2019年数学新同步湘教版必修2第5章 章末小结.doc

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1、1两种合情推理两种合情推理(1)归纳推理：归纳推理：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，步骤如下：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，步骤如下：通过观察个别对象发现某些相同性质；通过观察个别对象发现某些相同性质；由相同性质猜想一般性命题由相同性质猜想一般性命题(2)类比推理：类比推理：类比推理是由特殊到特殊的推理，步骤如下：类比推理是由特殊到特殊的推理，步骤如下：找出两类对象之间的相似性或一致性；找出两类对象之间的相似性或一致性；由一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题由一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题2演绎推理演绎推理演绎推理是由一般

2、到特殊的推理，一般模式为三段论演绎推理是由一般到特殊的推理，一般模式为三段论演绎推理只要前提正确，推理的形式正确，那么推理所得的结论就一定正确注意错演绎推理只要前提正确，推理的形式正确，那么推理所得的结论就一定正确注意错误的前提和推理形式会导致错误的结论误的前提和推理形式会导致错误的结论3直接证明直接证明综合法和分析法综合法和分析法(1)综合法是综合法是“由因导果由因导果” ，即从已知条件出发，利用定理、定义、公理和运算法则证，即从已知条件出发，利用定理、定义、公理和运算法则证明结论明结论(2)分析法是分析法是“执果索因执果索因” ，即从结论逆向转化，寻找一个已证的命题，即从结论逆向转化，寻找

3、一个已证的命题(已知条件或定义、已知条件或定义、公理、定理、公式等公理、定理、公式等)注意：注意：分析法是从结论出发，但不可将结论当作条件分析法是从结论出发，但不可将结论当作条件在证明过程中，在证明过程中， “只要证只要证” “即证即证”等词语不能省略等词语不能省略4间接证明间接证明反证法反证法反证法证题的步骤为：反设归谬结论，即通过否定结论，得出矛盾来证明命题反证法证题的步骤为：反设归谬结论，即通过否定结论，得出矛盾来证明命题注意：注意：反证法的关键是将否定后的结论当条件使用反证法的关键是将否定后的结论当条件使用归归 纳纳 推推 理理例例 1 给出下面的数表序列：给出下面的数表序列：表表1

4、1表表2 1 3 4表表3 1 3 5 4 8 12其中表其中表 n(n1,2,3，)有有 n 行，第行，第 1 行的行的 n 个数是个数是 1,3,5，2n1，从第，从第 2 行起，行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和写出表每行中的每个数都等于它肩上的两数之和写出表 4，验证表，验证表 4 各行中的数的平均数按从各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表 n(n3)(不要求证明不要求证明)解解 表表 4 为为1 3 5 7 4 8 12 12 20 32它的第它的第 1,2,3,4 行中的数的平均数分别是行中的数的平均数分

5、别是 4,8,16,32，它们构成首项为，它们构成首项为 4，公比为，公比为 2 的等的等比数列将这一结论推广到表比数列将这一结论推广到表 n(n3)，即表，即表 n(n3)各行中的数的平均数按从上到下的顺各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为序构成首项为 n，公比为，公比为 2 的等比数列的等比数列简单的归纳猜想问题通过观察所给的数表、数阵或等式、不等式即可得到一般性结论，简单的归纳猜想问题通过观察所给的数表、数阵或等式、不等式即可得到一般性结论，较复杂的问题需将已知转换为同一形式才易于寻找规律较复杂的问题需将已知转换为同一形式才易于寻找规律例例 2 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师

6、，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图其中第一个图有边形，如图为一组蜂巢的截面图其中第一个图有 1 个蜂巢，第二个图有个蜂巢，第二个图有 7 个蜂巢，第三个蜂巢，第三个图有个图有 19 个蜂巢，按此规律，以个蜂巢，按此规律，以 f(n)表示第表示第 n 个图的蜂巢总数个图的蜂巢总数则则 f(4)_，f(n)_.解析解析 因为因为 f(1)1，f(2)716，f(3)191612，所以，所以 f(4)16121837，所以，所以 f(n)1612186(n1)3n23n1.答案答案 37 3n23n1解答

7、此类题目时，需要细心观察图形，寻找每一项与序号之间的关系，同时还要联系解答此类题目时，需要细心观察图形，寻找每一项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识本题注意从图形中抽象出等差数列相关的知识本题注意从图形中抽象出等差数列1图图 1 是一个水平摆放的小正方体木块，图是一个水平摆放的小正方体木块，图 2，图，图 3 是由这样的小正方体木块叠放而是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是 .解析：解析：分别观察正方体的个数为：分别观察正方体的个数为：1,15,159，归纳

8、可知，第归纳可知，第 n 个叠放图形中共有个叠放图形中共有 n 层，构成了以层，构成了以 1 为首项，以为首项，以 4 为公差的等差数列，为公差的等差数列，所以所以 Snnn(n1)422n2n，所以所以 S7272791.答案答案：912.如图，给出了如图，给出了 3 层的六边形，图中所有点的个数层的六边形，图中所有点的个数 S3为为 28，按其，按其规律再画下去，可得规律再画下去，可得 n(nN)层六边形，试写出层六边形，试写出 Sn的表达式的表达式解：解：设每层除去最上面的一个点的点数为设每层除去最上面的一个点的点数为 an，则则 an是以是以 5 为首项，为首项，4 为公差的等差数列，

9、为公差的等差数列，则则 Sna1a2an112n23n1(nN).n554 n1 2类类 比比 推推 理理例例 3 在在ABC 中，中，ABAC，ADBC 于于 D.求证：求证：，那么在四面体，那么在四面体 ABCD 中，类比上述论据，你能得到怎样的中，类比上述论据，你能得到怎样的1AD21AB21AC2猜想，并说明理由猜想，并说明理由证明证明 如右图所示，由射影定理，如右图所示，由射影定理，AD2BDDC，AB2BDBC，AC2BCDC，.1AD21BDDCBC2BDBCDCBCBC2AB2AC2BC2AB2AC2，.1AD2AB2AC2AB2AC21AB21AC2.1AD21AB21AC2

10、猜想：类比猜想：类比 ABAC，ADBC，猜想四面体，猜想四面体 ABCD 中，中，AB，AC，AD 两两垂直，两两垂直，AE平面平面 BCD，则则.1AE21AB21AC21AD2证明上述猜想成立证明上述猜想成立如右图所示，连接如右图所示，连接 BE 交交 CD 于于 F，连接，连接 AF.ABAC，ABAD，AB平面平面 ACD.而而 AF平面平面 ACD，ABAF.在在 RtABF 中，中，AEBF，.1AE21AB21AF2在在 RtACD 中，中，AFCD，.1AF21AC21AD2.1AE21AB21AC21AD2故猜想正确故猜想正确(1)类比是以旧知识作基础，推测新的结果，具有发

11、现的功能类比是以旧知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能(2)类比推理的常见情形有：平面与空间类比；向量与数类比；不等与相等类比等类比推理的常见情形有：平面与空间类比；向量与数类比；不等与相等类比等3若数列若数列an为等差数列，为等差数列，Sn为其前为其前 n 项和，则有性质项和，则有性质“若若 SmSn(m，nN*且且mn)，则，则 Smn0.”类比上述性质，相应地，当数列类比上述性质，相应地，当数列bn为等比数列时，写出一个正确的为等比数列时，写出一个正确的性质：性质：_.答案：答案：数列数列bn为等比数列，为等比数列，Tm表示其前表示其前 m 项的积，若项的积，若 TmTn，(m，nN

12、*，mn)，则则 Tmn14在在 RtABC 中，中，C90，ACb，BCa，则，则ABC 的外接圆半径为的外接圆半径为 r 12，把上述结论类比到空间，写出相似的结论，把上述结论类比到空间，写出相似的结论a2b2解：解：取空间中三条侧棱两两垂直的四面体取空间中三条侧棱两两垂直的四面体 ABCD 且且 ABa，ACb，ADc，则此四面体的外接球的半径为则此四面体的外接球的半径为 R .12 a2b2c2综合法和分析法综合法和分析法例例 4 设设 a0，b0，ab1，求证：，求证： 8.1a1b1ab证明证明 法一：法一：(综合法综合法)a0，b0，ab1，1ab2， ，ab ，4.abab12

13、141ab又又 (ab)2 4，1a1b(1a1b)baab 8.1a1b1ab(当当且且仅仅当当ab12时时等等号号成成立立)法二：法二：(分析法分析法)a0，b0，ab1，要证，要证 8，1a1b1ab只要证只要证8，(1a1b)abab只要证只要证8，(1a1b) (1b1a)即证即证 4.1a1b也就是证也就是证4.abaabb即证即证 2.baab由基本不等式可知，当由基本不等式可知，当 a0，b0 时，时， 2成立，成立，baab(当当且且仅仅当当ab12时时等等号号成成立立)所以原不等式成立所以原不等式成立综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相

14、综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转换，相互渗透，充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思换，相互渗透，充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径路，增加解题途径5已知函数已知函数 f(x)loga(ax1)(a0，a1)(1)证明：函数证明：函数 f(x)的图象在的图象在 y 轴一侧；轴一侧；(2)设设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(

15、x10，得，得 ax1.当当 a1 时，时，x0，函数图象在，函数图象在 y 轴右侧；轴右侧；当当 00 即可即可因为因为 y2y1loga(a x21)loga(a x11)loga.a x21a x11当当 a1 时，由时，由 01，loga0，a x21a x11a x21a x11即即 y2y10.当当 0a x1a x21.即即 a x11a x210.故有故有 00，即即 y2y10.a x21a x11综上，直线综上，直线 AB 的斜率总大于零的斜率总大于零反反 证证 法法例例 5 已知已知 a，b，c 均为实数，且均为实数，且 ax22y ，by22z ，cz22x ，求，求2

16、36证：证：a，b，c 中至少有一个大于中至少有一个大于 0.证明证明 假设假设 a，b，c 都不大于都不大于 0，即即 a0，b0，c0，得，得 abc0，而而 abc(x1)2(y1)2(z1)2330，与与 abc0 矛盾，故假设不成立矛盾，故假设不成立a，b，c 中至少有一个大于中至少有一个大于 0.(1)用反证法证题时，先假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说用反证法证题时，先假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立明假设错误，从而证明了原命题成立(2)反证法证题的思路是：反证法证题的思路是：“假设假设归谬归谬存真存真” 6用反证法证明命题用反证法证明命题“设设 a，b 为实数，则方程为实数，则方程 x3axb0 至少有一个实根至少有一个实根”时，时，要做的假设是要做的假设是( )A方程方程 x3axb0 没有实根没有实根B方程方程 x3axb0 至多有一个实根至多有一个实根C方程方程 x3axb0 至多有两个实根至多有两个实根D方程方程 x3axb0 恰好有两个实根恰好有两个实根解析：解析：至少有一个实根的否定是没有实根，至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是故要做的假设是“方程方程 x3axb0 没有实根没有实根” 答案：答案：A