数学分析第十九章含参变量的积分.ppt

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1、数学分析第十九章课件含参变量的积分现在学习的是第1页，共52页设函数 f（x,y）在a,b c,d有意义，对 a,b上任一f(x0，y)在c,d上可积，则这个数当然与 就确定一个数，有关。当 在a,b变动时，这样的积分就确定一个函数。称积分 为含参变量的积分，参变量为 x下面讨论由积分所确定的函数的连续性，可微性，可积性。（相当于“函数项级数的和函数的三个性质）导言现在学习的是第2页，共52页1 含参变量的正常积分现在学习的是第3页，共52页 在 上连续，则 在a,b 连续证明：，有 由于 f(x,y)在 连续，因而一致连续，故对任给的 存在，对任意的，只要就有定理19.1 若 对任意 现在学

2、习的是第4页，共52页因此只要，就有，对 都成立，因而 这就证明了 I(x)在x 点连续，由 的任意性，知，I(x)在a,b 连续。定理19.1证完。等价于：而 交换次序。现在学习的是第5页，共52页（积分下求导数）设和在上连续，则在有连续的导函数，且 即 定理19.2证明P262现在学习的是第6页，共52页例例1.求：其中解：对任意 存在 b 使得，于是 都在 连续，由定理19.2得 当 时 现在学习的是第7页，共52页令 则因此 现在学习的是第8页，共52页积分得又由 及 的连续性，得：因此现在学习的是第9页，共52页1）函数的范围 满足Th19.2的条件 3）积分求出，确立常数 2）求出

3、 最后求得：方法步骤：现在学习的是第10页，共52页例例2.计算定积分 这个积分并不带参变量，但如果直接求,积不出来，我们将通过积分求导数，再求出 I=I(1)，记为此，引入参变量，考虑含参变量积分解：解：现在学习的是第11页，共52页 则它们都在 上连续，根据定理19.2，有现在学习的是第12页，共52页 注意到 I(0)=0，故从而 现在学习的是第13页，共52页1）引入参变量，考察含参变量积分 验证 在 0,10,13）求 2）求出上满足Th19.2。方法步骤：现在学习的是第14页，共52页相应于定积分中的积分上限函数：（复习定义和结论）考虑 函数 有下面定理：现在学习的是第15页，共5

4、2页定理19.3 设函数f(x,y)在矩形区域 上连续，则（1）在 连续；在 连续，则 在 有连续偏导数。（2）若对各变元现在学习的是第16页，共52页证明：（1）对任意，则由于f(x,y)在 连续，因而有界，使且一致连续，知存在现在学习的是第17页，共52页且对任意给的，存在，对任意的 ，只要 ，和 就有取 ，则当 时，有，现在学习的是第18页，共52页即 在 点连续，由 的任意性，便证得 在 连续。又由定理19.2，I对x也有连续的偏导数 这就是所要证明的，定理19.3 证完（2）由微积分基本定理，I 对u有连续的偏导数现在学习的是第19页，共52页定理19.4：设函数 f(x,y)在 c

5、(x)，d(x)都在a,b上连续，并且有 上连续，当则 在a,b连续。定理19.4现在学习的是第20页，共52页证明:令u=d(x),v=c(x),根据定理19.3 在 连续。由复合函数的连续性知 在 a,b连续。定理19.4证完。现在学习的是第21页，共52页定理19.5 设函数 f(x,y)，都在 上连续，又 和 在a,b存在，且当 时，有 ,，则在a,b可导，且证明:令定理19.5现在学习的是第22页，共52页则 ，由定理19.3，H 对各变 时，,故由复合函数求导数的链式法则，在a,b可导，且元有连续的偏导数,又 在a,b 可导，且当现在学习的是第23页，共52页例例3.设 ，求解:这

6、个积分积不出来，但由定理19.5有现在学习的是第24页，共52页例4.设 f(x)在 x=0=0 的某邻域内连续，则微分方程附近可表成其中n是任意正整数。的解在 x=0 证明:利用定理19.5，则现在学习的是第25页，共52页一般地有 的可积性（积分问题）的可积性（积分问题）在a,b 可积.通常记 最后讨论最后讨论从而显然记号：若称为先对y后对x的累次积分 现在学习的是第26页，共52页（积分交换次序）在a,b 可积，且 即 设 f(x,y)在 a,b c,d 连续，则 定理19.6现在学习的是第27页，共52页证明：1.先证明：2.确定 中的常数c=0（取u=a）中令 u=b 得证.令3.在

7、例例5.求 其中现在学习的是第28页，共52页解：，令在 连续，则 积分交换次序，在例1中已求出 故，用变量代换，现在学习的是第29页，共52页2 含参变量的广义积分1.一致收一致收敛广义积分有两种情形，一种是无穷限积分，另一种为瑕积分.回忆函数项级数的情形，在和函数分析性质的研究中，一致收敛的概念起了关键作用.通过一致收敛，把无穷和的性质化为有限和的研究.在含参变量广义积分的讨论中，我们也引入一致收敛的概念.本章主要讨论无穷限的情形，但是所有的结果都可以平行地推广到瑕积分的情形.一致收敛的概念起了关键作用.他们都是含参变量正常积分的极限，这与函数项级数十分类似.现在学习的是第30页，共52页

8、设f(x,y)定义在a,b c,，且对任意xI(x)=收敛。若对任意的都成立，则称含参变量的广义积分在a,b一致收敛.a,b,无穷积分或，存在，当时，有定义19.1对xa,b现在学习的是第31页，共52页例1.证明：含参变量的广义积分一致收敛.其中a 0；,而 ,所以对任给的,存在,当A时有,从而当时，对任意的有 这就证明了（1）在不一致收敛.证明:(1)因为（2）在在一致收敛。现在学习的是第32页，共52页含参变量的广义积分 在a,b一致收敛的充要条件是对任给的，存在正数，当时，对任意的a,b，有 定理19.7(一致收敛的柯西准则)一致收敛判别法：一致收敛判别法：现在学习的是第33页，共52

9、页定理19.8（魏尔斯特拉斯判别法，或M判别法，或控制收敛判别法）与常数Bc，使得当与a,b时，有 而广义积分是收敛的，则在a,b一致收敛。设存在函数现在学习的是第34页，共52页设（1）含参变量的正常积分在与a,b有界，即存在M0，(2)对每个固定的a,b，函数g(x,y)关于 y 是单调的，时，g(x,y)在 a,b 一致地趋向于0。则在a,b一致收敛。对任意的Ac及任意a,b有且当含参变量广义积分定理19.9（狄利克雷判别法）现在学习的是第35页，共52页设（1）在a,b一致收敛；a,b，函数g(x,y)关于y单调，a,b,则含参变量广义积分 在a,b一致收敛。（2）对每一个固定的且g(

10、g(x,y )在有界。定理19.10（阿贝尔判别法）现在学习的是第36页，共52页例例2.2.证明在一致收敛对与成立，而广义积分收敛，因此在一致收敛。证明:用魏尔斯特拉斯判别法 由于 例例3.3.证明在一致收敛.现在学习的是第37页，共52页在若含参变量广义积分在a,b上一致收敛，设则 I(x)在a,b连续。2 含参变量广义积分的分析性质定理19.11（积分号下取极限）上连续，现在学习的是第38页，共52页设在在a,b上一致收敛，则即 定理19.12（积分交换次序）上连续。若含参变量广义积分现在学习的是第39页，共52页设和都在上连续，在a,b上收敛，在a,b上一致收敛，在a,b可导，且 即

11、交换 x,y结论依然成立则定理19.13（积分号下求导）若现在学习的是第40页，共52页例例4 4.求狄利克雷积分例例6.6.计算积分解：令，则例例5.5.计算积分解：利用例4.解：注意到现在学习的是第41页，共52页定理19.14(迪尼)设f(x,y)在连续，非负.若在收敛，且作为 y 的函数在 连续，则在是一致收敛的.现在学习的是第42页，共52页定理19.15设在连续且非负都收敛，且分别在和连续，中有一个存在，则另一个也存在，且两者相等.若现在学习的是第43页，共52页例例7.计算概率积分现在学习的是第44页，共52页 含参变量广义积分 它的定义域就是积分的收敛域：易知（二）性质在其定义

12、域内连续且（一）定义：1.它为无穷限广义积分 2.当时又是瑕积分有任意阶连续导数：3 欧拉积分1.函数：函数现在学习的是第45页，共52页(三)递推公式特别：为正整数时可见 函数是阶乘n!的延拓现在学习的是第46页，共52页称 （一）定义：含参变量的广义积分（二）性质：2.B函数1.它的定义域就是积分的收敛域2.当a 1,b 1时积分是正常积分 3.当a 1或b 1时积分是瑕积分为B函数，定义域为 a0,b0对称性现在学习的是第47页，共52页（a0,b0)（四）与 函数的关系（狄利克雷公式）(三)递推公式：（a0,b1）（a1,b0）现在学习的是第48页，共52页内容小结含参变量的正常积分的定义及其性质含参变量广义积分的判别法、性质及其计算欧拉积分的计算现在学习的是第49页，共52页习题1.记.则2.求，其中解解：.现在学习的是第50页，共52页再对积分，得，得 又故3.应用对参数求导法计算积分（不必定常数，若计算时出现无界情况，取极限计算）解：令，则现在学习的是第51页，共52页故，现在学习的是第52页，共52页