一程序步骤必须是这一程序步骤必须是有限的有限的该程序在该程序在有限步有限步之后终止之后终止.1如何理解算法的概念？如何理解算法的概念？提示：提示：(1)现代意义上的现代意义上的“算法算法”通常是指用计算机来解决某一类问题的程序或步骤，通常是指用计算机来解决某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成(2)算法是机械的，有时要进行大量重复计算，只要按部就班地去做，总能算出结算法是机械的，有时要进行大量重复计算，只要按部就班地去做，总能算出结果通常把算法过程称为果通

3、常把算法过程称为“数学机械化数学机械化” ，其最大优点是可以让计算机来完成，其最大优点是可以让计算机来完成(3)求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，可能有不同的算法求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，可能有不同的算法2如何理解算法的三个特点？如何理解算法的三个特点？提示：提示：(1)确定性确定性算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一

4、步都准确无误，才能解决问题能解决问题(2)有效性有效性算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可的比如让学生求棱两可的比如让学生求的近似值却没有要求近似的精确度，不同的学生会得到不同的的近似值却没有要求近似的精确度，不同的学生会得到不同的3结果或者说该问题根本不能求解结果或者说该问题根本不能求解(3)有限性有限性一个算法的步骤序列是有限的，它应在有限步操作之后停止，而不能是无限的一个算法的步骤序列是有限的，它应在有限步操作之后停止，而不能是无限的算法的概念算法的概念有下列说法：有下列

5、说法： 求解某一类问题的算法是唯一的；求解某一类问题的算法是唯一的；算法必须在有限步操作后停止；算法必须在有限步操作后停止；算法的每一步操作必须是明确的，不能存在歧义；算法的每一步操作必须是明确的，不能存在歧义；算法执行后一定能产生确定的结果算法执行后一定能产生确定的结果其中，正确说法的序号有其中，正确说法的序号有_解析解析 由算法的不唯一性知由算法的不唯一性知不正确；不正确；由算法的有限性知由算法的有限性知正确；正确；由算法的正确性知由算法的正确性知和和正确正确答案答案 1算法是解决某一类问题的一种程序化方法算法是解决某一类问题的一种程序化方法2.判断一个问题是否有算法，关键看是否有解决某一

6、类问题的程序或步骤，这些程序判断一个问题是否有算法，关键看是否有解决某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成1指出下列哪个不是算法指出下列哪个不是算法( )A解方程解方程 2x60 的过程是移项和系数化为的过程是移项和系数化为 1B从长沙到北京要先乘汽车到飞机场，再乘飞机到北京从长沙到北京要先乘汽车到飞机场，再乘飞机到北京C解方程解方程 2x2x10D利用公式利用公式 Sr2计算半径为计算半径为 3 的圆的面积就是计算的圆的面积就是计算 32解析：解析：选选 C 由算法概念知，由算法概念知，C 不是算法

7、，而不是算法，而 A，B，D 三项都解决了一类问题，故三项都解决了一类问题，故为算法为算法算法的设计算法的设计写出解方程写出解方程 x22x30 的一个算法的一个算法解解 法一：法一：S1：移项，得：移项，得 x22x3；S2：x22x3 式两边同时加式两边同时加 1，并配方，得，并配方，得(x1)24；S3：(x1)24 式两边开方，得式两边开方，得 x12；S4：解：解 x12 得得 x3 或或 x1.法二：法二：S1：计算出一元二次方程的判别式的值，并判断其符号，显然：计算出一元二次方程的判别式的值，并判断其符号，显然2243160；S2：将：将 a1，b2，c3 代入求根公式得代入求根

8、公式得 x13，x21.设计一个具体的算法的步骤设计一个具体的算法的步骤(1)认真分析问题，找出解决此问题的一般数学方法；认真分析问题，找出解决此问题的一般数学方法；(2)借助有关变量或参数对算法加以表述；借助有关变量或参数对算法加以表述；(3)将解决问题的过程划分为若干步骤；将解决问题的过程划分为若干步骤；(4)用简单的语言将这个步骤表示出来用简单的语言将这个步骤表示出来2对任意对任意 3 个整数个整数 a，b，c，写出求最大数的算法，写出求最大数的算法解：解：算法步骤如下：算法步骤如下：S1：令：令 maxa；S2：比较：比较 max 与与 b 的大小，若的大小，若 bmax，则令，则令

9、maxb；S3：比较：比较 max 与与 c 的大小，若的大小，若 cmax，则令，则令 maxc；S4：max 就是就是 a，b，c 中的最大数中的最大数利用利用“更相减损术更相减损术”求最大公约数求最大公约数用更相减损术求用更相减损术求 154 与与 242 的最大公约数的最大公约数解解 154277,2422121.下面用更相减损术求下面用更相减损术求 77 与与 121 的最大公约数的最大公约数1217744，774433，443311，331122，221111.故故 77 与与 121 的最大公约数为的最大公约数为 11，则，则 154 与与 242 的最大公约数为的最大公约数为

10、11222.“更相减损术更相减损术”的算法步骤的算法步骤第一步：任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数若是，用第一步：任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数若是，用 2 约简；若不是，约简；若不是，执行第二步执行第二步第二步：以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小第二步：以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数重复这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数数重复这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数等数)或这个数与约简的数的乘积或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数就是所求的最大公约数3用更相减损术求用更相减损术求 228

11、 与与 1 995 的最大公约数的最大公约数解：解：1 9952281 767,1 7672281 539，1 5392281 311,1 3112281 083，1 083228855,855228627，627228399,399228171，22817157,17157114，1145757.所以所以 228 与与 1 995 的最大公约数为的最大公约数为 57.随堂体验落实随堂体验落实1下列对算法的理解不正确的是下列对算法的理解不正确的是( )A算法有一个共同特点就是对一类问题都有效算法有一个共同特点就是对一类问题都有效(而不是个别问题而不是个别问题)B算法要求是一步步执行，每一步都能

12、得到唯一的结果算法要求是一步步执行，每一步都能得到唯一的结果C算法一般是机械的，有时要进行大量重复的计算，它的优点是一种通法算法一般是机械的，有时要进行大量重复的计算，它的优点是一种通法D任何问题都可以用算法来解决任何问题都可以用算法来解决解析：解析：选选 D 算法是解决问题的精确的描述，但是并不是所有问题都有算法算法是解决问题的精确的描述，但是并不是所有问题都有算法2下列可以看成算法的是下列可以看成算法的是( )A学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题做适当的练习题B今天餐厅的

13、饭真好吃今天餐厅的饭真好吃C这道数学题很难做这道数学题很难做D方程方程 2x2x10 无实数根无实数根解析：解析：选选 A A 是学习数学的一个步骤，所以是算法是学习数学的一个步骤，所以是算法3早上从起床到出门需要洗脸刷牙早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶、刷水壶(2 min)、烧水、烧水(8 min)、泡面、泡面(3 min)、吃饭吃饭(10 min)、听广播、听广播(8 min)几个步骤从下列选项中选出较好的一种算法几个步骤从下列选项中选出较好的一种算法( )AS1：洗脸刷牙、：洗脸刷牙、S2：刷水壶、：刷水壶、S3：烧水、：烧水、S4：泡面、：泡面、S5：吃饭、：吃饭、S

14、6：听广播：听广播BS1：刷水壶、：刷水壶、S2：烧水同时洗脸刷牙、：烧水同时洗脸刷牙、S3：泡面、：泡面、S4：吃饭、：吃饭、S5：听广播：听广播CS1：刷水壶、：刷水壶、S2：烧水同时洗脸刷牙、：烧水同时洗脸刷牙、S3：泡面、：泡面、S4：吃饭同时听广播：吃饭同时听广播DS1：吃饭同时听广播、：吃饭同时听广播、S2：泡面、：泡面、S3：烧水同时洗脸刷牙、：烧水同时洗脸刷牙、S4：刷水壶：刷水壶解析：解析：选选 C 完成这个过程用时最少的是最好的算法，因此我们可以从四个答案所给完成这个过程用时最少的是最好的算法，因此我们可以从四个答案所给出的步骤是否合理，需要花费多少时间入手出的步骤是否合理

15、，需要花费多少时间入手4求求 123100 时可运用公式时可运用公式 123n直接计算，算法可直接计算，算法可n n1 2设计为：设计为：S1：_；S2：_；S3：输出计算结果：输出计算结果解析：解析：S1：取：取 n100；S2：计算：计算的值的值n n1 2答案：答案：取取 n100 计算计算 的值的值n n1 25给出下列算法：给出下列算法：S1：输入：输入 x 的值；的值；S2：当：当 x4，计算，计算 yx2；否则执行下一步；否则执行下一步；S3：计算：计算 y；4xS4：输出：输出 y.当输入当输入 x0 时，输出时，输出 y_.解析：解析：02，则执行，则执行 S3；S3：依次从

16、：依次从 2 到到(n1)检验能不能被检验能不能被 n 整除，若不能被整除，若不能被 n 整除，则执行整除，则执行 S4；若能整除；若能整除n，则结束算法；，则结束算法；S4：输出：输出 n.满足条件的满足条件的 n 是是( )A质数质数 B奇数奇数C偶数偶数 D约数约数解析：解析：选选 A 此题首先要理解质数，只能被此题首先要理解质数，只能被 1 和自身整除的大于和自身整除的大于 1 的整数叫质数的整数叫质数.2 是是最小的质数，这个算法通过对最小的质数，这个算法通过对 2 到到(n1)一一验证，看是否有其他约数，来判断其是否为一一验证，看是否有其他约数，来判断其是否为质数质数二、填空题二、

17、填空题5已知一位同学的语文成绩为已知一位同学的语文成绩为 89 分，数学成绩为分，数学成绩为 96 分，英语成绩为分，英语成绩为 99 分求他的分求他的总分和平均成绩的一个算法为：总分和平均成绩的一个算法为：S1：取：取 A89，B96，C99；S2：_；S3：_；S4：输出计算结果：输出计算结果解析：解析：S2：计算总分；：计算总分；S3：计算平均数：计算平均数答案：答案：计算总分计算总分 DABC计算平均成绩计算平均成绩 ED36下面给出了解决问题的算法：下面给出了解决问题的算法：S1：输入：输入 x；S2：若：若 x1，则，则 y2x1，否则，否则 yx23；S3：输出：输出 y .(1

18、)这个算法解决的问题是这个算法解决的问题是_；(2)当输入的当输入的 x 值为值为_时，输入值与输出值相等时，输入值与输出值相等解析：解析：由题意知，该算法的算法功能是求分段函数由题意知，该算法的算法功能是求分段函数 yError!Error!的函数值的函数值当当 x1 时，由时，由 2x1x，得，得 x1；当；当 x1 时，由时，由 x23x 知，方程无解知，方程无解答案：答案：(1)求分段函数求分段函数 yError!Error!的函数值的函数值(2)17已知已知 a333，b24，则使得，则使得 abqr(q，r 均为自然数，且均为自然数，且 0rb)成立的成立的 q 和和 r的值分别为

19、的值分别为_解析：解析：333241321，q13，r21.答案：答案：13,218123 和和 48 的最大公约数是的最大公约数是_解析：解析：1234875，754827，482721，27216，21615，1569，963，633，123 和和 48 的最大公约数为的最大公约数为 3.答案：答案：3三、解答题三、解答题9写出求方程组写出求方程组Error!Error!的解的算法的解的算法解：法一：解：法一：S1：2，得到，得到 5x144； S2：解方程：解方程，可得，可得 x2； S3：将：将代入代入，可得，可得 2y2； S4：解：解得得 y4；S5：得到方程组的解为：得到方程组的

20、解为Error!Error!法二：法二：S1：由：由式移项可以得到式移项可以得到 x2y； S2：把：把代入代入，得，得 y4； S3：把：把代入代入，得，得 x2；S4：得到方程组的解为：得到方程组的解为Error!Error!10写出求写出求 123456 的一个算法的一个算法解：解：S1：计算：计算 12，得到，得到 2；S2：将：将 S1 的运算结果的运算结果 2 乘乘 3，得到，得到 6；S3：将：将 S2 的运算结果的运算结果 6 乘乘 4，得到，得到 24；S4：将：将 S3 的运算结果的运算结果 24 乘乘 5，得到，得到 120；S5：将：将 S4 的运算结果的运算结果 120 乘乘 6，得到，得到 720；S6：输出运算结果：输出运算结果.