11.3数系的扩充与复数的引入.ppt

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1、11.311.3 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入基础知识基础知识 自主学习自主学习要点梳理要点梳理1.1.数系的扩充数系的扩充 数系扩充的脉络是：数系扩充的脉络是：，用集合符号表示为，用集合符号表示为 ，实，实 际上前者是后者的真子集际上前者是后者的真子集.自然数系自然数系有理数系有理数系实数系实数系N NQ QR R2.2.复数的有关概念复数的有关概念 (1)(1)复数的概念复数的概念 形如形如a a+b bi i(a a,b bR R)的数叫复数，其中的数叫复数，其中a a,b b分别分别 是它的是它的 和和 .若若 ，则，则a a+b bi i为实数，为实数，若若 ，则，则

2、a a+b bi i为虚数，若为虚数，若 ，则，则a a+b bi i为纯虚数为纯虚数.(2)(2)复数相等：复数相等：a a+b bi i=c c+d di i (a a,b b,c c,d dR R).).(3)(3)共轭复数：共轭复数：a a+b bi i与与c c+d di i共轭共轭 (a a,b b,c c,d dR R).).实部实部虚部虚部b b=0=0b b00a a=0=0且且b b00a a=c c,b b=d da a=c c,b b=-=-d d(4)(4)复平面复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.叫做实轴，叫做

3、实轴，叫做虚轴叫做虚轴.实轴上的点表示实轴上的点表示 ；除原点外，虚轴上的点都表示；除原点外，虚轴上的点都表示 ；各；各象限内的点都表示象限内的点都表示 .复数集复数集C C和复平面内和复平面内 组成的集合是一一对组成的集合是一一对应的，复数集应的，复数集C C与复平面内所有以与复平面内所有以 为起点的向为起点的向量组成的集合也是一一对应的量组成的集合也是一一对应的.（5 5）复数的模）复数的模向量向量 的模的模r r叫做复数叫做复数z z=a a+b bi i的模，记作的模，记作 或或 ，即，即|z z|=|=|a a+b bi i|=|=.x x轴轴y y轴轴实数实数纯虚数纯虚数非纯虚数非

4、纯虚数所有的点所有的点原点原点O O|z z|a a+b bi i|3.3.复数的运算复数的运算 （1 1）复数的加、减、乘、除运算法则）复数的加、减、乘、除运算法则 设设z z1 1=a a+b bi,i,z z2 2=c c+d di(i(a a,b b,c c,d dR R)，则，则 加法：加法：z z1 1+z z2 2=(=(a a+b bi)+(i)+(c c+d di i)=)=;减法：减法：z z1 1-z z2 2=(=(a a+b bi)-(i)-(c c+d di i)=)=;乘法：乘法：z z1 1z z2 2=(=(a a+b bi)i)(c c+d di i)=)=

5、;除法：除法：（2 2）复数加法的运算定律）复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z z1 1、z z2 2、z z3 3C C，有，有z z1 1+z z2 2=，（，（z z1 1+z z2 2）+z z3 3=.(a a+c c)+()+(b b+d d)i)i(a a-c c)+()+(b b-d d)i)i(acac-bdbd)+()+(adad+bcbc)i)i(c c+d di0i0).).z z2 2+z z1 1z z1 1+（z z2 2+z z3 3）基础自测1.1.（20092009海安高级中学高三第四次检测）海

6、安高级中学高三第四次检测）已知已知 m mR R，复数，复数 （m m2 2+2+2m m-3-3）i i，若，若z z 对应的点位于复平面的第二象限，则对应的点位于复平面的第二象限，则m m的取值范的取值范 围是围是 .m m-3-3或或11m m20,-150,得得m m-355时，时，z z的对应点在的对应点在x x轴上方轴上方.(5)(5)由由(m m2 2+5+5m m+6)+(+6)+(m m2 2-2-2m m-15)+5=0,-15)+5=0,z z的对应点在直线的对应点在直线x x+y y+5+5=0=0上上.【例例2 2】已知已知x x,y y为共轭复数，且（为共轭复数，且

7、（x x+y y）2 2-3 3xyxyi i=4-=4-6i 6i，求，求x x,y y.设设x x=a a+b bi i，y y=a a-b bi(i(a a,b bR R)，根据复数，根据复数 相等的条件求解相等的条件求解.解解 设设x x=a a+b bi i(a a,b bR R)，则，则y y=a a-b bi,i,x x+y y=2 2a a,xyxy=a a2 2+b b2 2,代入原式，得代入原式，得(2(2a a)2 2-3(3(a a2 2+b b2 2)i)i=4-6i,=4-6i,分析分析跟踪练习跟踪练习2 2 已知复数已知复数z z1 1=m m+(4-+(4-m

8、m2 2)i()i(m mR R),),z z2 2=2cos2cos +(+(+3sin+3sin )i)i(R R).).若若z z1 1=z z2 2,求求的的 取值范围取值范围.解解 z z1 1=z z2 2,m m+(4-+(4-m m2 2)i)i=2cos2cos +(+(+3sin+3sin )i)i,=4-=4-m m2 2-3sin3sin =4-=4-4cos4cos2 2-3sin-3sin =4sin4sin2 2-3sin-3sin =-1sin1sin 1,1,当当sin sin=-1=-1时，时，maxmax=7,=7,【例例3 3】（1212分）如图所示，平

9、行四边分）如图所示，平行四边 形形OABCOABC，顶点，顶点O O，A A，C C分别表示分别表示0 0，3+2i,-2+4i3+2i,-2+4i，试求：，试求：（1 1）所表示的复数；所表示的复数；（2 2）对角线）对角线 所表示的复数所表示的复数;(3)(3)求求B B点对应的复数点对应的复数.利用复数的几何意义解题较好利用复数的几何意义解题较好.解题示范解题示范分析分析解解4 4分分跟踪练习跟踪练习3 3 (2010(2010泰州模拟泰州模拟)若若z zC C，且，且|z z|=1|=1，求，求|z z-i-i|的最大值的最大值.解解 方法一方法一 设设z z=a a+b bi(i(a

10、 a,b bR R)，则则|z z-i-i|=|=a a2 2+b b2 2=1.|=1.|z z-i|=-i|=又又|b b|1|1，02-202-2b b4,4,当当b b=-1=-1时，时，|z z-i-i|=2|=2为最大值为最大值.方法二方法二 因因|z z|=1|=1，所以点，所以点Z Z是单位圆是单位圆x x2 2+y y2 2=1=1上上 的点，的点，|z z-i-i|=|=表示点表示点Z Z与点（与点（0 0，1 1）之间）之间 的距离，当点的距离，当点Z Z位于（位于（0 0，-1-1）时，）时，|z z-i-i|有最大有最大 值值2.2.思想方法思想方法 感悟提高感悟提高

11、高考动态展望高考动态展望高考中常以填空题的形式进行考查复数的概念、代高考中常以填空题的形式进行考查复数的概念、代数运算、几何意义等，属容易题数运算、几何意义等，属容易题.方法规律总结方法规律总结1.1.注意复数注意复数a a+b bi i是实数、虚数、纯虚数及两复数相是实数、虚数、纯虚数及两复数相 等的充要条件，注意实数与复数的区别与联系等的充要条件，注意实数与复数的区别与联系.数数 的概念扩展为复数之后，实数集中的一些运算性的概念扩展为复数之后，实数集中的一些运算性 质、概念、关系就不一定适用了（如不等式的性质、概念、关系就不一定适用了（如不等式的性 质、绝对值的定义、偶次方非负等）质、绝对

12、值的定义、偶次方非负等）.2.2.复数运算可类比多项式的运算来加深理解和记忆复数运算可类比多项式的运算来加深理解和记忆.如复数加、减运算等同于多项式合并同类项，乘如复数加、减运算等同于多项式合并同类项，乘 法等同于多项式相乘，只是注意法等同于多项式相乘，只是注意i i2 2=-1=-1，除法运算，除法运算 的基本思想是分母实数化（这类似于根式运算中的基本思想是分母实数化（这类似于根式运算中 的分母有理化），复数加、减法几何意义本质上的分母有理化），复数加、减法几何意义本质上 是向量加、减运算等是向量加、减运算等.3.i3.i4 4n n=1,i1,i4 4n n+1+1=i,ii,i4 4n

13、n+2+2=-=-1,i1,i4 4n n+3+3=-i.=-i.4.4.复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重 要的思想方法要的思想方法.定时检测定时检测一、填空题一、填空题1.1.（20092009山东改编）山东改编）复数复数 =.解析解析2+i2+i2.2.（20092009浙江改编）浙江改编）设设z z=1+i(i1+i(i是虚数单位是虚数单位)，则则 =.解析解析 z z=1+i,=(1-i)+=1+i,=(1-i)+(1+i)(1+i)2 2=(1-=(1-i)+(1+2ii)+(1+2i-1)=1+i.-1)=1+i.1+i1+i3.

14、3.（20102010菏泽阶段检测）菏泽阶段检测）设设 为复数为复数z z的共轭复的共轭复 数，若复数数，若复数z z同时满足同时满足z z-=2i-=2i，=i iz z，则，则z z=.解析解析 =i iz z,代入代入z z-=2i-=2i，得，得z z-i-iz z=2i,=2i,-1+i-1+i4.4.（20102010无锡模拟）无锡模拟）复数复数 的共轭复数是的共轭复数是 .解析解析5.5.（20102010南宁南宁模拟模拟）在复平面内，复数在复平面内，复数 对应的点位于第对应的点位于第 象限象限.解析解析 z z对应的点在复平面的第四象限对应的点在复平面的第四象限.四四6.6.（

15、20092009山东济宁一模）山东济宁一模）设设x x,y yR R且且 则则x x+y y=.解析解析 化简上式得化简上式得 即即5 5x x(1+i)-2(1+i)-2y y(1+2i(1+2i)=5(1+3i)=5(1+3i)，-6-67.7.（20102010广州模拟）广州模拟）在复平面上，一个正方形在复平面上，一个正方形 的三个顶点对应的复数分别是的三个顶点对应的复数分别是1+2i,-2+i1+2i,-2+i，0 0，则第四个顶点对应的复数为则第四个顶点对应的复数为 .解析解析 设第四个顶点对应的坐标为（设第四个顶点对应的坐标为（x x,y y）,则已知三点的坐标为（则已知三点的坐标

16、为（0 0，0 0），（），（1 1，2 2），），（-2-2，1 1），由题意设正方形的对边分别对应的），由题意设正方形的对边分别对应的 向量为向量为z z1 1，z z2 2，则有则有z z1 1=z z2 2,即即(x x+2,+2,y y-1)=(1,2),-1)=(1,2),x x=-1,=-1,y y=3.=3.所以第四个顶点对应的复数为所以第四个顶点对应的复数为-1+3i.-1+3i.-1+3i-1+3i8.8.（20092009江苏徐州模拟）江苏徐州模拟）定义运算定义运算 若复数若复数z z符合条件符合条件 则复数则复数z z=.解析解析 由定义运算可知由定义运算可知 2 2z

17、 zi-i-z z=3+2i,=3+2i,9.9.（20092009江苏苏中六校联考）江苏苏中六校联考）给出下列四个命题：给出下列四个命题：若若z zC C,|,|z z|2 2=z z2 2，则，则z zR R;若若z zC C,z z=-=-z z，则，则z z是纯虚数；是纯虚数；若若z zC C,|,|z z|2 2=z zi i，则，则z z=0=0或或z z=i;=i;若若z z1 1，z z2 2C C，|z z1 1+z z2 2|=|=|z z1 1-z z2 2|，则，则|z z1 1|z z2 2|=0.|=0.其中真命题的个数为其中真命题的个数为 .解析解析 设设z z=

18、a a+b bi i,若若|z z|2 2=a a2 2+b b2 2=z z2 2=a a2 2-b b2 2+2+2ababi i,b b=0=0，z zR R，正确；正确；若若z z=0=0，则，则z z不是纯虚数，不是纯虚数，错；错；若若a a2 2+b b2 2=-=-b b+a ai i,则则a a=0,=0,b b=0=0或或b b=-1,=-1,z z=0=0或或z z=-i=-i，错；错；若若|z z1 1+z z2 2|=|=|z z1 1-z z2 2|,|,设设z z1 1=a a+b bi,i,z z2 2=c c+d di i.则（则（a a+c c）2 2+(+(

19、b b+d d)2 2=(=(a a-c c)2 2+(+(b b-d d)2 2,整理得整理得acac+bdbd=0,=0,故此式不一定为故此式不一定为0 0，错错.答案答案 1二、解答题二、解答题10.10.（20102010天津和平区调研）天津和平区调研）在复数范围内解方在复数范围内解方 程程|z z|2 2+（i i为虚数单位）为虚数单位）.解解 设设z z=a a+b bi i（a a、b bR R），则），则|z z|2 2=a a2 2+b b2 2，z z+=2+=2a a.原方程同解于原方程同解于a a2 2+b b2 2+2+2a ai i=1-i=1-i，11.11.（2

20、0092009淮南调研）淮南调研）当实数当实数m m为何值时，复数为何值时，复数 （m m2 2-8-8m m+15+15）+(+(m m2 2+3+3m m-28)i-28)i在复平面中的对应在复平面中的对应 点点:(1)(1)位于第四象限；位于第四象限；(2)(2)位于位于x x轴的负半轴上轴的负半轴上.复数复数a a+b bi(i(a a,b bR R)在复平面内的对应点在复平面内的对应点.对于（对于（1 1）应满足）应满足 解解分析分析12.12.（20102010广东华南师大附中调研）广东华南师大附中调研）已知已知z z=m m +3 i +3 i，其中，其中m mC C，且，且 为

21、纯虚数；为纯虚数；（1 1）求）求m m对应点的轨迹；对应点的轨迹；（2 2）求）求|z z|的最大值、最小值的最大值、最小值.解解 （1 1）设）设m m=x x+y yi(i(x x,y yR R)，则，则m m对应的点的轨迹是以原点为圆心，对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为半径为3 3的圆，除去（的圆，除去（-3,0-3,0）,(3,0),(3,0)两点两点.(2)(2)由（由（1 1）知）知|m m|=3|=3，由已知，由已知m m=z z-(3+3 i),-(3+3 i),|z z-(3+i)|=3,-(3+i)|=3,z z所对应的点所对应的点Z Z在以（在以（3 3，3 3 ）为圆心，）为圆心，以以3 3为半径的圆上为半径的圆上.由图形可知由图形可知|z z|的最大值为的最大值为|3+3 i|+3=9|3+3 i|+3=9；最小值为最小值为|3+3 i|-3=3.|3+3 i|-3=3.返回返回