高中数学竞赛辅导之——梅涅劳斯定理竞赛题_-竞赛题.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 梅涅劳斯定理 定理 1 若直线 l 不经过的顶点，并且与的三边或它们的延长线分别交于，则 证明 1：设分别是 A、B、C 到直线 l 的垂线的长度，则：。证明 2：作 CNBA，交 XY于 N，则AZCN=CYYA，CNZB=XCBX 于是AZZBBXXCCYYA=AZCNCNZBBXXCCYYA=1 证明 3：如图，连 AX，BY，记 S AYB=S1，S BYC=S2，S CYX=S3，S XYA=S4则 AZZB=S4S2+S3；BXXC=S2+S3S3；CYYA=S3S4，三式相乘即得证 注：此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件。1 设 AD 是 A

2、BC 的边 BC 上的中线，直线 CF 交 AD 于 E 求证：AE ED=2AF FB 证明由Menelaus 定理得AE EDDCCBBF FA=1，从而AE ED=2AF FB 2 若直角中，CK 是斜边上的高，CE 是的平分线，E 点在 AK上，D 是 AC 的中点，F 是 DE 与 CK 的交点，证明：。【解 析】因 为 在中，作的 平 分 线BH，则：，即，所以为等腰三角形，作 BC 上的高 EP，则：，对于和 三 点 D、E、F 根 据 梅 涅 劳 斯 定 理 有：，于 是，即，根据分比定理有：，所以，所以。ZYXCBAS1 S2 S3 S4 ZYXCBAN EABCDEZYXC

3、BA学习必备 欢迎下载 3 从点 K 引四条直线，另两条直线分别交直线与 A、B、C、D 和，试证：。【解析】若，结论显然成立；若 AD 与相交于点 L，则把梅涅劳斯定理分别用于和可得：，将上面四个式子相乘，可得：，即：定理 2 设 P、Q、R 分别是的三边 BC、CA、AB 上或它们延长线上的三点，并且 P、Q、R 三点中，位于边上的点的个数为 0 或 2，这时若，求证 P、Q、R三点共线。证明：设直线 PQ 与直线 AB 交于，于是由定理 1得：，又因为，则，由于在同一直线上 P、Q、R 三点中，位于边上的点的个数也为 0 或 2，因此 R 与 或者同在 AB 线段上，或者同在 AB 的延

4、长线上；若 R 与同在 AB 线段上，则 R 与必定重合，不然的话，设，这时，即，于是可得，这与矛盾，类似地可证得当R 与 同在 AB 的延长线上时，R 与 也重合，综上可得：P、Q、R 三点共线。注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用 再相乘；4 点 P 位于的外接圆上；是从点 P 向 BC、CA、AB 引的垂线的垂足，证明点共线。C B A 1A1B1C业务岗物价岗部内事务岗部门职责负责公司全年采购预算计划指标的完成和经营品种以合理成本的购进按药品经营质量管理规范严格进货程序将工作差错率控制在以下保障销售供应负责购进付款的安排于每月前日做出下月付款预算维护建立物价电脑查询网依

5、据物价通知及时调整价格及时与厂家联系补偿并书面通知各销售部提醒业务员注意退换货的止时间防止造成损失建立健全供应商档案掌握供应商信息材料保证供应渠道的畅通负责破损近期滞销品种与厂家审批表的填报有关文件资料的索取并建立客户档案负责进口品种采购的合同制作报关付汇核销等有关工作负责商品的借进借出和归还负责购进增值税发票的登记及付款前的保管及时与商务部医院部储运部财务部规划发展部质量管理学习必备 欢迎下载【解析】易得：，将上面三个式子相乘，且因为，可得，根据梅涅劳斯定理可知三点共线。5 设不等腰的内切圆在三边 BC、CA、AB 上的切点分别为D、E、F，则 EF 与 BC，FD 与 CA，DE 与 AB

6、 的交点 X、Y、Z 在同一条直线上。【解析】被直线 XFE 所截，由定理 1 可得：，又因为，代入上式可得，同理可得，将上面的式子相乘可得：，又因为 X、Y、Z 丢不在的边上，由定理 2 可得 X、Y、Z 三点共线。6 已知直线，相交于 O，直线 AB 和的交点为，直线 BC 和的交点为，直线 AC 和的交点为，试证三点共线。【解析】设分别是直线 BC 和，AC 和，AB 和的交点，对所得的三角形和它们边上的点：OAB 和（），OBC 和（），OAC 和（，）应用梅涅劳斯定理有：，将上面的三个式子相乘，可得：，由梅涅劳斯定理可知共线。7 在一条直线上取点 E、C、A，在另一条上取点 B、F、

7、D，记直线 AB 和 ED，CD 和 AF，EF 和 BC 的交点依次为 L、M、N，证明：L、M、N 共线。【解析】记直线 EF 和 CD，EF 和 AB，AB 和业务岗物价岗部内事务岗部门职责负责公司全年采购预算计划指标的完成和经营品种以合理成本的购进按药品经营质量管理规范严格进货程序将工作差错率控制在以下保障销售供应负责购进付款的安排于每月前日做出下月付款预算维护建立物价电脑查询网依据物价通知及时调整价格及时与厂家联系补偿并书面通知各销售部提醒业务员注意退换货的止时间防止造成损失建立健全供应商档案掌握供应商信息材料保证供应渠道的畅通负责破损近期滞销品种与厂家审批表的填报有关文件资料的索取

8、并建立客户档案负责进口品种采购的合同制作报关付汇核销等有关工作负责商品的借进借出和归还负责购进增值税发票的登记及付款前的保管及时与商务部医院部储运部财务部规划发展部质量管理学习必备 欢迎下载 CD 的交点分别为 U、V、W，对，应用梅涅劳斯定理于五组三元点，则有，将上面五个式子相乘可得：，点 L、M、N 共线。8 ABCD 是一个平行四边形，E 是 AB上的一点，F 为 CD 上的一点AF 交 ED 于 G，EC交 FB 于 H连接线段 GH 并延长交 AD 于 L，交 BC 于 M求证：DL=BM.证明：如图，设直线 LM 与 BA 的延长线交于点 J，与 DC 的延长线交于点 I 在ECD

9、 与FAB中分别使用 Menelaus 定理，得 1HECHICDIGDEG，1JABJHBFHGFAG.因为ABCD，所以GFAGGDEG，HBFHHECH.从而JABJICDI，即CICICDAJAJAB，故 CI=AJ.而LADLAJDICIBJMCBM，且BM+MC=BC=AD=AL+LD.所以 BM=DL 9(评委会，土耳其，1995)设 ABC 的内切圆分别切三边 BC、CA、AB于 D、E、F，X是 ABC 内的一点，XBC 的内切圆也在点 D 处与 BC 相切，并与 CX、XB分别切于点 Y、Z，证明，EFZY 是圆内接四边形 证明：延长 FE、BC 交于 QAFFBBDDCC

10、EEA=1，XZZBBDDCCYYA=1，AFFBCEEA=XZZBCYYA 由 Menelaus 定理，有AFFB BQQC CEEA=1 于是得XZZBBQQCCYYA=1即 Z、Y、Q 三点共线 但由切割线定理知，QE QF=QD2=QY QZ 故由圆幂定理的逆定理知 E、F、Z、Y四点共圆 即 EFZY是圆内接四边形 10 证明：设 P、Q、A、B 为任意四点，则 PA2-PB2=QA2-QB2PQAB 证明 先证 PA2-PB2=QA2-QB2PQAB作 PHAB于 H，则 PA2-PB2=(PH2+AH2)-(PH2+BH2)=AH2BH2=(AH+BH)(AH-BH)=AB(AB

11、-2BH)同理，作 QH AB于 H，则 QA2-QB2=AB(AB-2AH)H=H，即点 H 与点 H 重合 ABPQHHGAEBJLDFC IMH第 7 题图 QPIZYXFEABCD业务岗物价岗部内事务岗部门职责负责公司全年采购预算计划指标的完成和经营品种以合理成本的购进按药品经营质量管理规范严格进货程序将工作差错率控制在以下保障销售供应负责购进付款的安排于每月前日做出下月付款预算维护建立物价电脑查询网依据物价通知及时调整价格及时与厂家联系补偿并书面通知各销售部提醒业务员注意退换货的止时间防止造成损失建立健全供应商档案掌握供应商信息材料保证供应渠道的畅通负责破损近期滞销品种与厂家审批表的

12、填报有关文件资料的索取并建立客户档案负责进口品种采购的合同制作报关付汇核销等有关工作负责商品的借进借出和归还负责购进增值税发票的登记及付款前的保管及时与商务部医院部储运部财务部规划发展部质量管理学习必备 欢迎下载 PQAB PA2-PB2=QA2-QB2显然成立 说明 本题在证明两线垂直时具有强大的作用 11 以 O 为圆心的圆通过ABC 的两个顶点 A、C，且与 AB、BC 两边分别相交于 K、N两点，ABC 和KBN 的两外接圆交于 B、M 两点证明：OMB 为直角(1985 年第 26届国际数学竞赛）分析 对于与圆有关的问题，常可利用圆幂定理，若能找到 BM 上一点，使该点与点对于圆 O

13、 等幂即可 证明：由 BM、KN、AC 三线共点 P，知 PM PB=PN PK=PO2-r2 由 PMN=BKN=CAN，得 P、M、N、C 共圆，故 BM BP=BN BC=BO2-r2 得，PM PB-BM BP=PO2-BO2，即 (PM-BM)(PM+BM)=PO2-BO2，就是 PM2-BM2=PO2-BO2，于是 OMPB 12(南斯拉夫，1983)在矩形 ABCD 的外接圆弧 AB 上取一个不同于顶点 A、B 的点 M，点 P、Q、R、S 是 M 分别在直线AD、AB、BC 与 CD 上的投影证明，直线 PQ 和 RS 是互相垂直的，并且它们与矩形的某条对角线交于同一点 证明：

14、设 PR 与圆的另一交点为 L则 PQ RS=(PM+PA)(RM+MS)=PM RM+PM MS+PA RM+PAMS=PMPL+PAPD=0 故 PQRS 设 PQ 交对角线 BD 于 T，则由 Menelaus 定理，(PQ 交 ABD)得DPPAAQQBBTTD=1；即BTTD=PADPQBAQ；设 RS 交对角线 BD 于 N，由 Menelaus 定理，(RS 交 BCD)得BNNDDSSCCRRB=1；即BNND=SCDSRBCR；显然，PADP=RBCR，QBAQ=SCDS于是BTTD=BNND，故 T 与 N 重合得证 说明 本题反复运用了 Menelaus 定理，解题要抓住

15、哪一条直线截哪一个三角形 13在直线 l 的一侧画一个半圆 T，C，D 是 T 上的两点，T 上过 C 和 D 的切线分别交 l 于 B和 A，半圆的圆心在线段 BA 上，E 是线段 AC 和 BD 的交点，F 是 l T,NSRQPMABCDL O A C B K N M P DlABO F(H)ECP业务岗物价岗部内事务岗部门职责负责公司全年采购预算计划指标的完成和经营品种以合理成本的购进按药品经营质量管理规范严格进货程序将工作差错率控制在以下保障销售供应负责购进付款的安排于每月前日做出下月付款预算维护建立物价电脑查询网依据物价通知及时调整价格及时与厂家联系补偿并书面通知各销售部提醒业务员

16、注意退换货的止时间防止造成损失建立健全供应商档案掌握供应商信息材料保证供应渠道的畅通负责破损近期滞销品种与厂家审批表的填报有关文件资料的索取并建立客户档案负责进口品种采购的合同制作报关付汇核销等有关工作负责商品的借进借出和归还负责购进增值税发票的登记及付款前的保管及时与商务部医院部储运部财务部规划发展部质量管理学习必备 欢迎下载 上的点，EF 垂直 l 求证：EF 平分CFD 证明：如图，设 AD 与 BC 相交于点 P，用 O 表示半圆 T 的圆心过 P 作 PH 丄 l 于 H，连OD，OC，OP由题意知 RtOADRtPAH，于是有DOHPADAH.类似地，RtOCBRtPHB，则有CO

17、HPBCBH.由 CO=DO，有BCBHADAH，从而1DAPDCPBCHBAH.由塞瓦定理的逆定理知三条直线 AC，BD，PH 相交于一点，即 E 在 PH 上，点 H 与 F 重合 因ODP=OCP=90，所以 O，D，C，P 四点共圆，直径为 OP.又PFC=90，从而推得点 F 也在这个圆上，因此DFP=DOP=COP=CFP，所以 EF 平分CFD 业务岗物价岗部内事务岗部门职责负责公司全年采购预算计划指标的完成和经营品种以合理成本的购进按药品经营质量管理规范严格进货程序将工作差错率控制在以下保障销售供应负责购进付款的安排于每月前日做出下月付款预算维护建立物价电脑查询网依据物价通知及时调整价格及时与厂家联系补偿并书面通知各销售部提醒业务员注意退换货的止时间防止造成损失建立健全供应商档案掌握供应商信息材料保证供应渠道的畅通负责破损近期滞销品种与厂家审批表的填报有关文件资料的索取并建立客户档案负责进口品种采购的合同制作报关付汇核销等有关工作负责商品的借进借出和归还负责购进增值税发票的登记及付款前的保管及时与商务部医院部储运部财务部规划发展部质量管理