勾股定理(讲义).pdf

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1、勾股定理 一、知识归纳 1勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a;b;斜边为c;那么222abc 2勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系;它只适用于直角三角形;对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征;因而在应用勾股定理时;必须明了所考察的对象是直角三角形 3勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边长;求第三边 在ABC中;90C;则22cab;22bca;22acb 知道直角三角形一边;可得另外两边之间的数量关系 二、题型 题型一：直接考查勾股定理 例.在ABC中;90C 已知6AC;8B

2、C 求AB的长 已知17AB;15AC;求BC的长 解：题型二：应用勾股定理建立方程 例.在ABC中;90ACB;5AB cm;3BC cm;CDAB于D;CD 已知直角三角形的两直角边长之比为3:4;斜边长为15;则这个三角形的面积为 已知直角三角形的周长为30cm;斜边长为13cm;则这个三角形的面积为 BAC21EDCBAABCDE例.如图ABC中;90C;12;1.5CD;2.5BD;求AC的长 例 4.如图Rt ABC;90C3,4ACBC;分别以各边为直径作半圆;求阴影部分面积 题型三：实际问题中应用勾股定理 例 5.如图有两棵树;一棵高8cm;另一棵高2cm;两树相距8cm;一只

3、小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢;至少飞了 m 三、勾股定理的逆定理知识归纳 1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a;b;c有下面关系：a2b2c2;那么这个三角形是直角三角形;其中c为斜边.2.常用的平方数 112_;122_;132_;142_;152_;162_;172_;182_;192_;202_;252_ 注意.如果三角形三边长a;b;c满足222abc;那么这个三角形是直角三角形;其中c为斜边.勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法;它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状;在运用这一定理时;可用两小边的平方和22ab与较长边的平方2c作比较;若

4、它们相等时;以a;b;c为三边的三角形是直角三角形；若222abc;时;以a;b;c为三边的三角形是钝角三角形；若222abc;时;以a;b;c为三边的三角形是锐角三角形；3.勾股数：满足 a2b2c2的三个正整数叫做勾股数注意：若 a;b;c、为勾股数;那么 ka;kb;kc 同样也是勾股数组.记住常见的勾股数可以提高解题速度;如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8;15;17 等 用含字母的代数式表示n组勾股数：221,2,1nn n2,nn为正整数；2221,22,221nnnnnn为正整数 2222,2,mnmn mn,mnm;n为正整数 *附：常见勾股数：3;

5、4;5；6;8;10；9;12;15；5;12;13 4 判断直角三角形：1 有一个角为 90的三角形是直角三角形.2 有两个角互余的三角形是直角三角形.3 如果三角形的三边长 a、b、c 满足a2+b2=c2;那么这个三角形是直角三角形.经典直角三角形：勾三、股四、弦五 注：用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：1 确定最大边不妨设为 c；2 若 c2a2b2;则ABC 是以C 为直角的三角形；若 a2b2c2;则此三角形为钝角三角形其中 c 为最大边；若 a2b2c2;则此三角形为锐角三角形其中 c 为最大边 5.直角三角形的性质：1 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

6、 2 在直角三角形中;如果一个锐角等于 30;那么它所对的直角边等于斜边的一半.3 在直角三角形中;如果一条直角边等于斜边的一半;那么这条直角边所对的角等于30.题型四：应用勾股定理逆定理;判定一个三角形是否是直角三角形 例 6.已知三角形的三边长为a;b;c;判定ABC是否为Rt 1.5a;2b;2.5c 54a;1b;23c 解：例 7.三边长为a;b;c满足10ab;18ab;8c 的三角形是什么形状 A B C D 8cm 解 题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用 例 8.已知ABC中;13AB cm;10BC cm;BC边上的中线12AD cm;求证：ABAC 证明：DCBA

7、练习 1已知一个 Rt的两边长分别为 3 和 4;则第三边长是 2如图;圆锥的底面半径为 6cm;高为 8cm;那么这个圆锥的母线 L 是_ 3直角三角形两直角边长分别为 5 和 12;则斜边上的高为_ 4.已知等腰三角形的腰长是 6cm;底边长是 8cm;那么这个等腰三角形的面积是 .5如图所有的四边形都是正方形;所有的三角形都是直角三角形;其中最大的正方形的边长为 8;正方形 A 的面积是 10;B 的面积是 11;C 的面积是 13;则 D 的面积之为_.6如图;C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄;CD=6 km;且D位于C的北偏东 30方向上;则AB_km 7.如图

8、;有两棵树;一棵高8米;另一棵高2米;两树相距8米;一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢;则它至少要飞行_米.l 第 2 题 8 6 第 13 题北东ABCD第 6 题 第 9 题 4 3 12 8如图;直线 L 过正方形 ABCD 的顶点 B;点 A、C 到直线 L 的距离分别是 1 和 2;则正方形的 ABCD 的面积是 .9.如图是一个长方体长 4、宽 3、高 12;则图中阴影部分的三角形的周长为_.10某校为了筹备校园艺术节;要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致;台阶的侧面如图所示;台阶的坡角为30;90BCA;台阶的高BC为 2 米;那么请你帮忙算一

9、算需要 米长的地毯恰好能铺好台阶结果精确到0.1m;取21.414;31.732 11有一圆柱体高为 10cm;底面圆的半径为 4cm;AA1、BB1为相对的两条母线.在AA1上有一个蜘蛛Q;QA=3cm；在BB1上有一只苍蝇P;PB1=2cm.蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇;最短的路径是 cm.结果用带和根号的式子表示 12 如图;如果以正方形 ABCD 的对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF;再以对角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH;如此下去;已知正方形 ABCD 的面积1S为 1;按上述方法所作的正方形的面积依次为23SS，;Snn为正整数;那么第 8 个正方形的面积8S _

10、 二、看准了再选 13“数轴上的点并不都表示有理数;如图中数轴上的点P所表示的数是5”;这种利用图形直观说明问题的方式体现的数学思想方法叫 代入法 换元法 数形结合的思想方法 分类讨论的思想方法 30 第 10 题图 A B1 A1 B Q P 第11题图 ABCDEFGHIJ11PO2524cm 32cm 第 17 题 12-3-210-13A14下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是 A7,24,25abc B1.5,2,2.5abc C25,2,34abc D15,8,17abc 15两只小鼹鼠在地下打洞;一只朝正东方挖;每分钟挖 8cm;另一只朝正南方挖;每分钟挖6cm;10 分钟

11、之后两只小鼹鼠相距 A.50cm B.100cm C.140cm D.80cm 16如图一个圆桶儿;底面直径为 24cm;高为 32cm;则桶内能容下的最长的木棒为 A.20cm B.50cm C.40cm D.45cm 17若等边ABC 的边长为 4cm;那么ABC 的面积为 A23cm2 B43cm2 C63cm2 D8cm2 18如图 2;在直角坐标系中;OBC 的顶点 O0;0;B-6;0;且OCB=90;OC=B 则点 C 关于 y轴对称的点的坐标是 A3;3 B.-3;3 C.-3;-3 D.32;32 19如图所示：数轴上点 A 所表示的数为 a;则 a 的值是 A5+1 B-5

12、+1 C5-1 D5 20直角三角形的周长为 24;斜边长为 10;则其面积为 A96 B49 C24 D48 21.老李家有一块草坪如图所示.已知AB=3米;BC=4米;CD=12米;DA=13米;且ABBC;这块草坪的面积是 A24米2.B.36米2.C.48米2.D.72米2.22在一块平地上;李大爷家屋前 9 米远处有一棵大树在一次强风中;这棵大树从离地面 6米处折断倒下;量得倒下部分的长是 10 米 出门在外的李大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到大树倒下时能砸到李大爷的房子吗 请你通过计算、分析后给出正确的回答 一定不会 可能会 一定会 以上答案都不对 23如图;在直角坐标系中;将矩

13、形OABC沿OB对折;使点A落在A1处;已知OA=3;AB=1;则点A1的坐标是 .A、2323，B、323，C、2323，D、2321，三、想好了再规范的写 y A1 A B C O x 第 23 题 24、已知：在四边形 ABCD 中;AB=3cm;BC=5cm;CD=32;AD=2cm;ACAB 求四边形 ABCD 的面积 25、某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口;各自沿一固定方向航行;“远航”号每小时航行 16 海里;“海天”号每小时航行 12 海里.它们离开港口一个半小时后相距 30 海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行;能知道“海天”号沿哪个方向航行吗 DCBA DC=3.52 cm AD=2.03 cm BC=5.08 cmCA=4.11 cmAB=3.00 cm