届高考数学一轮复习第七章第七节立体几何中的向量方法课时作业理含解析北师大版.doc

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1、第七节 立体几何中的向量方法授课提示：对应学生用书第351页A组基础保分练1将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧，则异面直线B1C与AA1所成的角的大小为（）ABCD解析：以O为坐标原点建系（图略），则A（0，1，0），A1（0，1，1），B1，C所以（0，0，1），（0，1，1），所以cos，所以，所以异面直线B1C与AA1所成的角为答案：B2如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB3，E为线段AB上一点，且AEAB，则DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为（）A B C D解析：以D

2、为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（图略），则C1（0，3，1），D1（0，0，1），E（1，1，0），C（0，3，0），所以（0，3，1），（1，1，1），（0，3，1）设平面D1EC的法向量为n（x，y，z），则即即取y1，得n（2，1，3）因为cos，n，所以DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为答案：A3如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCDABCD，AC的中点E与AB的中点F的距离为（）Aa BaCa Da解析：A（a，0，a），A（a，0，0），C（0，a，0），B（a，a，0），F，E，|EF| a答案：B4如图，在

3、四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（）解析：法一：以D为原点，DA，DC分别为x，y轴建系如图：设M（x，y，0），设正方形边长为a，则P，C（0，a，0），则|，|由|得x2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为一条直线yx法二：所求轨迹是线段PC的垂直平分面与平面ABCD的交线答案：A5在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，侧棱PA底面ABCD，BCAD，ABC90，PAABBC2，AD1，则点D到平面PBC的距离是_解析：分别以AB，AD，AP所在直线为x轴

4、，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，1，0），（2，2，2），（0，2，0）设n（x，y，z）为平面PBC的法向量，则即取x1，则n（1，0，1）又（2，1，0），点D到平面PBC的距离d答案：6在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_解析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA12AB2，则D（0，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），C1（0，1，2），则（0，1，0），（1，1，0），（0，1，2）设平面BDC1的法向量为n（x，y，z）

5、，则所以有令y2，得平面BDC1的一个法向量n（2，2，1）设CD与平面BDC1所成的角为，则sin |cosn，|答案：7（2021西安摸底）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ABBB1，ACBCBB1，D为AB的中点，且CDDA1（1）求证：BB1平面ABC；（2）求锐二面角CDA1C1的余弦值解析：（1）证明：因为ACBC，D为AB的中点，所以CDAB，又DCDA1，ABDA1D，所以CD平面AA1B1B，又BB1平面AA1B1B，所以CDB1B，又B1BAB，ABCDD，所以B1B平面ABC（2）由已知及（1）可得CB，CC1，CA两两互相垂直，所以以C为坐标原点，以CB所

6、在直线为x轴，CC1所在直线为y轴，CA所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系，设CC12，则C（0，0，0），C1（0，2，0），A1（0，2，2），D（1，0，1），所以（1，0，1），（0，2，2），（1，2，1），（0，0，2）设平面DCA1的法向量n1（x1，y1，z1），则即令z11，则x11，y11，n1（1，1，1）设平面DC1A1的法向量n2（x2，y2，z2），则即得z20，x22y20，令y21，则x22，n2（2，1，0）所以cosn1，n2故锐二面角CDA1C1的余弦值为B组能力提升练1（2021合肥调研）如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，点O为棱AB的中点（1）

7、求证：BC1平面A1CO；（2）若ABC是等边三角形，且ABAA1，A1AB60，平面AA1B1B平面ABC，求二面角AA1CB的余弦值解析：（1）证明：连接AC1交A1C于M，连接OM由三棱柱ABCA1B1C1知，四边形ACC1A1为平行四边形，M为AC1的中点又O为AB的中点，BC1OMOM平面A1CO，BC1平面A1CO，BC1平面A1CO（2）ABC是等边三角形，且ABAA1，A1AB60，A1OAB，COAB又平面AA1B1B平面ABC，A1O平面ABC，A1OCO以O为坐标原点，直线OC，OA，OA1分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系设ACABBCAA12，则C（，0，

8、0），A（0，1，0），B（0，1，0），A1（0，0，）设平面A1AC的法向量为n1（x1，y1，z1），则n1，n1，（，1，0），（0，1，），令y1，得x11，z11，即n1（1，1）设平面A1BC的法向量为n2（x2，y2，z2），则n2，n2，（，1，0），（0，1，），令y2，得x21，z21，即n2（1，1）cosn1，n2，由题意可知，二面角AA1CB为锐角，其余弦值为2（2021福州市高三质检）在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为正三角形，点D在棱BC上，且CD3BD，点E，F分别为棱AB，BB1的中点（1）证明：A1C平面DEF；（2）若A1CEF，求直线A1C1与平

9、面DEF所成的角的正弦值解析：（1）证明：如图，连接AB1交A1B于点H，设A1B交EF于点K，连接DK，因为四边形ABB1A1为矩形，所以H为线段A1B的中点因为点E，F分别为棱AB，BB1的中点，所以点K为线段BH的中点，所以A1K3BK又CD3BD，所以A1CDK又A1C平面DEF，DK平面DEF，所以A1C平面DEF（2）连接CE，EH，由（1）知，EHAA1，因为AA1平面ABC，所以EH平面ABC因为ABC为正三角形，且点E为棱AB的中点，所以CEAB故以点E为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Exyz设AB4，AA1t（t0），则A1（

10、2，t，0），A（2，0，0），C（0，0，2），E（0，0，0），F，D，所以（2，t，2），因为A1CEF，所以0，所以（2）（2）t200，所以t2，所以（2，0），设平面DEF的法向量为n（x，y，z），则所以取x1，则n（1，）又（2，0，2），设直线A1C1与平面DEF所成的角为，则sin |cosn，|，所以直线A1C1与平面DEF所成的角的正弦值为C组创新应用练如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为BC，DA的中点将正方形ABCD沿着线段EF折起，使DFA60设G为AF的中点（1）求证：DGEF；（2）求直线GA与平面BCF所成角的正弦值；（3）设P，Q分别为线段DG，C

11、F上的点，且PQ平面ABEF，求线段PQ的长度的最小值解析：（1）证明：因为正方形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，所以EFFD，EFFA，又因为FDFAF，所以EF平面DFA又因为DG平面DFA，所以DGEF（2）因为DFA60，DFFA，AGGF，所以DFA为等边三角形，且DGFA又因为DGEF，EFFAF，所以DG平面ABEF设BE的中点为H，连接GH，则GA，GH，GD两两垂直，故以GA，GH，GD所在直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系Gxyz，如图，则G（0，0，0），A（1，0，0），B（1，4，0），C（0，4，），F（1，0，0），所以（1，0，0），（1，0，），（2，4，0）设平面BCF的法向量为m（x，y，z），由m0，m0，得令z2，得m（2，2）设直线GA与平面BCF所成的角为，则sin |cosm，|，即直线GA与平面BCF所成角的正弦值为（3）由题意，可设P（0，0，k）（0k），（01），由（1，4，），得（，4，），所以Q（1，4，），（1，4，k）由（2）得，（0，0，）为平面ABEF的一个法向量因为PQ平面ABEF，所以0，即k0所以|，又因为1722117，所以当时，|min所以当，k时，线段PQ的长度取得最小值，其最小值为