二次根式复习专题讲义(补课用).pdf

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1、 二次根式复习专题讲义 一、二次根式的概念：1.二次根式：形如a（a0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。.a（a0）是一个非负数。.（a）2a（a0）；2a=a（a0）2.二次根式的乘：.一般的，有abab（a0，b0）.反过来，有abab(a 0，b 0 )3.二次根式的除：.一般地，对二次根式的除法规定：ab=ab（a0，b0），.反过来，ab=ab（a0，b0）4.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。典型例题分析：例 1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33

2、、1x、x（x0）、0、42、-2、1xy、xy（x0，y0）分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或 0。解：二次根式有：2、x（x0）、0、-2、xy（x0，y0）；不是二次根式的有：33、1x、42、1xy。例 2.当 x 是多少时，23x+11x在实数范围内有意义？分析：要使23x+11x在实数范围内有意义，必须同时满足23x中的0 和11x中的 x+10 解：依题意，得23010 xx 由得：x-32 由得：x-1 当 x-32且 x-1 时，23x+11x在实数范围内有意义。变式题 1：当 x 是多少时，31x在实数范围内有意义？分析：由二次根式的

3、定义可知，被开方数一定要大于或等于 0，所以 3x-10，31x才能有意义 解：由 3x-10，得：x13 当 x13时，31x在实数范围内有意义 变式题 2：.当 x 是多少时，23xx+x2在实数范围内有意义？解：依题意得：2300 xx，320 xx 当 x-32且 x0 时，23xxx2在实数范围内没有意义。.若3x+3x 有意义，则2x=_。.使式子2(5)x有意义的未知数 x 有（）个。例 3.已知 y=2x+2x+5，求xy的值(答案:25).若1a+1b=0，求 a2004+b2004的值(答案:2).已知1xy+3x=0，求 xy的值（答案:81）例 4.计算 1（32）2

4、2（35）2 3（56）2 4（72）2 分析：我们可以直接利用（a）2=a（a0）的结论解题 解：（32）2=32，（35）2=32（5）2=325=45，（56）2=56，（72）2=22(7)724 例 5.计算 1（1x）2（x0）2（2a）2 3（221aa）2 4（24129xx）2 分析：（1）因为 x0，所以 x+10；（2）a20；（3）a2+2a+1=（a+1）20；（4）4x2-12x+9=（2x）2-22x3+32=（2x-3）20 所以上面的 4 题都可以运用（a）2=a（a0）的重要结论解题 解：（1）因为 x0，所以 x+10 （1x）2=x+1 （2）a20，（

5、2a）2=a2 （3）a2+2a+1=（a+1）2 又（a+1）20，a2+2a+10，221aa=a2+2a+1 （4）4x2-12x+9=（2x）2-22x3+32=（2x-3）2 又（2x-3）20 4x2-12x+90，（24129xx）2=4x2-12x+9 变式题：计算 1.（-323）2 2.(2 33 2)(2 33 2)例 6.在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3)2x2-3 例 7.化简 （1）9 （2）2(4)（3）25 （4）2(3)分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可运用2a=

6、a（a0）去化简。解：（1）9=23=3 （2）2(4)=24=4 （3）25=25=5 （4）2(3)=23=3 例 8.填空：当 a0 时，2a=_；当 aa，则 a 可以是什么数？分析：2a=a（a0），要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当 a0 时，2a=2()a，那么-a0 （1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知2a=a，而a要大于 a，只有什么时候才能保证呢？aa，即使 aa 所以 a 不存在；当 aa，即使-aa，a0 综上，a2，化简2(2)x-2(1 2)x 例 10先化简

7、再求值：当 a=9 时，求 a+21 2aa的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+2(1)a=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+2(1)a=a+（a-1）=2a-1=17 两种解答中，_的解答是错误的，错误的原因是_ 变式题 1若1995-a+2000a=a，求 a-19952的值（提示：先由 a-20000，判断 1995-a的值是正数还是负数，去掉绝对值）变式题 2 若-3x2 时，试化简x-2+2(3)x+21025xx。（答案：10-x)例 11计算 （1）57 （2）139 （3）927 （4）126 分析：直接利用abab（a0，b0）计算即可 解：（1）57=3

8、5（2）139=193=3（3）927=29 2793=93（4）126=162=3 例 12.化简（1）9 16 （2）16 81 （3）81 100（4）229x y （5）54 分析：利用ab=ab（a0，b0）直接化简即可 解：（1）9 16=916=34=12 （2）16 81=1681=49=36 （3）81 100=81100=910=90 （4）229x y=2322x y=232x2y=3xy （5）54=9 6=236=36 例 13.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）(4)(9)49 （2）1242525=4122525=4122525=412=83 解：（

9、1）不正确 改正：(4)(9)=4 949=23=6 （2）不正确 改正：1242525=1122525=1122525=112=16 747 变式题 1：若直角三角形两条直角边的边长分别为15cm 和12cm，那么此直角三角形斜边长是（）变式题 2：化简 a1a的结果是（）变式题 3：1014=_1696 变式题 4：一个底面为 30cm30cm 长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水例入一个底面为正方形、高为 10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了 20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？设：底面正方形铁桶的底面边长为 x，则 x210=303020，x2=30302，x=3030

10、2=302 变式题 5：探究过程：观察下列各式及其验证过程 （1）223=223 验证：223=2223=2223=332(22)233=3222222222(21)221212121=223 （2）338=338 验证：338=2338=338=3233331 =222223(31)33(31)3313131=338 同理可得：44441515 55552424，通过上述探究你能猜测出：a21aa=_（a0）,并验证你的结论 解：a21aa=21aaa 验证：a21aa=322211aaaaa=33222111aaaaaaaaa=222(1)11aaaaa=21aaa.例 14计算：（1）1

11、23 （2）3128 （3）11416 （4）648 分析：上面 4 小题利用ab=ab（a0，b0）便可直接得出答案 解：（1）123=123=4=2 （2）3128=31383 4282=3=23（3）11416=111164164=4=2（4）648=648=8=22 例 15化简：（1）364（2）22649ba （3）2964xy（4）25169xy 分析：直接利用ab=ab（a0，b0）就可以达到化简之目的 解：（1）364=33864 （2）22649ba=2264839bbaa （3）2964xy=293864xxyy （4）25169xy=25513169xxyy 例 16已

12、知9966xxxx，且 x 为偶数，求（1+x）22541xxx的值 分析：式子ab=ab，只有 a0，b0 时才能成立 因此得到 9-x0 且 x-60，即 6x9，又因为 x 为偶数，所以 x=8 解：由题意得9060 xx，即96xx 60，n0）（2）-3222332mna（232mna）2amn（a0）解：（1）原式-4252nnmm32nm=-432522nnmmmn=-3222nnnnnmmmm=-23nnm （2）原式=-22223()()2mn mnaaamnmn=-2232a=-6a 例 17.把它们化成最简二次根式：(1)5312;(2)2442x yx y;(3)238

13、x y 点评：二次根式有如下两个特点：1被开方数不含分母；2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式 例 18.如图，在 RtABC 中，C=90，AC=2.5cm，BC=6cm，求 AB 的长 解：因为 AB2=AC2+BC2 所以 AB=222.56=2516916913()362424=6.5（cm）因此 AB 的长为 6.5cm 例 19.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=1(21)212 1(21)(21)=2-1，132=1(32)3232(32)(32)=3-2，同理可得：143=4-3，从

14、计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （121+132+143+120022001）（2002+1）的值 分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的 解：原式=（2-1+3-2+4-3+2002-2001）（2002+1）=（2002-1）（2002+1）=2002-1=2001 练习：一、选择题 1如果xy（y0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）Axy（y0）Bxy（y0）Cxyy（y0）D以上都不对 2把（a-1）11a中根号外的（a-1）移入根号内得（）A1a B1 a C-1a D-1 a 3在下列各式中，化简正确的是（）A53

15、=315 B12=122 C4a b=a2 b D 32xx=x1x 4化简3 227的结果是（）A-23 B-23 C-63 D-2 二、填空题 1化简422xx y=_（x0）2a21aa化简二次根式号后的结果是_ 三、综合提高题 1已知 a 为实数，化简：3a-a1a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程：解：3a-a1a=aa-a1aa=（a-1）a 2若 x、y 为实数，且 y=224412xxx，求xyxy的值 答案:一、1C 2D 3.C 4.C 二、1x22xy 2-1a 三、1不正确，正确解答：因为3010aa，所以 a0，原式2a a-a2aa

16、=a2a-a2aa=-aa+a=(1-a)a 2224040 xx x-4=0，x=2，但x+20，x=2，y=14 221634164xyxyxy.例 20.计算 （1）8+18 （2）16x+64x 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并 解：（1）8+18=22+32=（2+3）2=52 （2）16x+64x=4x+8x=（4+8）x=12x 点评：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并 例 21计算 （1）348-913+312 （2）（48+20）+（12-5）解：（1）348-913+

17、312=123-33+63=（12-3+6）3=153 （2）（48+20）+（12-5）=48+20+12-5 =43+25+23-5=63+5 例 22已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求（293xx+y23xy）-（x21x-5xyx）的值 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即 x=12，y=3其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值 解：4x2+y2-4x-6y+10=0 4x2-4x+1+y2-6y+9=0 （2x-1）2+（y-3）2=0 x=12，y=3 原式=293x

18、x+y23xy-x21x+5xyx =2xx+xy-xx+5xy =xx+6xy 当 x=12，y=3 时，原式=1212+632=24+36 练习：一、选择题 1以下二次根式：12；22；23；27中，与3是同类二次根式的是（）A和 B和 C和 D和 2下列各式：33+3=63；177=1；2+6=8=22；243=22，其中错误的有（）A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 二、填空题 1在8、1753a、293a、125、323aa、30.2、-218中，与3a是同类二次根式的有_ 2计算二次根式 5a-3b-7a+9b的最后结果是_ 三、综合提高题 1已知52.236，求（80-415

19、）-（135+4455）的值（结果精确到 0.01）2先化简，再求值 （6xyx+33xyy）-（4xxy+36xy），其中 x=32，y=27 答案:一、1C 2A 二、11753a 323aa 26b-2a 三、1原式=45-355-455-1255=155152.2360.45 2原式=6xy+3xy-（4xy+6xy）=xy(3-4x/y)=12.52 例 23如图所示的 RtABC 中，B=90，点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 厘米/秒的速度向点 A 移动；同时，点 Q 也从点 B开始沿 BC 边以 2 厘米/秒的速度向点 C 移动问：几秒后PBQ的面积为 35 平方厘米？

20、PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）分析：设 x 秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米，那么 PB=x，BQ=2x，根据三角形面积公式就可以求出 x 的值 解：设 x 后PBQ 的面积为 35 平方厘米 则有 PB=x，BQ=2x 依题意，得：12x2x=35 x2=35 x=35 所以35秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米 PQ=22222455 35PBBQxxx=57 答：35秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米，PQ 的距离为 57厘米 例 23要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到 0.1m）？分析：此框架是由 AB、BC、BD、AC 组成，所以要求钢架的钢

21、材，只需知道这四段的长度 解：由勾股定理，得 AB=22224220ADBD=25 BC=222221BDCD=5 所需钢材长度为 AB+BC+AC+BD =25+5+5+2 =35+7 32.24+713.7（m）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m 的钢材 例 24若最简根式343a bab与根式23226abbb是同类二次根式，求 a、b 的值（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式23226abbb不是最简二次根式，因此把23226abbb化简成|b|26ab，才由同类二次根式的定义得 3

22、a-b=2，2a-b+6=4a+3b 解：首先把根式23226abbb化为最简二次根式：23226abbb=2(21 6)ba=|b|26ab 由题意得432632ababab 24632abab a=1，b=1 练习：一、选择题 1已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（）（结果用最简二次根式）A52 B50 C25 D以上都不对 2小明想自己钉一个长与宽分别为 30cm 和 20cm 的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米（结果同最简二次根式表示）A13100 B1300 C1013 D513 二、填空题 1某地有一长

23、方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的 2 倍，它的面积是 1600m2，鱼塘的宽是_m（结果用最简二次根式）2已知等腰直角三角形的直角边的边长为2，那么这个等腰直角三角形的周长是_（结果用最简二次根式）三、综合提高题 1若最简二次根式22323m 与212410nm是同类二次根式，求 m、n 的值 2同学们，我们以前学过完全平方公式 a22ab+b2=（ab）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括 0）都可以看作是一个数的平方，如 3=（3）2，5=（5）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：（2-1）2=（2）2-212+12=2-22+1=3-22 反之，3-

24、22=2-22+1=（2-1）2 3-22=（2-1）2 32 2=2-1 求：（1）32 2；（2）42 3；（3）你会算412吗？(3-1)（4）若2ab=mn，则 m、n 与 a、b 的关系是什么？并说明理由 答案:一、1A 2C 二、1202 22+22 三、1依题意，得2223241012mmn ，2283mn，2 23mn 所以2 23mn或2 23mn 或2 23mn 或2 23mn 2（1）32 2=2(21)=2+1 （2）42 3=2(31)=3+1 （3）412=2423(31)=3-1 （4）mnamnb 理由：两边平方得 a2b=m+n2mn 所以amnbmn 例 2

25、5计算:（1）（6+8）3 （2）（46-32）22 分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律 解：（1）（6+8）3=63+83 =18+24=32+26 解：（46-32）22=4622-3222 =23-32 例 26计算 （1）（5+6）（3-5）（2）（10+7）（10-7）分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立 解：（1）（5+6）（3-5）=35-（5）2+18-65 =13-35 （2）（10+7）（10-7）=（10）2-（7）2 =10-7=3 例 27已知xba=2-xab，其中 a、b 是实数，且

26、 a+b0，化简11xxxx +11xxxx ，并求值。分析：由于（1x+x）（1x-x）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到 x 的值，代入化简得结果即可 解：原式=2(1)(1)(1)xxxxxx+2(1)(1)(1)xxxxxx=2(1)(1)xxxx+2(1)(1)xxxx =（x+1）+x-2(1)x x+x+2(1)x x =4x+2 xba=2-xab b（x-b）=2ab-a（x-a）bx-b2=2ab-ax+a2 （a+b）x=a2+2ab+b2 （a+b）x=（a+b）2 a+b0 x=a+b 原式=4x+2=4（a+b）+2

27、练习：一、选择题 1（24-315+2223）2的值是（）A2033-330 B330-233 C230-233 D2033-30 2计算（x+1x）（x-1x）的值是（）A2 B3 C4 D1 二、填空题 1（-12+32）2的计算结果（用最简根式表示）是_ 2（1-23）（1+23）-（23-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_ 3若 x=2-1，则 x2+2x+1=_ 4已知 a=3+22，b=3-22，则 a2b-ab2=_ 三、综合提高题 1化简5710141521 2当 x=121时，求2211xxxxxx +2211xxxxxx 的值（结果用最简二次根式表示）课外知识 1同

28、类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式 练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A2x与2y B3489a b与5892a b Cmn与n Dmn与mn 2互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如 x+1-22xx与 x+1+22xx就是互为有理化因式；x与1x也是互为有理化因式 练习：2+3的有理化因式是_；x-y的有理化因式是_ -1x-1x的有理化因式是_ 3分母有理化是指把分母中的

29、根号化去，通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的 练习：把下列各式的分母有理化 （1）151；（2）112 3；（3）262；（4）3 34 23 34 2 4其它材料：如果 n 是任意正整数，那么21nnn=n21nn 理由：21nnn=332211nnnnnn=n21nn 练习：填空223=_；338=_；4415=_ 答案:一、1A 2D 二、11-32 243-24 32 442 三、1原式5725273 53 7=572(57)3(57)=123=-（2-3）=3-2 2原式2222222(1)(1)(1)()xxxxxxxxx =222(1)()21xxxx=2(1)(1)1xxxx=2（2x+1）x=121=2+1 原式2（22+3）=42+6.例 28.比较32与21的大小。解：因为：（3+2）（3-2）=1；（2+1）（2-1）=1 所以，（3-2）=1/（3+2）；（2-1）=1/（2+1）,又因为：（3+2）（2+1）所以，（2-1）（3-2）。变式题 1：比较43与32的大小。变式题 2：试比较1nn 与1nn的大小。例 29.已知16 的整数部分为 a,小数部分为 b,求 a-b.解：263，36+14，即整数部分 a=3，小数部分,b=6+1-3=6-2，则：a-b=3-（6-2）=5-6。