概率第1-6讲.ppt

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1、复复 习：习：概率的公理化定义概率的公理化定义条件概率条件概率P(AB)=P(B)P(A|B)乘法公式乘法公式全概率公式全概率公式 贝叶斯公式贝叶斯公式若若A1,An是一完备事件组，是一完备事件组，我们说，在事件我们说，在事件B发生的条件下事件发生的条件下事件A的条件概率一般地不等于的条件概率一般地不等于A的无条件概率的无条件概率.但是，会不会出现但是，会不会出现P(A)=P(A|B)的情形呢？的情形呢？显然显然 P(A|B)=P(A)这就是说，这就是说，已知事件已知事件B发生，并不影响事件发生，并不影响事件A发生的概率，这时称事件发生的概率，这时称事件A、B独立独立.A=第二次掷出第二次掷出

2、6点点，B=第一次掷出第一次掷出6点点，先看一个例子：先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，将一颗均匀骰子连掷两次，设设1.5 1.5 事件的独立性事件的独立性两个事件独立性两个事件独立性多个事件独立性多个事件独立性不难证明，当不难证明，当P(B)0时，有时，有两个事件的独立性两个事件的独立性 对对任任意意的的事事件件A,B，若若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件则称事件A，B是相互独立的。是相互独立的。注意注意必然事件必然事件与任何事件独立与任何事件独立不可能事件不可能事件与任何事件独立与任何事件独立例例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记张，记 A

3、=抽到抽到K,B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的可见可见,P(AB)=P(A)P(B)由于由于 P(A)=4/52=1/13,问事件问事件A、B是否独立？是否独立？解：解：P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/2或或 由于由于 P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13 P(A)=P(A|B),说明事件说明事件A、B独立独立.甲、乙两人向同一目标射击，记甲、乙两人向同一目标射击，记 A=甲命中甲命中,B=乙命中乙命中，A与与B是否独立？是否独立？例如例如在实际应用中在实际应用中,往往根据问题的往往根据问题的实际意义实际意义去判断两事件是否独立去判断两事件是否独立.

4、一批产品共一批产品共n件，其中合格品件，其中合格品a件，件，从中抽取从中抽取2件，设件，设 Ai=第第i件是合格件是合格品品 i=1,2若抽取是有放回的若抽取是有放回的 再如再如若抽取是无放回的若抽取是无放回的则则A1与与A2独立独立.则则A1与与A2不独立不独立.性质性质若事件若事件A与与B相互独立，则下列相互独立，则下列各对事件也相互独立各对事件也相互独立=P(A)1-P(B)=P(A)P()=P(A)-P(AB)P(A )=P(A-A B)A、B独立独立故故A与与 独立独立.概率的性质概率的性质=P(A)-P(A)P(B)证明证明:仅证仅证A与与 独立独立多个事件的独立性多个事件的独立性

5、 对任意三个事件对任意三个事件A，B，C，若，若则称事件则称事件A，B，C相互独立，简称相互独立，简称A，B，C 独立独立 对任意对任意n个事件个事件A1 An，若，若（1）（2）（3）则称事件则称事件A1,An相互独立，简称相互独立，简称A1,An独立独立 请注意多个事件两两独立与相互独立请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系的区别与联系两两独立两两独立相互独立相互独立对对n(n2)个事件个事件?反例反例 有一均匀的四面体有一均匀的四面体,各面涂有颜色如下各面涂有颜色如下将四面体向上抛掷一次将四面体向上抛掷一次,观察向下一面观察向下一面出现的颜色。出现的颜色。设事件R 红色红色W 白色

6、白色Y 黄色黄色 1 2 3 4 R R W W Y Y则则性质性质1 若若A1,An相互独立，则相互独立，则其中任意其中任意k（）个事件也是相互独）个事件也是相互独立的立的 若若 n 个事件个事件 A1,A2,An 相互独立相互独立,将这将这 n 个事件个事件任意分成任意分成 k 组组,同一个事件不能同一个事件不能 同时属于两个不同的组同时属于两个不同的组,则对每组的事件则对每组的事件 进行求进行求和、积、差、对立和、积、差、对立等运算所得到等运算所得到 的的 k 个事件也相互独立个事件也相互独立.性质性质2 2事件事件 A1,A2,A3,A4,A5 相互独立相互独立例如例如也相互独立也相互

7、独立性质性质3若若A1,An相互独立，则相互独立，则设设事件事件 相互独立相互独立,则则 P(A1 An)也相互独立也相互独立 也就是说，也就是说，n个独立事件至少有一个发生个独立事件至少有一个发生的概率等于的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积减去各自对立事件概率的乘积.例例2 甲，乙，丙三人甲，乙，丙三人同时独立同时独立向同一目标射击，向同一目标射击，他们射中目标的概率分别为他们射中目标的概率分别为0.4,0.5,0.7。求。求(1)(1)至少有一人射中目标的概率至少有一人射中目标的概率(2)(2)恰有一人射中目标的概率恰有一人射中目标的概率 解解:一个元件一个元件(或系统或系统)能正常工

8、作的概率称为能正常工作的概率称为元件元件(或系统或系统)的可靠性的可靠性系统由元件组成,常见的元件连接方式：串联并联1221系统的可靠性问题例例3 3(1)两系统都是由两系统都是由 4 个元件组成个元件组成,每个元件每个元件正常工作的概率为正常工作的概率为 p,每个元件是否正常工每个元件是否正常工作作相互独立相互独立.两系统的连接方式如下图所示，两系统的连接方式如下图所示，比较两系统的可靠性比较两系统的可靠性.A1A2B2B1S1:解解:由题意由题意A1A2B2B1S2:(2)下面是一个串并联电路示意图下面是一个串并联电路示意图.A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件都是电路中的元件.

9、它们下方的数是它们各自正常工作的概率它们下方的数是它们各自正常工作的概率.求求电路正常工作的概率电路正常工作的概率.P(W)=P(A)P(B)P(C D E)P(F G)P(H)解：将电路正常工作记为解：将电路正常工作记为W，由题意由题意其中其中P(C D E)=1-P(F G)=1-P(W)0.782代入得代入得由于各元件独立工作，有由于各元件独立工作，有作业作业:1.32 1.34E1:投掷一枚硬币，观察正反面出现情况投掷一枚硬币，观察正反面出现情况E2:某人打靶，观察命中情况某人打靶，观察命中情况E3:从一批产品中抽取一只，检查是否为合格品从一批产品中抽取一只，检查是否为合格品观察下列随

10、机试验特点：观察下列随机试验特点：伯努利概型伯努利概型 伯努利概型伯努利概型若随机试验若随机试验E只有两个可能结果只有两个可能结果A和和 ,且且P(A)=p(0p1)，则称，则称E为伯努利概型为伯努利概型.n重伯努利试验重伯努利试验 将伯努利试验将伯努利试验E，在，在相同条件下，独立地相同条件下，独立地重复进行重复进行n次次，作为一个试验，则这个试，作为一个试验，则这个试验为验为n重伯努利概型。记为重伯努利概型。记为En 设设E为伯努利试验，且为伯努利试验，且P(A)=p(0p1)，对于对于n重伯努利概型重伯努利概型En，事件，事件A恰好发生恰好发生k(0 k n)次次的概率是多少？的概率是多少？设设E为伯努利试验，且为伯努利试验，且P(A)=p(0p1)，对于对于n重伯努利概型重伯努利概型En，事件，事件A恰好发恰好发生生k(0 k n)次的概率次的概率为为 k=0,1,2,n 例例4某射手的命中率为某射手的命中率为0.9，他，他独立重复独立重复向向目标射击目标射击5次，求次，求(1)他他恰好命中恰好命中4次次的概率的概率.(2)他他恰好不命中恰好不命中3次次的概率的概率