2022届高考数学一轮复习第七章第七节立体几何中的向量方法课时作业理含解析北师大版.pdf

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1、.第七节 立体几何中的向量方法 授课提示：对应学生用书第 351 页 A 组 基础保分练 1将边长为 1 的正方形 AA1O1O及其内部绕 OO1旋转一周形成圆柱,如图,错误!长为错误!,错误!长为错误!,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧,则异面直线B1C与AA1所成的角的大小为 A错误!B错误!C错误!D错误!解析：以 O 为坐标原点建系图略,则 A0,1,0,A10,1,1,B1错误!,C错误!所以错误!0,0,1,错误!0,1,1,所以 cos错误!,错误!错误!错误!错误!,所以错误!,错误!错误!,所以异面直线 B1C 与 AA1所成的角为错误!答案：B 2 如图,已知长方体 A

2、BCD-A1B1C1D1中,ADAA11,AB3,E 为线段 AB 上一点,且 AE错误!AB,则 DC1与平面 D1EC 所成的角的正弦值为 A错误!B错误!C错误!D错误!解析：以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系图略,则 C10,3,1,D10,0,1,E1,1,0,C0,3,0,所以错误!0,3,1,错误!1,1,1,错误!0,3,1 设平面 D1EC 的法向量为 nx,y,z,则错误!即错误!即错误!取 y1,得 n2,1,3 因为 cos 错误!,n 错误!错误!错误!,所以DC1与平面 D1EC所成的角的正弦值为错误!答案

3、：A 3如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为 a 的正方体 ABCD-ABCD,AC 的中点 E 与 AB.的中点 F 的距离为 A错误!a B错误!a Ca D错误!a 解析：Aa,0,a,Aa,0,0,C0,a,0,Ba,a,0,F错误!,E错误!,|EF|错误!错误!a 答案：B 4如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 为正三角形,底面 ABCD 为正方形,侧面 PAD底面ABCD,M 为底面 ABCD 内的一个动点,且满足 MPMC,则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为 解析：法一：以 D 为原点,DA,DC 分别为 x,y 轴建系如图：设 Mx,y,0,设正方形边长

4、为 a,则 P错误!,C0,a,0,则|错误!|错误!,|错误!|错误!由|错误!|错误!|得 x2y,所以点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为一条直线 y错误!x 法二：所求轨迹是线段 PC 的垂直平分面与平面 ABCD 的交线 答案：A 5 在底面为直角梯形的四棱锥 P-ABCD 中,侧棱 PA底面 ABCD,BCAD,ABC90,PAABBC2,AD1,则点 D 到平面 PBC 的距离是_ 解析：分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图,则A 0,0,0,P 0,0,2,B2,0,0,C2,2,0,D0,1,0,.错误!2,2,2,错误!0,2,0 设 n

5、x,y,z 为平面 PBC 的法向量,则错误!即错误!取 x1,则 n1,0,1 又错误!2,1,0,点 D 到平面 PBC 的距离 d错误!错误!答案：错误!6在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,AA12AB,则 CD 与平面 BDC1所成角的正弦值等于_ 解析：以 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设 AA12AB2,则 D0,0,0,C0,1,0,B1,1,0,C10,1,2,则错误!0,1,0,错误!1,1,0,错误!0,1,2 设平面 BDC1的法向量为 nx,y,z,则错误!所以有错误!令 y2,得平面 BDC1的一个法向量 n2,2,1 设 CD 与平面 BDC1所

6、成的角为,则 sin|cosn,错误!|错误!错误!答案：错误!72021XX 摸底如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,ACBC,ABBB1,ACBCBB1,D 为 AB 的中点,且 CDDA1.1 求证：BB1平面 ABC；2 求锐二面角 C-DA1-C1的余弦值 解析：1 证明：因为 ACBC,D 为 AB 的中点,所以 CDAB,又 DCDA1,ABDA1D,所以CD平面 AA1B1B,又 BB1平面 AA1B1B,所以 CDB1B,又 B1BAB,ABCDD,所以 B1B平面 ABC 2由已知及 1可得CB,CC1,CA两两互相垂直,所以以C为坐标原点,以CB所在直线为x轴,CC1

7、所在直线为 y 轴,CA 所在直线为 z 轴建立如图所示空间直角坐标系,设 CC12,则 C0,0,0,C10,2,0,A10,2,2,D1,0,1,所以错误!1,0,1,错误!0,2,2,错误!1,2,1,错误!0,0,2 设平面 DCA1的法向量 n1x1,y1,z1,则错误!即错误!令 z11,则 x11,y11,n11,1,1 设平面 DC1A1的法向量 n2x2,y2,z2,则错误!即错误!得 z20,x22y20,令 y21,则 x22,n22,1,0 所以 cosn1,n2错误!错误!错误!故锐二面角 C-DA1-C1的余弦值为错误!B 组 能力提升练 1 2021XX 调研如图

8、,已知三棱柱 ABC-A1B1C1,点 O 为棱 AB 的中点.1 求证：BC1平面 A1CO；2 若ABC 是等边三角形,且 ABAA1,A1AB60,平面 AA1B1B平面 ABC,求二面角A-A1C-B 的余弦值 解析：1 证明：连接 AC1交 A1C 于 M,连接 OM 由三棱柱 ABC-A1B1C1知,四边形 ACC1A1为平行四边形,M 为 AC1的中点 又 O 为 AB 的中点,BC1OM OM平面 A1CO,BC1 平面 A1CO,BC1平面 A1CO 2ABC 是等边三角形,且 ABAA1,A1AB60,A1OAB,COAB 又平面 AA1B1B平面 ABC,A1O平面 AB

9、C,A1OCO 以 O 为坐标原点,直线 OC,OA,OA1分别为 x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 设 ACABBCAA12,则 C错误!,0,0,A0,1,0,B0,1,0,A10,0,错误!设平面 A1AC 的法向量为 n1x1,y1,z1,则 n1错误!,n1错误!,错误!错误!错误!,1,0,错误!0,1,错误!,错误!令 y1错误!,得 x11,z11,即 n11,错误!,1 设平面 A1BC 的法向量为 n2x2,y2,z2,则 n2错误!,n2错误!,错误!错误!错误!,1,0,错误!0,1,错误!,错误!令 y2错误!,得 x21,z21,即 n21,错误!,1 c

10、osn1,n2错误!错误!,由题意可知,二面角 A-A1C-B 为锐角,其余弦值为错误!.22021XX 市高三质检在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,ABC 为正三角形,点 D 在棱 BC 上,且 CD3BD,点 E,F 分别为棱 AB,BB1的中点 1 证明：A1C平面 DEF；2 若 A1CEF,求直线 A1C1与平面 DEF 所成的角的正弦值 解析：1 证明：如图,连接 AB1交 A1B 于点 H,设 A1B 交 EF 于点 K,连接 DK,因为四边形 ABB1A1为矩形,所以 H 为线段 A1B 的中点 因为点 E,F 分别为棱 AB,BB1的中点,所以点 K 为线段 BH 的中点,

11、所以 A1K3BK 又 CD3BD,所以 A1CDK 又 A1C平面 DEF,DK平面 DEF,所以 A1C平面 DEF 2 连接 CE,EH,由1 知,EHAA1,因为 AA1平面 ABC,所以 EH平面 ABC 因为ABC 为正三角形,且点 E 为棱 AB 的中点,所以 CEAB 故以点 E 为坐标原点,分别以错误!,错误!,错误!的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 E-xyz 设 AB4,AA1tt0,则 A12,t,0,A2,0,0,C0,0,2错误!,E0,0,0,F错误!,D错误!,所以错误!2,t,2错误!,错误!错误!因为 A1CEF,所以错误

12、!错误!0,所以22t错误!2错误!00,所以 t2错误!,所以错误!2,错误!,0,错误!错误!设平面 DEF 的法向量为 nx,y,z,则错误!所以错误!取 x1,则 n1,错误!,错误!.又错误!错误!2,0,2错误!,设直线 A1C1与平面 DEF 所成的角为,则 sin|cosn,错误!|错误!错误!错误!,所以直线 A1C1与平面 DEF 所成的角的正弦值为错误!C 组 创新应用练 如图,正方形 ABCD 的边长为 4,E,F 分别为 BC,DA 的中点将正方形 ABCD 沿着线段 EF 折起,使DFA60设 G 为 AF 的中点 1 求证：DGEF；2 求直线 GA 与平面 BC

13、F 所成角的正弦值；3 设 P,Q 分别为线段 DG,CF 上的点,且 PQ平面 ABEF,求线段 PQ 的长度的最小值 解析：1 证明：因为正方形 ABCD 中,E,F 分别为 BC,DA 的中点,所以 EFFD,EFFA,又因为 FDFAF,所以 EF平面 DFA 又因为 DG平面 DFA,所以 DGEF 2 因为DFA60,DFFA,AGGF,所以DFA 为等边三角形,且 DGFA 又因为 DGEF,EFFAF,所以 DG平面 ABEF 设 BE 的中点为 H,连接 GH,则 GA,GH,GD 两两垂直,故以 GA,GH,GD 所在直线分别为 x 轴、y轴和 z 轴建立空间直角坐标系 G

14、-xyz,如图,则 G0,0,0,A1,0,0,B1,4,0,C0,4,错误!,F1,0,0,所以错误!1,0,0,错误!1,0,错误!,错误!2,4,0.设平面 BCF 的法向量为 mx,y,z,由 m错误!0,m错误!0,得错误!令 z2,得 m2错误!,错误!,2 设直线 GA 与平面 BCF 所成的角为,则 sin|cosm,错误!|错误!错误!,即直线 GA 与平面 BCF 所成角的正弦值为错误!3 由题意,可设 P0,0,k0k错误!,错误!错误!01,由错误!1,4,错误!,得错误!,4,错误!,所以 Q1,4,错误!,错误!1,4,错误!k 由2 得,错误!0,0,错误!为平面 ABEF 的一个法向量 因为 PQ平面 ABEF,所以错误!错误!0,即错误!k0 所以|错误!|错误!错误!错误!,又因为 1722117错误!错误!错误!,所以当 错误!时,|错误!|min错误!所以当 错误!,k错误!时,线段 PQ 的长度取得最小值,其最小值为错误!