2019年数学新同步湘教版必修2第1章 1．1.1 命题的概念和例子.doc

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1、11命题及其关系命题及其关系11.1 命题的概念和例子命题的概念和例子读教材读教材填要点填要点1命题的概念命题的概念可以可以判断成立或不成立判断成立或不成立的语句叫作命题的语句叫作命题2命题的分类命题的分类(1)真命题：真命题：成立成立的命题叫作真命题的命题叫作真命题(2)假命题：假命题：不成立不成立的命题叫作假命题的命题叫作假命题(3)猜想：猜想：暂时不知道真假暂时不知道真假的命题可以叫作猜想的命题可以叫作猜想小问题小问题大思维大思维1如果一个语句是命题，它必须具备什么条件？如果一个语句是命题，它必须具备什么条件？提示：提示：如果一个语句是命题，那么该语句所陈述的事情必须能够判断其成立或不成

2、如果一个语句是命题，那么该语句所陈述的事情必须能够判断其成立或不成立立2数学中的定义、公理、定理、公式等是否是命题？是真命题还是假命题？数学中的定义、公理、定理、公式等是否是命题？是真命题还是假命题？提示：提示：数学中的定义、定理、公理、公式等都是命题，且都是真命题数学中的定义、定理、公理、公式等都是命题，且都是真命题命题的概念命题的概念判断下列语句是否是命题，并说明理由判断下列语句是否是命题，并说明理由 (1)求证求证 是无理数；是无理数；(2)若若 xR，则，则 x24x50；(3)一个数的算术平方根一定是负数；一个数的算术平方根一定是负数；(4)梯形是不是平面图形呢？梯形是不是平面图形呢

3、？自主解答自主解答 (1)是祈使句，不是命题；是祈使句，不是命题；(2)可以判断其是否成立，故为命题；可以判断其是否成立，故为命题；(3)是命题，并且是假命题，因为一个数的算术平方根为非负数；是命题，并且是假命题，因为一个数的算术平方根为非负数；(4)“梯形是不是平面图形呢？梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题是疑问句，所以它不是命题判断一个语句是否是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合判断一个语句是否是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“可以判断可以判断成立或不成立成立或不成立”这个条件，如果满足这个条件，该语句就是命题，否则就不是这个条件，如果满足这个条件

4、，该语句就是命题，否则就不是1判断下列语句是否为命题，并说明理由判断下列语句是否为命题，并说明理由(1)若平行四边形的边都相等，则它是菱形；若平行四边形的边都相等，则它是菱形；(2)空集是任何非空集合的真子集；空集是任何非空集合的真子集；(3)对顶角相等吗？对顶角相等吗？(4)x3.解：解：(1)能判断其是否成立，是命题；能判断其是否成立，是命题；(2)能判断其是否成立，是命题；能判断其是否成立，是命题；(3)是疑问句，不是命题；是疑问句，不是命题； (4)不能判断其是否成立，不是命题不能判断其是否成立，不是命题真假命题的判断真假命题的判断判断下列命题的真假，并说明理由判断下列命题的真假，并说

5、明理由 (1)如果学好了数学，那么就会使用电脑；如果学好了数学，那么就会使用电脑；(2)若若 x3 或或 x7，则，则(x3)(x7)0；(3)正方形既是矩形又是菱形；正方形既是矩形又是菱形；(4)若若 a，b 都是奇数，则都是奇数，则 ab 必是奇数必是奇数自主解答自主解答 (1)是假命题，学好数学与会使用电脑不具有因果关系，因而无法推出结是假命题，学好数学与会使用电脑不具有因果关系，因而无法推出结论，故为假命题论，故为假命题(2)是真命题，是真命题，x3 或或 x7 能得到能得到(x3)(x7)0.(3)是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩

6、形又是菱形(4)是真命题，是真命题，令令 a2k11，b2k21(k1，k2Z)，则则 ab2(2k1k2k1k2)1，显然显然 2k1k2k1k2是一个整数，是一个整数，故故 ab 是奇数是奇数若将本例若将本例(4)中的中的“奇数奇数”改为改为“无理数无理数” ，判断该命题的真假，判断该命题的真假解：解：当当 a，b时，时，a，b 都是无理数，但都是无理数，但 ()5 是有理数，故该命是有理数，故该命5555题为假命题题为假命题判断命题真假的策略判断命题真假的策略(1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依

7、据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证(2)要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可2判断下列命题的真假，并说明理由判断下列命题的真假，并说明理由(1)形如形如 ab 的数是无理数；的数是无理数；6(2)一个等比数列的公比大于一个等比数列的公比大于 1 时，该数列为递增数列；时，该数列为递增数列；(3)奇函数的图象关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称；(4)能被能被 2 整除的数一定能被整除的数一定能被 4 整除整除解：解：(1)假命题，反例：假命题，反例：a 是有理数且是有理数

8、且 b0，则，则 ab 是有理数是有理数6(2)假命题若数列假命题若数列an为等比数列，且为等比数列，且 a11，q2，则该数列为递减数列，则该数列为递减数列(3)真命题根据奇函数的性质可知奇函数的图象一定关于原点对称真命题根据奇函数的性质可知奇函数的图象一定关于原点对称(4)假命题反例：如假命题反例：如 2,6 能被能被 2 整除，但不能被整除，但不能被 4 整除整除命题的综合问题命题的综合问题试探究命题试探究命题“方程方程 ax2bx10 有实数解有实数解”为真命题时，为真命题时，a，b 满足的条满足的条件件自主解答自主解答 方程方程 ax2bx10 有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一

9、元二次方有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况：程两种情况：当当 a0 时，方程时，方程 ax2bx10 为为 bx10，只有当，只有当 b0 时，方程有实数解时，方程有实数解x ；1b当当 a0 时，方程时，方程 ax2bx10 为一元二次方程，方程有实数解的条件为为一元二次方程，方程有实数解的条件为b24a0.综上知，当综上知，当 a0，b0 或或 a0，b24a0 时，方程时，方程 ax2bx10 有实数解有实数解(1)并不是任何语句都是命题要判断一个句子是否为命题，关键在于能否判断其成立并不是任何语句都是命题要判断一个句子是否为命题，关键在于能否判断其成立或不成立一般

10、地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题或不成立一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题(2)一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居其一一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居其一3下面的命题中是真命题的是下面的命题中是真命题的是( )Aysin2x 的最小正周期为的最小正周期为 2B若方程若方程 ax2bxc0(a0)的两根同号，则的两根同号，则 0caC如果如果 MN，那么，那么 MNMD在在ABC 中，若中，若0，则，则 B 为锐角为锐角ABBC解析：解析：选选 B ysin2x，T，故，故 A 为假命题；当为假命题；当 MN 时，时，1cos 2x222MNN，故，故 C 为假命题；在三

11、角形为假命题；在三角形 ABC 中，当中，当0 时，向量时，向量与与的夹的夹ABBCABBC角为锐角，角为锐角，B 应为钝角，故应为钝角，故 D 为假命题故选为假命题故选 B. 解题高手解题高手 妙解题妙解题 什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路什么是智慧，智慧就是简单、高效、不走弯路若命题若命题“如果如果 5x1a，那么，那么 x1”是真命题，求实数是真命题，求实数 a 的取值范围的取值范围巧思巧思 “如果如果 5x1a，那么，那么 x1”是真命题，则不等式是真命题，则不等式 5x1a 的解集是的解集是 x1 的子的子集集妙解妙解 由由 5x1a，得，得 x (1a)15命题命题“如果如

12、果 5x1a 那么那么 x1”是真命题，是真命题，(1，)(1a5， ，)1，即，即 a4.1a5即即 a 的取值范围是的取值范围是4，)1 “红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思 ”这是唐代诗人王维的这是唐代诗人王维的相相思思 ，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )A红豆生南国红豆生南国 B春来发几枝春来发几枝C愿君多采撷愿君多采撷D此物最相思此物最相思解析：解析：“红豆生南国红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命

13、题，且是真命题；命题；“春来发几枝春来发几枝”是疑问句，是疑问句， “愿君多采撷愿君多采撷”是祈使句，是祈使句， “此物最相思此物最相思”是感叹句，都是感叹句，都不是命题，故选不是命题，故选 A.答案：答案：A2下列命题中的真命题是下列命题中的真命题是( )A互余的两个角不相等互余的两个角不相等B相等的两个角是同位角相等的两个角是同位角C若若 a2b2，则，则|a|b|D三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角解析：解析：由平面几何知识可知由平面几何知识可知 A、B、D 三项都是错误的三项都是错误的答案：答案：C3给出命题给出命题“方程方程 x2ax10

14、 没有实数根没有实数根” ，则使该命题为真命题的，则使该命题为真命题的 a 的一个值可的一个值可以是以是( )A4B2C0D3解析：解析：方程无实根时，应满足方程无实根时，应满足 a243x 为真命题，求为真命题，求 x 的取值范围的取值范围解：解：x223x，x23x20.解得解得 x2 或或 x0 的解集的解集D作作ABCEFG解析：解析：A 选项是疑问句，不是命题，选项是疑问句，不是命题，C、D 选项中的语句显然不是选项中的语句显然不是答案：答案：B2已知命题已知命题“非空集合非空集合 M 中的元素都是集合中的元素都是集合 P 中的元素中的元素”是假命题，那么下列命题是假命题，那么下列命

15、题中真命题的个数为中真命题的个数为( )M 中的元素都不是中的元素都不是 P 的元素；的元素；M 中有不属于中有不属于 P 的元素；的元素；M 中有属于中有属于 P 的元素；的元素；M 中的元素不都是中的元素不都是 P 的元素的元素A1 B2C3D4解析：解析：错误；错误；正确正确答案：答案：B3下列命题中，为真命题的是下列命题中，为真命题的是( )A对角线相等的四边形是矩形对角线相等的四边形是矩形B若一个球的半径变为原来的若一个球的半径变为原来的 2 倍，则其体积变为原来的倍，则其体积变为原来的 8 倍倍C若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相

16、等D直线直线 xy10 与圆与圆 x2y21 相切相切解析：解析：等腰梯形对角形相等，不是矩形，故等腰梯形对角形相等，不是矩形，故 A 中命题是假命题；由球的体积公式可知中命题是假命题；由球的体积公式可知B 中命题为真命题；中命题为真命题；C 中命题为假命题，如中命题为假命题，如“3,3,3”和和“2,3,4”的平均数相等，但标准差显然的平均数相等，但标准差显然不相等；圆不相等；圆 x2y21 的圆心的圆心(0,0)到直线到直线 xy10 的距离的距离 dx，则，则 x1；函数函数 yx3是指数函数是指数函数其中假命题的个数为其中假命题的个数为( )A1B2C3D4解析：解析：中，显然中，显然

17、 lm 或或 l 与与 m 重合，所以重合，所以是假命题；由基本不等式，知是假命题；由基本不等式，知是真是真命题；命题；中，由中，由 x2x，得，得 x1，所以，所以是假命题；是假命题；中，函数中，函数 yx3是幂函数，不是幂函数，不是指数函数，所以是指数函数，所以是假命题故选是假命题故选 C.答案：答案：C二、填空题二、填空题5下列语句：下列语句：mx22x10 是一元二次方程吗？是一元二次方程吗？抛物线抛物线 yax22x1 与与 x 轴至少有一个交点；轴至少有一个交点；互相包含的两个集合相等；互相包含的两个集合相等；若若 m0，ab0，则，则 .bmamba其中真命题的序号为其中真命题的

18、序号为_解析：解析：不是命题；不是命题；错，可能没交点；错，可能没交点；正确，若正确，若 AB，BA，则，则 AB；显然显然正确，可以证明正确，可以证明答案：答案：6给出下列命题：给出下列命题：方程方程 x2x10 有两个实根；有两个实根；对于实数对于实数 x，若，若 x20，则，则 x20；若若 p0，则，则 p2p；正方形不是菱形正方形不是菱形其中真命题是其中真命题是_，假命题是，假命题是_解析：解析：假，因假，因 0；真；真；假，假，p 时，时，p2p；假，正方形是菱形，也是矩假，正方形是菱形，也是矩12形形答案：答案： 7函数函数 f(x)的定义域为的定义域为 A，若当，若当 x1，x

19、2A 且且 f(x1)f(x2)时，总有时，总有 x1x2，则称，则称 f(x)为单函数例如，函数为单函数例如，函数 f(x)2x1(xR)是单函数下列命题：是单函数下列命题：函数函数 f(x)x2(xR)是是单函数；单函数；指数函数指数函数 f(x)2x(xR)是单函数；是单函数；在定义域上具有单调性的函数一定是单函在定义域上具有单调性的函数一定是单函数其中的真命题是数其中的真命题是_(填序号填序号)解析：解析：由由 x x ，未必有，未必有 x1x2，故，故为假命题；对于为假命题；对于 f(x)2x，当，当 f(x1)f(x2)时一时一2 12 2定有定有 x1x2，故，故为真命题；当函数

20、在其定义域上单调时，一定有为真命题；当函数在其定义域上单调时，一定有“若若 f(x1)f(x2)，则，则x1x2” ，故，故为真命题故真命题是为真命题故真命题是.答案：答案：8若命题若命题“ax22ax30 不成立不成立”是真命题，则实数是真命题，则实数 a 的取值范围是的取值范围是_解析：解析：ax22ax30 不成立，不成立，ax22ax30 恒成立当恒成立当 a0 时，时，30 恒成恒成立；立；当当 a0 时，则有时，则有Error!Error!解得解得3a0.综上，综上，3a0.答案：答案：3,0三、解答题三、解答题9判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由判断下列语句是否

21、是命题，若是，判断其真假，并说明理由(1)一个数不是合数就是质数一个数不是合数就是质数(2)大角所对的边大于小角所对的边大角所对的边大于小角所对的边(3)xy 是有理数，则是有理数，则 x，y 也都是有理数也都是有理数(4)求证求证 xR，方程，方程 x2x10 无实根无实根解：解：(1)是假命题，是假命题，1 不是合数，也不是质数不是合数，也不是质数(2)是假命题，必须在同一个三角形或全等三角形中是假命题，必须在同一个三角形或全等三角形中(3)是假命题，如是假命题，如 x，y.22(4)祈使句，不是命题祈使句，不是命题10判断命题：判断命题：“若若 ab2，则直线，则直线 xy0 与圆与圆(xa)2(yb)22 相切相切”的真的真假假解：解：由已知由已知 ab2，圆心圆心(a，b)到直线到直线 xy0 的距离的距离 dr，|ab|2222所以直线与圆相切，即命题为真所以直线与圆相切，即命题为真.