苏教版高三数学复习课件11.3 数系的扩充与复数的引入.ppt

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1、n理解复数的基本概念理解复数的基本概念/理解复数相等的充要条件理解复数相等的充要条件/了解复了解复数的代数表示法及其几何意数的代数表示法及其几何意义义/会会进进行复数代数形式的四行复数代数形式的四则则运算运算/了解复数代数形式的加减运算的几何意了解复数代数形式的加减运算的几何意义义第第3 3课时课时 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入n 1了了解解数数系系的的扩扩充充过过程程，体体会会实实际际需需求求与与数数学学内内部部的的矛矛盾盾(数数的的运运算算规规则则、方方程程理理论论)在在数数系系扩扩充充过过程程中中的的作作用用，感感受受人人类类理理性性思思维维的的作作用用以以及及数数与与现

2、现实实世世界界的的联联系系，对对于于复复数数概概念念与与运运算算，注注意意避避免免烦烦琐琐的的计计算与技巧的算与技巧的训练训练n 2虚虚数数单单位位i的的引引入入，使使数数的的概概念念扩扩充充到到复复数数范范围围，理理解解好好扩扩充充原原则则和和复复数数的的有有关关概概念念是是解解决决简简单单复复数数问问题题的的关关键键；复复数数问问题题实实数数化化是解决复数是解决复数问题问题的基本思想方法的基本思想方法n 3高高考考对对复复数数部部分分考考查查的的重重点点是是复复数数的的有有关关概概念念、复复数数的的几几何何意意义义，一般是填空，一般是填空题题，难难度不大，度不大，预计预计今后的高考今后的高

3、考还还会保持会保持这这个个趋势趋势【命题预测命题预测】n1复数的代数形式复数的代数形式 zabi(a，bR)是表示复数是表示复数z的最基本形式，在的最基本形式，在求求满满足条件的复数足条件的复数z时时，常常把，常常把z设为设为abi(a，bR)后，再根据条件列后，再根据条件列方程分方程分别别求出求出a，b的的值值n2要求熟要求熟练练掌握并能灵活运用以下掌握并能灵活运用以下结论结论：n (1)复复数数相相等等的的充充要要条条件件：abicdi(a，b，c，dR)ac，且且bd.n (2)复复数数zabi(a，bR)是是实实数数的的充充要要条条件件：zabiRb0(a，bR)或或zRz .【应试对

4、策应试对策】n(3)一个非零复数是一个非零复数是纯纯虚数的充要条件：虚数的充要条件：nzabi是是纯纯虚虚数数a0且且b0(a，bR)，或或z是是纯纯虚虚数数z 0n且且z0.n 3复复数数问问题题的的基基本本解解题题策策略略：(1)复复数数问问题题实实数数化化，设设zabi(a，bR)，利利用用复复数数相相等等的的条条件件，把把复复数数关关系系转转化化为为实实数数关关系系求求解；解；(2)利用整体思想：如利用整体思想：如z|z|2|2.n 复数的三角形式复数的三角形式n 设设复复数数z在在复复平平面面内内对对应应的的点点为为Z，是是以以x轴轴的的非非负负半半轴轴为为始始边边，以以OZ为终边的

5、角，则为终边的角，则zr(cos isin)叫复数叫复数z的三角形式的三角形式n 当当r0时时，叫做复数叫做复数z的辐角，复数的辐角，复数0的辐角是任意角的辐角是任意角【知识拓展知识拓展】n1虚数单位虚数单位i的性质的性质n(1)i21；n(2)实实数数可可以以与与i i进进行行四四则则运运算算，进进行行四四则则运运算算时时，原原有有的的加加法法、乘乘法法运算律仍然成立运算律仍然成立n2复数的概念及分类复数的概念及分类n(1)概概念念：形形如如abi(a，bR)的的数数叫叫复复数数，其其中中a，b分分别别为为它它的的 和和 实部实部虚部虚部n(3)相等复数：相等复数：abicdiac，bd(a

6、，b，c，dR)n思考：思考：任意两复数能比较大小吗？任意两复数能比较大小吗？n提示：提示：不一定，只有这两个复数全是实数时才能比较大小不一定，只有这两个复数全是实数时才能比较大小b0 b0 a0，b0 n 3复数的加、减、乘、除运算法则复数的加、减、乘、除运算法则n设设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则则 n(1)加法：加法：z1z2(abi)(cdi)；n(2)减法：减法：z1z2(abi)(cdi)；n(3)乘法：乘法：z1z2(abi)(cdi).n(4)乘方：乘方：zmznzmn，(zm)nzmn，(z1z2)n(ac)(bd)i(ac)(bd)i(acbd)(adbc)

7、in4复平面的概念复平面的概念n 建建立立了了直直角角坐坐标标系系来来表表示示复复数数的的平平面面叫叫做做复复平平面面 叫叫做做实实轴轴，叫叫做做虚虚轴轴实实轴轴上上的的点点都都表表示示 ；除除原原点点外外，虚虚轴轴上上的的点点都都表表示示纯纯 n 复复数数集集C和和复复平平面面内内 组组成成的的集集合合是是一一一一对对应应的的，复复数数集集C与与复平面内所有以原点为起点的向量组成的集合也是一一对应的复平面内所有以原点为起点的向量组成的集合也是一一对应的n5共轭复数共轭复数n 把把 相相等等，相相反反的的两两个个复复数数叫叫做做互互为为共共轭轭复复数数，复复数数zabi(a、bR)的共轭复数记

8、做的共轭复数记做 ，即即 (a，bR)实数实数x轴轴y轴轴虚数虚数所有的点所有的点实部实部虚部虚部abin6复数的模复数的模n 向向量量 的的模模叫叫做做复复数数zabi(a，bR)的的模模(或或绝绝对对值值)，记记作作 或或 ，n即即|z|abi|.n7复平面内两点间距离公式复平面内两点间距离公式n 两个复数的两个复数的 就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离n 设复数设复数z1，z2在复平面内的对应点分别为在复平面内的对应点分别为Z1，Z2，d为点为点Z1和和Z2的距离的距离，n 则则d .|z|abi|z1z2|差的模差的模n11 的虚部是的

9、虚部是_n解析：解析：1 1i，其虚部为，其虚部为1.n答案：答案：1n2(南南京京市市高高三三调调研研)若若将将复复数数(1i)(12i)2表表示示为为pqi(p，qR，i是虚数是虚数单单位位)的形式，的形式，则则pq_.n 解解析析：因因为为(1i)(12i)2(1i)(14i4)(1i)(4i3)17i，所以，所以pq8.n 答案：答案：8n4(盐城市高三调研盐城市高三调研)设设复数复数z3i，则则|z|_.n 解析：解析：|z|n 答案：答案：n5(苏苏北北四四市市高高三三联联考考)在在复复平平面面内内，复复数数z (i是是虚虚数数单单位位)对对应应的点位于第的点位于第_象限象限n 解

10、析：解析：因为因为z ，所以复数对应的点位于第一象限，所以复数对应的点位于第一象限n 答案：答案：一一n3(苏苏、锡锡、常常、镇镇四四市市高高三三教教学学情情况况调调查查)复复数数(2i)i在在复复平平面面上上对应对应的点在第的点在第_象限象限n 解析：解析：(2i)i12i，所以应填二，所以应填二n 答案：答案：二二n2处处理有关复数概念的理有关复数概念的问题问题，首先要找准复数的，首先要找准复数的实实部与虚部部与虚部(若复数若复数为为非非标标准的代数形式，准的代数形式，则应则应通通过过代数运算化代数运算化为为代数形式代数形式)，然后根据定，然后根据定义义解解题题n 【例例1】m为何实数时，

11、复数为何实数时，复数zm2 (8m15)in (1)为为实实数数；(2)为为虚虚数数；(3)为为纯纯虚虚数数；(4)对对应应点点在在第第二二象象限限n 思路点拨：思路点拨：根据复数分类的条件和复数的几何意义求解根据复数分类的条件和复数的几何意义求解n 解：解：由已知整理得由已知整理得z (m28m15)i.n 所以所以(1)z为实为实数数m28m150，且，且m50m3；n (2)z为为虚数虚数 m3且且m5；n(3)z为纯为纯虚数虚数 m2；n(4)z对应对应的点在第二象限的点在第二象限 nm5或或3m2.n 变变式式1：(苏苏州州市市高高三三教教学学调调研研)已已知知复复数数z112i，z

12、21ai(i是是虚虚数数单单位位)，若若z1z2为为纯纯虚虚数数，则则实实数数a_.n解解析析：z1z2(12i)(1ai)12a(2a)i，若若z1z2为纯虚数，则有为纯虚数，则有12a0,2a0，n故有故有a .n答案：答案：n变变式式2：(南南京京市市高高三三期期末末调调研研)复复数数z 对对应应的的点点在在第第_象限象限n 解析：解析：z 1i.其对应的点的坐标为其对应的点的坐标为(1,1)，n所以点在第二象限所以点在第二象限n 答案：答案：二二n1abicdi (a，b，c，dR)n2利利用用复复数数相相等等可可实实现现复复数数问问题题向向实实数数问问题题的的转转化化解解题题时时要要

13、把把等等号两号两边边的复数化的复数化为标为标准的代数形式准的代数形式n 【例例2】已已知知关关于于x的的方方程程x2(k k2i)x2k ki0有实根，求这个实根以及实数有实根，求这个实根以及实数k k的值的值n思思路路点点拨拨：首首先先假假设设实实根根为为x0，然然后后利利用用复复数数相相等等的的充充要要条条件件建建立立方方程程组组求求解解复复数数相相等等的的充充要要条条件件是是把把复复数数问问题题转化为实数问题加以解决的重要途径和手段转化为实数问题加以解决的重要途径和手段n解：解：设设x0为为方程方程x2(k k2i)x2k ki0的的实实根，根，n则则x(k k2i)x02k ki0，n

14、 变变式式3：下下列列条条件件中中，使使复复数数z z为为实实数数的的充充分分而而不不必必要要条条件件是是_n z2为实数为实数z 为实数为实数z|z|zn 答案：答案：n1在在进进行复数的代数运算行复数的代数运算时时，记记住以下住以下结论结论，可提高，可提高计计算速度算速度n (1)(1i)22i；(2)(1i)22i；(3)i；(4)i；(5)baii(abi)；(6)i4n1，i4n1i，i4n2i，i4n3i，nN.n2复复数数的的四四则则运运算算类类似似于于多多项项式式的的四四则则运运算算此此时时含含有有虚虚数数单单位位i的的看看作作一一类类同同类类项项，不不含含i的的看看作作另另一

15、一类类同同类类项项，分分别别合合并并即即可可，但但要要注注意意把把i的的幂幂写写成成最最简简单单的的形形式式，在在运运算算过过程程中中，要要熟熟悉悉i的的特特点点及及熟熟练练应应用运算技巧用运算技巧n思思路路点点拨拨：(1)注注意意到到式式中中隐隐含含1i，故故可可考考虑虑利利用用(1i)22i，以以及及 的的运运算算性性质质简简化化运运算算，但但需需要要先先对式子进行变形对式子进行变形n(2)直直接接利利用用多多项项式式的的乘乘法法和和除除法法运运算算比比较较繁繁琐琐，注注意意分分析析分分子子、分分母母的的特特征征，把把分分子子、分分母母转转化化为为的的形形式式，就就可可以以带带来来化化简简

16、的的方便方便n 变变式式4：(南南通通市市高高三三调调研研)若若复复数数z满满足足zi2i(i是是虚虚数数单单位位)，则则z _.n 解析：解析：由题意可得由题意可得z 12i.n 答案：答案：12in 变式变式5：(盐城市高三调研盐城市高三调研)设设(3i)z10i(i为虚数单位为虚数单位)，则则|z|_.n答案：答案：n 1复复数数的的加加、减减、乘乘法法运运算算类类似似多多项项式式的的运运算算，虚虚数数单单位位的的乘乘方方结结果果呈呈周周期期性性的的变变化化，复复数数的的除除法法通通过过分分母母实实数数化化转转化化为为乘乘法法运运算算n 2对对于于简简单单的的复复数数乘乘方方运运算算，可

17、可以以利利用用二二项项式式定定理理进进行行运运算算，特殊的可利用：特殊的可利用：n(1)(1i)22i；n(2)若若 ，则，则3n1，3n1，3n2 ，nN.n 3在在复复数数集集中中分分解解因因式式，对对于于x的的多多项项式式，都都可可分分解解为为x的的一一次次因因式式，分分解解因因式式与与对对应应方方程程解解的的关关系系与与实实数数集集中中分分解解因因式式与与对对应应方方程解的关系是一样的程解的关系是一样的n 4可利用复数的代数形式，根据复数相等的定义进行复数的开可利用复数的代数形式，根据复数相等的定义进行复数的开平方运算平方运算.【规律方法总结规律方法总结】n 【例例4】(2009江江苏

18、苏卷卷)若若复复数数z1429i，z269i，其中其中i是虚数单位是虚数单位，则复数则复数(z1z2)i的实部为的实部为_n分分析析：正正确确理理解解复复数数的的实实部部与与虚虚部部的的定定义义，即即对对于于zabi(a，bR)，其其实实部部为为a.本本题题中中，首首先先对对算算式式进进行行四四则则运运算算，化为最简形式，再确定其实部化为最简形式，再确定其实部【高考真题高考真题】n规范解答：规范解答：n因为因为(z1z2)i(220i)i202i，n所所以以可可知知复复数数(z1z2)i的的实实部部为为20.故故填填20.n答案：答案：20 n本题考查了复数的四则运算法则，复数的定义以及复数的

19、实部与虚本题考查了复数的四则运算法则，复数的定义以及复数的实部与虚部的概念等在苏教版选修部的概念等在苏教版选修22中，中，P104例例1就是要求写出已知复数的就是要求写出已知复数的实部与虚部此类题目考查的较为简单，一般难度和课本相当，所以实部与虚部此类题目考查的较为简单，一般难度和课本相当，所以备考中以课本中的例题习题为主即可备考中以课本中的例题习题为主即可【课本探源课本探源】n对于复数对于复数zabi(a，bR)，a称为实部，称为实部，b称为虚部，在复平面上，称为虚部，在复平面上，如将实部作为横坐标，虚部作为纵坐标，则所有的复数与有序实数对如将实部作为横坐标，虚部作为纵坐标，则所有的复数与有序实数对可建立一一对应关系，构成点或点集如可建立一一对应关系，构成点或点集如x轴轴(实轴实轴)表示所有实数组表示所有实数组成的点集，成的点集，y轴轴(虚轴虚轴)表示所有纯虚数组成的点集表示所有纯虚数组成的点集(除原点外除原点外)n因本题的实部为因本题的实部为20，虚部为，虚部为2，可得到复数，可得到复数(z1z2)i表示的点位表示的点位于第三象限，这也是高考中的一种常见题型于第三象限，这也是高考中的一种常见题型.【知识链接知识链接】【发散类比发散类比】n1复数复数z 的虚部是的虚部是_n 答案答案：1n2设设z i，则则z3_.n 答案答案：1