8.2 正交基.ppt

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1、 8.2 正交基 定义1：欧氏空间 的一组两两正交的非零向量叫做 的一个正交组。若一个正交组的每一个向量都是单位向量，这个正交组叫做一个规范正交组。欲证规范正交组，即证：（1）（2）（3）例1、证明：向量构成 的一个规范正交组。定理8.2.1：设 是欧氏空间的一个正交组，则 线性无关。定义：设 是一个 维欧氏空间。中含 个向量的正交组 称为 的一个正交基。若该正交基还是一个规范正交组，则称其为一个规范正交基（标准正交基）。欲证规范正交基，需证：（1）（2）例2、证明：欧氏空间 的基 ，是 的规范正交基。思考：规范正交组和规范正交基的异同。证明 是规范正交基的另一种方法：。定理8.2.2：设 是

2、欧氏空间 的一组线性无关的向量，那么可以求出 的一个正交组 ，使得 可以由 线性表示 定理8.2.3：任意 维欧氏空间一定有正交基，因而有规范正交基。求欧氏空间的一个基的规范正交基的步骤：（1）施密特正交化方法：（此步骤求得一个正交基）（2）将上述正交基单位化：则 即为所求。例3、已知 是欧氏空间 的一个基。对这个基施行正交化方法，求 的一个规范正交基。定义：设 是欧氏空间 的一个非空子集。如果 的一个向量 与 的每一个向量都正交，则称 与 正交，记作：。结论：令 ，则 是 的一个子空间（叫做 的正交补）定理8.2.4：令 是欧氏空间 的一个有限维子空间。那么 ，因而 的每一个向量 可以唯一地

3、写成 。这里 ，。定义：一个 阶实矩阵 叫做一个正交矩阵，如果 。定理8.2.6：维欧氏空间的一个规范 正交基到另一个规范正交基的过渡矩 阵是一个正交矩阵。定义3：欧氏空间 和 同构，如果 （1）存在实数域上两个向量空间到 的一个同构映射 ；（2），都有 。定理8.2.7：两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们的维数相等。推论：任意 维欧氏空间都与 同构。补充练习：1、设 ，问：对以下规定的内积是否作成欧氏空间？2、在欧氏空间 中，求下列向量 与 的夹角 ：3、设 是 维欧氏空间 的一个基，且 ，。证明:是标准正交基的充分且必要条件是 。4、设 是 的标准正交基，其中 ，。求 的一个标准正交基。5、设 是三维欧氏空间中的一组规范正交基。证明：，也是一组规范正交基。6、求齐次线性方程组的解空间（作为 的子空间）的一组规范正交基。