二次根式复习讲义.pdf

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1、 二次根式 知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中 叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义【典型例题】【例 1】下列各式 1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153xaaa，其中是二次根式的是_（填序号）举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A、a B、10 C、1a D、21a 2、在a、2a b、1x、21x、3中是二次根式的个数有_个【例 2】若式子13x有意义，则 x 的取值范围是 举一反三：1、使代数式43xx有意义的 x 的取值范围是（）A、x3 B、x 3 C、x4 D、x 3 且 x 4 2、使代

2、数式221xx有意义的 x 的取值范围是 3、如果代数式mnm1有意义，那么，直角坐标系中点 P（m，n）的位置在（）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限【例 3】若 y=5x+x5+2009，则 x+y=解题思路：式子a（a 0），50,50 xx 5x，y=2009，则 x+y=2014 举一反三：1、若11xx 2()xy，则xy的值为（）A 1 B1 C2 D3 2、若 x、y 都是实数，且 y=4x233x2，求 xy 的值 3、当a取什么值时，代数式211a 取值最小，并求出这个最小值。已知 a 是5整数部分，b 是 5的小数部分，求12ab的值。若3的整数部分是

3、 a，小数部分是 b，则ba3 。若17的整数部分为 x，小数部分为 y，求yx12的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1.非负性：a a()0是一个非负数 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到 2.()()aa a20 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：aaa()()20 3.aaa aa a200|()()注意：（1）字母不一定是正数（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替 （3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外 4.公式aaa aa a200|

4、()()与()()aa a20的区别与联系 （1）a2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数 （2）()a2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数 （3）a2和()a2的运算结果都是非负的【典型例题】【例 4】若22340abc，则cba 举一反三：1、若0)1(32nm，则mn的值为 。2、已知yx,为实数，且02312yx，则yx 的值为（）A 3 B 3 C 1 D 1 3、已知直角三角形两边 x、y 的长满足x24 652 yy0，则第三边长为.4、若1ab 与24ab互为相反数，则2005_ab。（公式)0()(2aaa的运用）【例 5】化简：21(3)aa 的结

5、果为（）A、4 2a B、0 C、2a4 D、4 举一反三：1 在实数范围内分解因式:23x=；4244mm=2 化简：33 13 3 已知直角三角形的两直角边分别为2和5，则斜边长为 （公式)0a(a)0a(aaa2的应用）【例 6】已知2x,则化简244xx的结果是 A、2x B、2x C、2x D、2x 举一反三：1、根式2(3)的值是()A-3 B3 或-3 C3 D9 2、已知a0）4 二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。ab=ab（a 0，b0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的

6、取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式【典型例题】【例 16】化简(1)9 16 (2)16 81 (3)1525 (4)229x y(0,0yx)(5)12632【例 17】计算（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）【例 18】化简：(1)364 (2)22649ba)0,0(ba (3)2964xy)0,0(yx (4)25169xy)0,0(yx 【例 19】计算：(1)123 (2)3128 (3)11416 （4）648【例 20】能使等式22xxxx成立的的x的取值范围是（）A、2x B、0 x C、02x D、无解 知识点六：二次根式计算二次根式的加减【知识要点】需要

7、先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数 【典型例题】【例20】计 算（1）1132752 0.53227；（2）12543102024553457；（3）11113275348532；（4）113326327284814723247【例 21】（1）224344xyxyxyxy （2）abababab （3）3213273108334aaaaaaa （4）1142aabbab （

8、5）3538154aa aaa （6）2xyyxxyyxxy 知识点七：二次根式计算二次根式的混合计算与求值【知识要点】1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律；3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；【典型习题】1、abbaabb3)23(235 2、22 (2 12+418 3 48)3、132x y（-42yx）162x y 4、673)32272(5、62332)(62332(）6、)54)(54()523(2 7、1110)562()562(8、)0()122510(9312mmmmmmm【例 21】1已知：，求的值 2已知，

9、求的值。3已知：，求的值 4求的值 5已知、是实数，且，求的值 知识点八：根式比较大小【知识要点】1、根式变形法 当0,0ab时，如果ab，则ab；如果ab，则ab。2、平方法 当0,0ab时，如果22ab，则ab；如果22ab，则ab。3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法 6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。7、作差比较法 在 对 两 数 比 较 大 小 时，经 常 运 用 如 下 性 质：0abab；0abab 8、求商比较法 它运用如下性质：当 a0，b0时，则：1aabb；1aabb【典型例题】【例 22】比较3 5与5 3的大小。【例 23】比较23 1与121的大小。【例 24】比较1514与1413的大小。【例 25】比较76与65的大小。