数学竞赛梅涅劳斯定理254.pdf

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1、梅涅劳斯定理（）（简称梅氏定理）最早出现在由数学家梅涅劳斯的著作球面学（）。任何一条直线截三角形的各边，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积，这一定理同样可以轻而易举地用初等几何或通过应用简单的三角关系来证明.梅涅劳斯把这一定理扩展到了。中文名 外文名 别 称 表达式 ()()()=1 提出者 提出时间 1678 年 应用学科 数学，物理 适用领域范围 平面 适用领域范围 定理内容 定理证明 证明一 过点 A 作交的延长线于点 G.则 证明二 过点 C 作交于 P，则 两式相乘得 证明三 连结、，根据“两个三角形等高时面积之比等于底边之比”的性质有。：S（1），：S（2），：S：S=（

2、S）：（S）：S（3）（1）（2）（3）得 证明四 过三顶点作直线的垂线，如图：充分性证明：中，上的分点分别为 D，E，F。连接交于 E，则由充分性可得，()()(A)=1 又 有A，两点重合。所以 共线 推论 在的三边、或其延长线上分别取 L、M、N 三点，又分比是、。于是、三线交于一点的是 1。（注意与塞瓦定理相区分，那里是=1）此外，用该定理可使其容易理解和记忆：第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若 E，F，D 三点共线，则()()()=1 即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积。该形式的梅涅劳斯定理也很实用。证明：可用面积法推出：第一角元形式的梅氏定理与顶分顶形式的梅氏定理等价。第二角

3、元形式的梅涅劳斯定理 在平面上任取一点 O，且共线，则（)()()=1。(O 不与点 A、B、C 重合)梅涅劳斯球面三角形定理 在球面三角形中，三边弧，弧，弧(都是大圆弧)被另一大圆弧截于三点，那么 数学意义 使用定理可以进行中线段长度比例的计算，其还可以用来解决、三线共点等问题的判定方法，是学以及中的一项基本定理，具有重要的作用。梅涅劳斯定理的是。它的逆定理也成立：若有三点 F、D、E 分别在的边、或其延长线上，且满足1，则 F、D、E 三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。梅涅劳斯逆定理 定理 若有三点 F、D、E 分别在边三角形的三边、或其延长线上，且满足1，则 F、D、E 三点共

4、线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。注意定理中提到的三个点的位置，在中，三个点要么只有两个在三角 形边上，要么一个都不在三角形边上。即：该成立的前提是三个点有偶数个点在三角形边上。否则为逆定理。证明方式 已知：E、F 是的边、上的点，D 是的延长线的点，且有：()()()=1。求证：E、F、D 三点共线。思路：采用反证法。先假设 E、F、D 三点不共线，直线与交于 P。再证 P 与 F 重合。证明：先假设 E、F、D 三点不共线，直线与交于 P。由梅涅劳斯定理的定理证明（如利用平行线分线段成比例的证明方法）得：()()()=1。()()()=1。；()()；即 P 与 F 重合。D、E、F

5、三点共线。注意 首先我们已知图中的直线关系：三角形一边的延长线上一点与相邻边上一点的连线与另一边相交于一点，然后再来求各个边的关系。梅涅劳斯的功劳在于，他根据上图的现象，发现了关系式：1 然后反过来再证明，如果满足这个关系，那么那条线是直线 总之：从现象发现等式，再从等式反推现象，这两个工作使得这一发现成为定理。问题：梅涅劳斯是怎么根据图中的现象发现或者计算出等式1？这个问题请大家思考。梅涅劳斯定理及例题拓展 梅涅劳斯介绍：在证明点共线时，有一个非常重要的定理，它就是梅涅劳斯定理，梅涅劳斯（）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍。下面的定理就是他首先发现的。这

6、个定理在几何学上有很重要的应用价值。定理：设 D、E、F 依次是三角形的三边、或其延长线上的点，且这三点共线，则满足1FACFECBEDBAD 证明：（此定理需要分四种情况讨论，但有两种可以排除）先来说明两种不可能的情况 情况一：当三点均在三角形边上时，由基本事实可知三点不可能共线（只能组成内接三角形的三角形。情况二：当一点在三角形一边上，另两点分别在三角形另两边的延长线上时，如图是三角形直线交于点 D，交于点 F，交于点 E，平移直线即可发现不能可两点同时在延长线上 情况三：当两点分别在三角形两边上，另一点在三角形另一边的延长线上时，如图是三角形直线交于点 D，交于点 F，交于点 E，D、E

7、、F 三点共线 可过 C 作交于 M，于是 FCAFDMBDDMADECBEFCAFDMADDMBDECBE,所以1FACFECBEDBAD 情况四：三点分别在三角形三边的延长线上时，如图是三角形直线交于点 D，交于点 F，交于点 E，同情况三D、E、F 三点共线 可过 C 作交于 M，于是 FCAFDMBDDMADECBEFCAFDMADDMBDECBE,所以1FACFECBEDBAD 设 D、E、F 依次是三角形的三边、或其延长线上的点，且这三点共线，则满足1FACFECBEDBAD 拓展（1 题）在任意三角形中，A24 分别是延长线上的点，做射线 A4A26是射线 A4A2 上的一点，做

8、射线 A6Q，A1 是射线 A6Q 上的一点，连结 A1A2 交射线于 X，作射线 A4A3 交射线于点 A3，交射线 A1A6于点 Y，连结 A1A3 交射线于点 A5，连结 A6A5 交射线于点 Z，求证三点共线（该命题又为一六边形相间各顶点分别在两直线上求证：它的三对对边（所在直线）的交点共线）这个定理为帕波斯定理 （2 题）给定内两点,连结交于点交于交于.设与 YZ交于点与 ZX 交于点与 XY 交于点 R.求证五点共线 （3 题）在任意三角形中，E 是直线上的一点，D 是直线上的一点，F 是直线上一点，G 是直线上一点，作直线交直线于点 Q，作直线交直线于点 P，作直线交直线于点 H

9、 作直线交直线于点 R,求证三点共线 （4 题）一直线截三边或延长线。证明：这三点的等截点 X共线。（在三角形任意一边所在直线上，设有两点与此边的中点等距，则称这两个点互为等截点）（5 题）将一点与正三角形的顶点连线，(1)若依次连结三联结线中点求证是个正三角形(2)三联结线的中垂线分别与对边（所在直线）的交点共线 梅涅劳斯定理和塞瓦定理 一、梅涅劳斯定理 定理 1 若直线l不经过ABC的顶点，并且与ABC的三边BC、CA、AB或它们的延长线分别交于P、Q、R，则BPPCCQQAARRB=1 证明：设、分别是 A、B、C 到直线l的垂线的长度，则：BPPCCQQAARRB=1。注：此定理常运用

10、求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件。例 1 若直角ABC 中，是斜边上的高，是ACK的平分线，E 点在上，D 是的中点，F 是与的交点，证明：BF CE。【解析】因为在EBC中，作B的平分线，则：EBC=ACK，HBC=ACE，HBC+HCB=ACK+HCB=90，即BH CE，所以EBC为等腰三角形，作上的高，则：CK=EP，对于ACK和三点 D、E、F 根据梅涅劳斯定理有：CDDAAEEKKFFC=1，于是KFFC=EKAE=CKAC=EPAC=BPBC=BKBE，即KFFC=BKBE，根据分比定理有：KFKC=BKKE，所以FKB CKE，所以BF CE。例 2 从点 K 引四条直

11、线，另两条直线分别交直线与 A、B、C、D和A1，B1，C1，D1，试证：ACBC:AD BD=A1C1B1C1:A1D1B1D1。【解析】若AD A1D1，结论显然成立；若与A1D1相交于点 L，则把梅涅劳斯定理分别用于A1AL和B1BL可得：ADLDLD1A1D1A1KAK=1，LCACAKA1KA1C1LC1=1，BCLCLC1B1C1B1KBK=1，LDBDBKB1KB1D1LD1=1，将上面四个式子相乘，可得：ADACBCBDA1C1A1D1B1D1B1C1=1，即：ACBC:ADBD=A1C1B1C1:B1D1B1C1 定理 2 设 P、Q、R 分别是ABC的三边、上或它们延长线上

12、的三点，并且 P、Q、R 三点中，位于ABC边上的点的个数为 0 或 2，这时若BPPCCQQAARRB=1，求证 P、Q、R 三点共线。证明：设直线与直线交于R，于是由定理 1 得：BPPCCQQAARRB=1，又因为BPPCCQQAARRB=1，则ARRB=ARRB，由于在同一直线上 P、Q、R 三点中，位于ABC边上的点的个数也为 0 或 2，因此 R 与R或者同在线段上，或者同在的延长线上；若 R 与R同在线段上，则 R 与R必定重合，不然的话，设AR R，这时AB AR R，即BR ARBR，这与ARBR=ARBR矛盾，类似地可证得当 R与R同在的延长线上时，R 与R也重合，综上可得

13、：P、Q、R 三点共线。注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘；例 3 点 P 位于ABC的外接圆上；A1、B1、C1是从点 P 向、引的垂线的垂足，证明点A1、B1、C1共线。【解析】易得：BA1CA1=BPcosPBCCPcosPCB，CB1AB1=CPcosPCAAPcosPAC，AC1BC1=APcosPABBPcosPBA，将上面三个式子相乘，且因为PCA=PBC，PAB=PCB，PCA+PBA=180，可得BA1CA1CB1AB1AC1BC1=1，根据梅涅劳斯定理可知A1、B1、C1三点共线。C B A 1A1B1C 例 4 设不等腰ABC的内切圆在三边、上的

14、切点分别为 D、E、F，则与，与，与的交点 X、Y、Z 在同一条直线上。【解析】ABC被直线所截，由定理 1 可得：BXXCCEEAAFFB=1，又因为AE=AF，代入上式可得BXXC=FBCE，同理可得CYYA=DCAF，AZZB=EABD，将上面的式子相乘可得：BXXCCYYAAZZB=1，又因为 X、Y、Z 丢不在ABC的边上，由定理 2 可得 X、Y、Z 三点共线。例 5 已知直线AA1，BB1，CC1相交于 O，直线和A1B1的交点为C2，直线和B1C1的交点为A2，直线和A1C1的交点为B2，试证A2、B2、C2三点共线。【解析】设A2、B2、C2分别是直线和B1C1，和A1C1，

15、和A1B1的交点，对所得的三角形和它们边上的点：和（A1，B1，C2），和（B1，C1，A2），和（A1，C1，B2）应用梅涅劳斯定理有：AA1OA1OB1BB1BC2AC2=1，OC1CC1BB1OB1CA2BA2=1，OA1AA1CC1OC1AB2CB2=1，将上面的三个式子相乘，可得：BC2AC2AB2CB2CA2BA2=1，由梅涅劳斯定理可知A2、B2、C2共线。例 6 在一条直线上取点 E、C、A，在另一条上取点 B、F、D，记直线和，和，和的交点依次为 L、M、N，证明：L、M、N 共线。【解析】记直线和，和，和的交点分别为 U、V、W，对UVW，应用梅涅劳斯定理于五组三元点(L,

16、D,E)，(A,M,F)，(B,C,N)，(A,C,E)，(B,D,F)，则有UEVEVLWLWDUD=1，VAWAUFVFWMYM=1，UNVNWCUCVBWB=1，WAVAUCWCVEUE=1，WBVBUDWDVFUF=1，将上面五个式子相乘可得：VLWLWMUMUNVN=1，点 L、M、N 共线。二、塞瓦定理 定理：设 P、Q、R 分别是ABC的、边上的点，则、三线共点的充要条件是：BPPCCQQAARRB=1。证明：先证必要性：设、相交于点 M，则BPPC=SABPSACP=SBMPSCMP=SABMSACM，同理CQQA=SBCMSABM，ARRB=SACMSBCM，以上三式相乘，得

17、：BPPCCQQAARRB=1，再证充分性：若BPPCCQQAARRB=1，设与相交于 M，且直线交于R，由塞瓦定理有：BPPCCQQAARRB=1，约翰斯：ARRB=ARRB，因为 R 和R都在线段上，所以R必与 R 重合，故、相交于一点 M。例 7 证明：三角形的中线交于一点。【解析】记ABC的中线AA1，BB1，CC1，我们只须证明AC1C1BBA1A1CCB1B1A=1，而显然有：AC1=C1B，BA1=A1C，CB1=B1A，即AC1C1BBA1A1CCB1B1A=1成立，所以，ABC交于一点，例 8 在锐角ABC中，C的角平分线交于 L，从 L 做边和的垂线，M Q R A C P

18、 B C B A 1A1B1C垂足分别是 M 和 N，设和的交点是 P，证明：CP AB。【解析】作CK AB，下证、三线共点，且为P 点，要证、三线共点，根据塞瓦定理即要证：AMMCCNNBBKAK=1，又因为MC=CN，即要证明：AMAKBKNB=1，因为AML AKC AMAK=ALAC，BNL BKC BKNB=BCBL，即要证ALACBCBL=1，根据三角形的角平分线定理可知：ALACBCBL=1，所以、三线共点，且为 P 点，所以CP AB。例 9 设是ABC的高，且 D 在边上，若 P 是上任一点，、分别与、交于 E 和 F，则EDA=FDA。【解析】过 A 作的垂线，与、的延长

19、线分别交于 M、N。欲证EDA=FDA，可以转化为证明AM=AN，因为AD BC，故MN BC，可得AME CDE，ANF BDF，所以AMCD=AECE，ANBD=AFBF，于是AM=AECDCE，AN=AFBDBF，因为、共点与 P，根据塞瓦定理可得：BDDCCEEAAFFB=1，所以AECDCE=AFBDBF，所以AM=AN，所以EDA=FDA 例 10 在ABC的边、上取点A1、B1、C1，证明AC1C1BBA1A1CCB1B1A=sinACC1sinC1CBsinBAA1sinA1ACsinCBB1sinB1BA【解析】如图对ACC1和BCC1应用正弦定K L N M C B A 理，可得AC1C1C=sinACC1sinA，CC1C1B=sinBsinC1CB，即AC1C1B=sinACC1sinC1CBsinBsinA，同理：BA1A1C=sinBAA1sinA1ACsinCsinB，CB1B1A=sinCBB1sinB1BAsinAsinC，从而AC1C1BBA1A1CCB1B1A=sinACC1sinC1CBsinBAA1sinA1ACsinCBB1sinB1BA。